Theorem sin01bnd 11900

Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sin01bnd	⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xr 8066	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
2		1re 8018	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		elioc2 10002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1)))
4	1, 2, 3	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 1))
5	4	simp1bi 1014	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7	6	resin4p 11861	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
8	5, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
9	8	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (sin‘𝐴))
10	5	resincld 11866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 8048	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12		3nn0 9258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ0
13		reexpcl 10627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
14	5, 12, 13	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
15		6nn 9147	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 ∈ ℕ
16		nndivre 9018	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
17	14, 15, 16	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
18	5, 17	resubcld 8400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
19	18	recnd 8048	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
20		ax-icn 7967	. . . . . . . . . 10 ⊢ i ∈ ℂ
21	5	recnd 8048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		mulcl 7999	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
23	20, 21, 22	sylancr 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24		4nn0 9259	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ0
25	6	eftlcl 11831	. . . . . . . . 9 ⊢ (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
27	26	imcld 11083	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
28	27	recnd 8048	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
29	11, 19, 28	subaddd 8348	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (sin‘𝐴)))
30	9, 29	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
31	30	fveq2d 5558	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
32	28	abscld 11325	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
33	26	abscld 11325	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
34		absimle 11228	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
35	26, 34	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
36		reexpcl 10627	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
37	5, 24, 36	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38		nndivre 9018	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
39	37, 15, 38	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
40	6	ef01bndlem 11899	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
41	12	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
42		4z 9347	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
43		3re 9056	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
44		4re 9059	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℝ
45		3lt4 9154	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
46	43, 44, 45	ltleii 8122	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≤ 4
47		3z 9346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℤ
48	47	eluz1i 9599	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ (ℤ≥‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
49	42, 46, 48	mpbir2an 944	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ (ℤ≥‘3)
50	49	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ≥‘3))
51	4	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
52		0re 8019	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
53		ltle 8107	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
54	52, 5, 53	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
55	51, 54	mpd 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
56	4	simp3bi 1016	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
57	5, 41, 50, 55, 56	leexp2rd 10774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
58		6re 9063	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℝ
59	58	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
60		6pos 9083	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 6
61	60	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
62		lediv1 8888	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
63	37, 14, 59, 61, 62	syl112anc 1253	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
64	57, 63	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
65	33, 39, 17, 40, 64	ltletrd 8442	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
66	32, 33, 17, 35, 65	lelttrd 8144	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
67	31, 66	eqbrtrd 4051	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
68	10, 18, 17	absdifltd 11322	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
69	17	recnd 8048	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
70	21, 69, 69	subsub4d 8361	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
71	14	recnd 8048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
72		3cn 9057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
73		3ap0 9078	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 # 0
74	72, 73	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
75		2cn 9053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
76		2ap0 9075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
77	75, 76	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
78		divdivap1 8742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
79	74, 77, 78	mp3an23 1340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
80	71, 79	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
81		3t2e6 9138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 · 2) = 6
82	81	oveq2i 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
83	80, 82	eqtr2di 2243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
84	83, 83	oveq12d 5936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
85		3nn 9144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
86		nndivre 9018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
87	14, 85, 86	sylancl 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
88	87	recnd 8048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
89	88	2halvesd 9228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
90	84, 89	eqtrd 2226	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
91	90	oveq2d 5934	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
92	70, 91	eqtrd 2226	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
93	92	breq1d 4039	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
94	21, 69	npcand 8334	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
95	94	breq2d 4041	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
96	93, 95	anbi12d 473	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
97	68, 96	bitrd 188	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
98	67, 97	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873  ici 7874   + caddc 7875   · cmul 7877  ℝ^*cxr 8053   < clt 8054   ≤ cle 8055   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  3c3 9034  4c4 9035  6c6 9037  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  (,]cioc 9955  ↑cexp 10609  !cfa 10796  ℑcim 10985  abscabs 11141  Σcsu 11496  sincsin 11787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-ioc 9959  df-ico 9960  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-fac 10797  df-ihash 10847  df-shft 10959  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-sumdc 11497  df-ef 11791  df-sin 11793

This theorem is referenced by:  sinltxirr  11904  sin01gt0  11905  tangtx  14973  pigt3  14979