ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  slotsdifunifndx GIF version

Theorem slotsdifunifndx 13064
Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotsdifunifndx (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx
StepHypRef Expression
1 2re 9106 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 1nn 9047 . . . . . 6 1 ∈ ℕ
3 3nn0 9313 . . . . . 6 3 ∈ ℕ0
4 2nn0 9312 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
5 2lt10 9641 . . . . . 6 2 < 10
62, 3, 4, 5declti 9541 . . . . 5 2 < 13
71, 6ltneii 8169 . . . 4 2 ≠ 13
8 plusgndx 12941 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
9 unifndx 13058 . . . . 5 (UnifSet‘ndx) = 13
108, 9neeq12i 2393 . . . 4 ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ 13)
117, 10mpbir 146 . . 3 (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12 3re 9110 . . . . 5 3 ∈ ℝ
13 3lt10 9640 . . . . . 6 3 < 10
142, 3, 3, 13declti 9541 . . . . 5 3 < 13
1512, 14ltneii 8169 . . . 4 3 ≠ 13
16 mulrndx 12962 . . . . 5 (.r‘ndx) = 3
1716, 9neeq12i 2393 . . . 4 ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ 13)
1815, 17mpbir 146 . . 3 (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19 4re 9113 . . . . 5 4 ∈ ℝ
20 4nn0 9314 . . . . . 6 4 ∈ ℕ0
21 4lt10 9639 . . . . . 6 4 < 10
222, 3, 20, 21declti 9541 . . . . 5 4 < 13
2319, 22ltneii 8169 . . . 4 4 ≠ 13
24 starvndx 12971 . . . . 5 (*𝑟‘ndx) = 4
2524, 9neeq12i 2393 . . . 4 ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ 13)
2623, 25mpbir 146 . . 3 (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
2711, 18, 263pm3.2i 1178 . 2 ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28 10re 9522 . . . . 5 10 ∈ ℝ
29 1nn0 9311 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
30 0nn0 9310 . . . . . 6 0 ∈ ℕ0
31 3nn 9199 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
32 3pos 9130 . . . . . 6 0 < 3
3329, 30, 31, 32declt 9531 . . . . 5 10 < 13
3428, 33ltneii 8169 . . . 4 10 ≠ 13
35 plendx 13032 . . . . 5 (le‘ndx) = 10
3635, 9neeq12i 2393 . . . 4 ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 10 ≠ 13)
3734, 36mpbir 146 . . 3 (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38 2nn 9198 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
3929, 38decnncl 9523 . . . . . 6 12 ∈ ℕ
4039nnrei 9045 . . . . 5 12 ∈ ℝ
41 2lt3 9207 . . . . . 6 2 < 3
4229, 4, 31, 41declt 9531 . . . . 5 12 < 13
4340, 42ltneii 8169 . . . 4 12 ≠ 13
44 dsndx 13047 . . . . 5 (dist‘ndx) = 12
4544, 9neeq12i 2393 . . . 4 ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 13)
4643, 45mpbir 146 . . 3 (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
4737, 46pm3.2i 272 . 2 ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
4827, 47pm3.2i 272 1 (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  w3a 981  wne 2376  cfv 5271  0cc0 7925  1c1 7926  2c2 9087  3c3 9088  4c4 9089  cdc 9504  ndxcnx 12829  +gcplusg 12909  .rcmulr 12910  *𝑟cstv 12911  lecple 12916  distcds 12918  UnifSetcunif 12919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-starv 12924  df-ple 12929  df-ds 12931  df-unif 12932
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator