Theorem slotsdifunifndx 13314

Description: The index of the slot for the uniform set is not the index of other slots. (Contributed by AV, 10-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifunifndx	⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Proof of Theorem slotsdifunifndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 9212	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		1nn 9153	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		3nn0 9419	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
4		2nn0 9418	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		2lt10 9747	. . . . . 6 ⊢ 2 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9647	. . . . 5 ⊢ 2 < ;13
7	1, 6	ltneii 8275	. . . 4 ⊢ 2 ≠ ;13
8		plusgndx 13191	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
9		unifndx 13308	. . . . 5 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
10	8, 9	neeq12i 2419	. . . 4 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 2 ≠ ;13)
11	7, 10	mpbir 146	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
12		3re 9216	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℝ
13		3lt10 9746	. . . . . 6 ⊢ 3 < ;10
14	2, 3, 3, 13	declti 9647	. . . . 5 ⊢ 3 < ;13
15	12, 14	ltneii 8275	. . . 4 ⊢ 3 ≠ ;13
16		mulrndx 13212	. . . . 5 ⊢ (.r‘ndx) = 3
17	16, 9	neeq12i 2419	. . . 4 ⊢ ((.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 3 ≠ ;13)
18	15, 17	mpbir 146	. . 3 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
19		4re 9219	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℝ
20		4nn0 9420	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4lt10 9745	. . . . . 6 ⊢ 4 < ;10
22	2, 3, 20, 21	declti 9647	. . . . 5 ⊢ 4 < ;13
23	19, 22	ltneii 8275	. . . 4 ⊢ 4 ≠ ;13
24		starvndx 13221	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
25	24, 9	neeq12i 2419	. . . 4 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ 4 ≠ ;13)
26	23, 25	mpbir 146	. . 3 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
27	11, 18, 26	3pm3.2i 1201	. 2 ⊢ ((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
28		10re 9628	. . . . 5 ⊢ ;10 ∈ ℝ
29		1nn0 9417	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30		0nn0 9416	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31		3nn 9305	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
32		3pos 9236	. . . . . 6 ⊢ 0 < 3
33	29, 30, 31, 32	declt 9637	. . . . 5 ⊢ ;10 < ;13
34	28, 33	ltneii 8275	. . . 4 ⊢ ;10 ≠ ;13
35		plendx 13282	. . . . 5 ⊢ (le‘ndx) = ;10
36	35, 9	neeq12i 2419	. . . 4 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;10 ≠ ;13)
37	34, 36	mpbir 146	. . 3 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
38		2nn 9304	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
39	29, 38	decnncl 9629	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
40	39	nnrei 9151	. . . . 5 ⊢ ;12 ∈ ℝ
41		2lt3 9313	. . . . . 6 ⊢ 2 < 3
42	29, 4, 31, 41	declt 9637	. . . . 5 ⊢ ;12 < ;13
43	40, 42	ltneii 8275	. . . 4 ⊢ ;12 ≠ ;13
44		dsndx 13297	. . . . 5 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
45	44, 9	neeq12i 2419	. . . 4 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ ;13)
46	43, 45	mpbir 146	. . 3 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
47	37, 46	pm3.2i 272	. 2 ⊢ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx))
48	27, 47	pm3.2i 272	1 ⊢ (((+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) ∧ ((le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   ≠ wne 2402  ‘cfv 5326  0cc0 8031  1c1 8032  2c2 9193  3c3 9194  4c4 9195  ;cdc 9610  ndxcnx 13078  +_gcplusg 13159  ._rcmulr 13160  *_𝑟cstv 13161  lecple 13166  distcds 13168  UnifSetcunif 13169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182

This theorem is referenced by: (None)