Theorem 2nn 9471

Description: 2 is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)

Assertion

Ref	Expression
2nn	⊢ 2 ∈ ℕ

Proof of Theorem 2nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-2 9366	. 2 ⊢ 2 = (1 + 1)
2		1nn 9318	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		peano2nn 9319	. . 3 ⊢ (1 ∈ ℕ → (1 + 1) ∈ ℕ)
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 ⊢ (1 + 1) ∈ ℕ
5	1, 4	eqeltri 2311	1 ⊢ 2 ∈ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183  ℕcn 9307  2c2 9358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-iota 5337  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9308  df-2 9366

This theorem is used by:  3nn  9472  2nn0  9585  2z  9677  uz3m2nn  9983  ige2m1fz1  10527  qbtwnre  10702  flhalf  10752  sqeq0  11054  sqeq0d  11125  facavg  11200  bcn2  11218  resqrexlemnm  11800  abs00ap  11844  geo2sum  12300  geo2lim  12302  ege2le3  12457  ef01bndlem  12542  mod2eq0even  12664  mod2eq1n2dvds  12665  bitsdc  12733  bits0o  12736  bitsp1  12737  bitsp1o  12739  bitsfzolem  12740  bitsfzo  12741  bitsmod  12742  bitsfi  12743  bitscmp  12744  bitsinv1lem  12747  bitsinv1  12748  sqgcd  12825  3lcm2e6woprm  12883  prm2orodd  12923  3prm  12925  4nprm  12926  isprm5lem  12939  divgcdodd  12941  isevengcd2  12956  3lcm2e6  12958  sqpweven  12974  2sqpwodd  12975  pythagtriplem4  13070  oddprmdvds  13156  4sqlem5  13184  4sqlem6  13185  4sqlem10  13189  4sqlem12  13204  dec2dvds  13213  dec5nprm  13216  dec2nprm  13217  2expltfac  13242  5prm  13246  6nprm  13247  7prm  13248  8nprm  13249  11prm  13252  17prm  13254  23prm  13256  37prm  13258  43prm  13259  83prm  13260  139prm  13261  163prm  13262  317prm  13263  631prm  13264  1259lem1  13265  1259lem2  13266  1259lem3  13267  1259lem4  13268  1259lem5  13269  1259prm  13270  evenennn  13336  exmidunben  13369  plusgndx  13516  plusgid  13517  plusgndxnn  13518  plusgslid  13519  grpstrg  13533  grpbaseg  13534  grpplusgg  13535  rngstrg  13542  lmodstrd  13571  topgrpstrd  13603  dsndx  13622  dsid  13623  dsslid  13624  dsndxnn  13625  slotsdifdsndx  13632  slotsdifunifndx  13639  imasvalstrd  13672  cnfldstr  14979  dveflem  15918  1sgm2ppw  16250  ppiublem1  16252  chtublem  16256  mersenne  16258  perfect1  16259  perfectlem1  16260  perfectlem2  16261  perfect  16262  pcbcctr  16264  bclbnd  16268  bposlem1  16272  bposlem2  16273  bposlem3  16274  bposlem4  16275  bposlem5  16276  bposlem6  16277  bposlem8  16279  lgsval  16289  lgsfvalg  16290  lgsfcl2  16291  lgsval2lem  16295  lgsdir2lem2  16314  lgsdir2  16318  gausslemma2dlem1a  16343  gausslemma2dlem1cl  16344  gausslemma2dlem1f1o  16345  gausslemma2dlem4  16349  gausslemma2d  16354  lgseisenlem1  16355  lgseisenlem2  16356  lgseisenlem3  16357  lgseisenlem4  16358  lgsquadlemofi  16361  lgsquadlem1  16362  lgsquadlem2  16363  lgsquad2lem2  16367  m1lgs  16370  2lgslem1c  16375  2lgslem3a1  16382  2lgslem3d1  16385  2lgslem4  16388  2lgs  16389  2sqlem3  16402  2sqlem8  16408  clwwlkn2  16828  eupth2lem3lem4fi  16880  konigsberglem5  16899  ex-fl  16905  ex-ceil  16906  redcwlpolemeq1  17271  nconstwlpolem0  17280