Theorem slotsdifunifndx 13179

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9141	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 9082	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 9348	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 9347	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 9676	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9576	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 8204	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 13056	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 13173	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2395	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 146	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 9145	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 9675	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 9576	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 8204	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 13077	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2395	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 146	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 9148	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 9349	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 9674	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 9576	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 8204	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 13086	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2395	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 146	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1178	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 9557	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 9346	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 9345	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 9234	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 9165	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 9566	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 8204	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 13147	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2395	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 146	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 9233	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 9558	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 9080	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 9242	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 9566	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 8204	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 13162	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2395	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 146	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 272	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ≠ wne 2378  ‘cfv 5290  0cc0 7960  1c1 7961  2c2 9122  3c3 9123  4c4 9124  ;cdc 9539  ndxcnx 12944  +_gcplusg 13024  ._rcmulr 13025  *_𝑟cstv 13026  lecple 13031  distcds 13033  UnifSetcunif 13034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-starv 13039  df-ple 13044  df-ds 13046  df-unif 13047

This theorem is referenced by: (None)