Theorem rngstrg 11856

Description: A constructed ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}

Assertion

Ref	Expression
rngstrg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)

Proof of Theorem rngstrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngfn.r	. 2 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
2		1nn 8589	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 11795	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1lt2 8741	. . 3 ⊢ 1 < 2
5		2nn 8733	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		plusgndx 11834	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7		2lt3 8742	. . 3 ⊢ 2 < 3
8		3nn 8734	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		mulrndx 11851	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3g 11833	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
11	1, 10	syl5eqbr 3908	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 930   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  {ctp 3476  ⟨cop 3477   class class class wbr 3875  ‘cfv 5059  1c1 7501  2c2 8629  3c3 8630   Struct cstr 11737  ndxcnx 11738  Basecbs 11741  +_gcplusg 11803  ._rcmulr 11804

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-addass 7597  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-tp 3482  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-fz 9632  df-struct 11743  df-ndx 11744  df-slot 11745  df-base 11747  df-plusg 11816  df-mulr 11817

This theorem is referenced by:  rngbaseg  11857  rngplusgg  11858  rngmulrg  11859  srngstrd  11863  ipsstrd  11882