Theorem slotsdifunifndx 12689

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 8992	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 8933	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 9197	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 9196	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 9524	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9424	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 8057	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 12571	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 12683	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2364	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 146	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 8996	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 9523	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 9424	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 8057	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 12591	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2364	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 146	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 8999	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 9198	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 9522	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 9424	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 8057	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 12600	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2364	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 146	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1175	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 9405	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 9195	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 9194	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 9084	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 9016	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 9414	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 8057	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 12661	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2364	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 146	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 9083	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 9406	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 8931	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 9092	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 9414	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 8057	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 12672	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2364	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 146	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 272	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   ≠ wne 2347  ‘cfv 5218  0cc0 7814  1c1 7815  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  ;cdc 9387  ndxcnx 12462  +_gcplusg 12539  ._rcmulr 12540  *_𝑟cstv 12541  lecple 12546  distcds 12548  UnifSetcunif 12549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-9 8988  df-n0 9180  df-z 9257  df-dec 9388  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-starv 12554  df-ple 12559  df-ds 12561  df-unif 12562

This theorem is referenced by: (None)