Theorem slotsdifunifndx 13563

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9353	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 9294	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 9560	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 9559	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 9893	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9793	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 8412	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 13440	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 13557	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2437	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 146	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 9357	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 9892	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 9793	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 8412	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 13461	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2437	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 146	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 9360	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 9561	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 9891	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 9793	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 8412	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 13470	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2437	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 146	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1206	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 9774	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 9558	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 9557	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 9446	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 9377	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 9783	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 8412	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 13531	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2437	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 146	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 9445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 9775	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 9292	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 9454	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 9783	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 8412	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 13546	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2437	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 146	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 272	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   ≠ wne 2420  ‘cfv 5372  0cc0 8169  1c1 8170  2c2 9334  3c3 9335  4c4 9336  ;cdc 9756  ndxcnx 13327  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409  *_𝑟cstv 13410  lecple 13415  distcds 13417  UnifSetcunif 13418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-starv 13423  df-ple 13428  df-ds 13430  df-unif 13431

This theorem is referenced by: (None)