Theorem rngstrg 13540

Description: A constructed ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Sep-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
rngfn.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}

Assertion

Ref	Expression
rngstrg	⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)

Proof of Theorem rngstrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngfn.r	. 2 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
2		1nn 9318	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		basendx 13458	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) = 1
4		1lt2 9479	. . 3 ⊢ 1 < 2
5		2nn 9471	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
6		plusgndx 13514	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7		2lt3 9480	. . 3 ⊢ 2 < 3
8		3nn 9472	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
9		mulrndx 13535	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) = 3
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	strle3g 13513	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
11	1, 10	eqbrtrid 4165	1 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  1c1 8181  2c2 9358  3c3 9359   Struct cstr 13399  ndxcnx 13400  Basecbs 13403  +_gcplusg 13482  ._rcmulr 13483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-fz 10423  df-struct 13405  df-ndx 13406  df-slot 13407  df-base 13409  df-plusg 13495  df-mulr 13496

This theorem is used by:  rngbaseg  13541  rngplusgg  13542  rngmulrg  13543  srngstrd  13551  ipsstrd  13581  psrvalstrd  15103