Theorem slotsdifunifndx 13097

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9108	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 9049	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 9315	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 9314	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 9643	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9543	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 8171	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 12974	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 13091	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2393	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 146	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 9112	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 9642	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 9543	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 8171	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 12995	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2393	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 146	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 9115	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 9316	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 9641	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 9543	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 8171	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 13004	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2393	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 146	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1178	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 9524	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 9313	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 9312	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 9201	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 9132	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 9533	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 8171	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 13065	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2393	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 146	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 9200	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 9525	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 9047	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 9209	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 9533	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 8171	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 13080	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2393	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 146	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 272	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   ≠ wne 2376  ‘cfv 5272  0cc0 7927  1c1 7928  2c2 9089  3c3 9090  4c4 9091  ;cdc 9506  ndxcnx 12862  +_gcplusg 12942  ._rcmulr 12943  *_𝑟cstv 12944  lecple 12949  distcds 12951  UnifSetcunif 12952

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-1re 8021  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-mulrcl 8026  ax-addcom 8027  ax-mulcom 8028  ax-addass 8029  ax-mulass 8030  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0lt1 8033  ax-1rid 8034  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-precex 8037  ax-cnre 8038  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-lttrn 8041  ax-pre-ltadd 8043  ax-pre-mulgt0 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115  df-sub 8247  df-neg 8248  df-inn 9039  df-2 9097  df-3 9098  df-4 9099  df-5 9100  df-6 9101  df-7 9102  df-8 9103  df-9 9104  df-n0 9298  df-z 9375  df-dec 9507  df-ndx 12868  df-slot 12869  df-plusg 12955  df-mulr 12956  df-starv 12957  df-ple 12962  df-ds 12964  df-unif 12965

This theorem is referenced by: (None)