ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngstrg GIF version

Theorem rngstrg 12595
Description: A constructed ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r 𝑅 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), Β· ⟩}
Assertion
Ref Expression
rngstrg ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ π‘Š ∧ Β· ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)

Proof of Theorem rngstrg
StepHypRef Expression
1 rngfn.r . 2 𝑅 = {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), Β· ⟩}
2 1nn 8932 . . 3 1 ∈ β„•
3 basendx 12519 . . 3 (Baseβ€˜ndx) = 1
4 1lt2 9090 . . 3 1 < 2
5 2nn 9082 . . 3 2 ∈ β„•
6 plusgndx 12570 . . 3 (+gβ€˜ndx) = 2
7 2lt3 9091 . . 3 2 < 3
8 3nn 9083 . . 3 3 ∈ β„•
9 mulrndx 12590 . . 3 (.rβ€˜ndx) = 3
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strle3g 12569 . 2 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ π‘Š ∧ Β· ∈ 𝑋) β†’ {⟨(Baseβ€˜ndx), 𝐡⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), Β· ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
111, 10eqbrtrid 4040 1 ((𝐡 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ π‘Š ∧ Β· ∈ 𝑋) β†’ 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  {ctp 3596  βŸ¨cop 3597   class class class wbr 4005  β€˜cfv 5218  1c1 7814  2c2 8972  3c3 8973   Struct cstr 12460  ndxcnx 12461  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552
This theorem is referenced by:  rngbaseg  12596  rngplusgg  12597  rngmulrg  12598  srngstrd  12606  ipsstrd  12636
  Copyright terms: Public domain W3C validator