ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01bnd GIF version

Theorem sin01bnd 11768
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 8007 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 7959 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9939 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1)))
41, 2, 3mp2an 426 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 1))
54simp1bi 1012 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
6 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))
76resin4p 11729 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
85, 7syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) = ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
98eqcomd 2183 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) = (sinβ€˜π΄))
105resincld 11734 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ ℝ)
1110recnd 7989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (sinβ€˜π΄) ∈ β„‚)
12 3nn0 9197 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„•0
13 reexpcl 10540 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
145, 12, 13sylancl 413 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ ℝ)
15 6nn 9087 . . . . . . . . 9 6 ∈ β„•
16 nndivre 8958 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
185, 17resubcld 8341 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1918recnd 7989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) ∈ β„‚)
20 ax-icn 7909 . . . . . . . . . 10 i ∈ β„‚
215recnd 7989 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
22 mulcl 7941 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
2320, 21, 22sylancr 414 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (i Β· 𝐴) ∈ β„‚)
24 4nn0 9198 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„•0
256eftlcl 11699 . . . . . . . . 9 (((i Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2623, 24, 25sylancl 413 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
2726imcld 10951 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
2827recnd 7989 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ β„‚)
2911, 19, 28subaddd 8289 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) = (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) = (sinβ€˜π΄)))
309, 29mpbird 167 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6))) = (β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
3130fveq2d 5521 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) = (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))))
3228abscld 11193 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
3326abscld 11193 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
34 absimle 11096 . . . . 5 (Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
3526, 34syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) ≀ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)))
36 reexpcl 10540 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ β„•0) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
375, 24, 36sylancl 413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38 nndivre 8958 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3937, 15, 38sylancl 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
406ef01bndlem 11767 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑4) / 6))
4112a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 3 ∈ β„•0)
42 4z 9286 . . . . . . . . 9 4 ∈ β„€
43 3re 8996 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
44 4re 8999 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
45 3lt4 9094 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4643, 44, 45ltleii 8063 . . . . . . . . 9 3 ≀ 4
47 3z 9285 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„€
4847eluz1i 9538 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3) ↔ (4 ∈ β„€ ∧ 3 ≀ 4))
4942, 46, 48mpbir2an 942 . . . . . . . 8 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3)
5049a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 4 ∈ (β„€β‰₯β€˜3))
514simp2bi 1013 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 𝐴)
52 0re 7960 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
53 ltle 8048 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5452, 5, 53sylancr 414 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (0 < 𝐴 β†’ 0 ≀ 𝐴))
5551, 54mpd 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 ≀ 𝐴)
564simp3bi 1014 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 𝐴 ≀ 1)
575, 41, 50, 55, 56leexp2rd 10687 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3))
58 6re 9003 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5958a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 6 ∈ ℝ)
60 6pos 9023 . . . . . . . 8 0 < 6
6160a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ 0 < 6)
62 lediv1 8829 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
6337, 14, 59, 61, 62syl112anc 1242 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) ≀ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6)))
6457, 63mpbid 147 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑4) / 6) ≀ ((𝐴↑3) / 6))
6533, 39, 17, 40, 64ltletrd 8383 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜)) < ((𝐴↑3) / 6))
6632, 33, 17, 35, 65lelttrd 8085 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜Ξ£π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜4)((𝑛 ∈ β„•0 ↦ (((i Β· 𝐴)↑𝑛) / (!β€˜π‘›)))β€˜π‘˜))) < ((𝐴↑3) / 6))
6731, 66eqbrtrd 4027 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
6810, 18, 17absdifltd 11190 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6917recnd 7989 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) ∈ β„‚)
7021, 69, 69subsub4d 8302 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
7114recnd 7989 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴↑3) ∈ β„‚)
72 3cn 8997 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ β„‚
73 3ap0 9018 . . . . . . . . . . . . 13 3 # 0
7472, 73pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ β„‚ ∧ 3 # 0)
75 2cn 8993 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„‚
76 2ap0 9015 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
7775, 76pm3.2i 272 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0)
78 divdivap1 8683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ β„‚ ∧ (3 ∈ β„‚ ∧ 3 # 0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 # 0)) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
7974, 77, 78mp3an23 1329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ β„‚ β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
8071, 79syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)))
81 3t2e6 9078 . . . . . . . . . . 11 (3 Β· 2) = 6
8281oveq2i 5889 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 Β· 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
8380, 82eqtr2di 2227 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
8483, 83oveq12d 5896 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
85 3nn 9084 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„•
86 nndivre 8958 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ β„•) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8714, 85, 86sylancl 413 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8887recnd 7989 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴↑3) / 3) ∈ β„‚)
89882halvesd 9167 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
9084, 89eqtrd 2210 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
9190oveq2d 5894 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (𝐴 βˆ’ (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
9270, 91eqtrd 2210 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)))
9392breq1d 4015 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ (((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ↔ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄)))
9421, 69npcand 8275 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9594breq2d 4017 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
9693, 95anbi12d 473 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9768, 96bitrd 188 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((absβ€˜((sinβ€˜π΄) βˆ’ (𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴)))
9867, 97mpbid 147 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) β†’ ((𝐴 βˆ’ ((𝐴↑3) / 3)) < (sinβ€˜π΄) ∧ (sinβ€˜π΄) < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  β„‚cc 7812  β„cr 7813  0cc0 7814  1c1 7815  ici 7816   + caddc 7817   Β· cmul 7819  β„*cxr 7994   < clt 7995   ≀ cle 7996   βˆ’ cmin 8131   # cap 8541   / cdiv 8632  β„•cn 8922  2c2 8973  3c3 8974  4c4 8975  6c6 8977  β„•0cn0 9179  β„€cz 9256  β„€β‰₯cuz 9531  (,]cioc 9892  β†‘cexp 10522  !cfa 10708  β„‘cim 10853  abscabs 11009  Ξ£csu 11364  sincsin 11655
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-ioc 9896  df-ico 9897  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-fac 10709  df-ihash 10759  df-shft 10827  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-sumdc 11365  df-ef 11659  df-sin 11661
This theorem is referenced by:  sin01gt0  11772  tangtx  14447  pigt3  14453
  Copyright terms: Public domain W3C validator