ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sin01bnd GIF version

Theorem sin01bnd 11470
Description: Bounds on the sine of a positive real number less than or equal to 1. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sin01bnd (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))

Proof of Theorem sin01bnd
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0xr 7819 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
2 1re 7772 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
3 elioc2 9726 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1)))
41, 2, 3mp2an 422 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴𝐴 ≤ 1))
54simp1bi 996 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℝ)
6 eqid 2139 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))
76resin4p 11431 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℝ → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
85, 7syl 14 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) = ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
98eqcomd 2145 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (sin‘𝐴))
105resincld 11436 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℝ)
1110recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
12 3nn0 9002 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ0
13 reexpcl 10317 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
145, 12, 13sylancl 409 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℝ)
15 6nn 8892 . . . . . . . . 9 6 ∈ ℕ
16 nndivre 8763 . . . . . . . . 9 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
1714, 15, 16sylancl 409 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℝ)
185, 17resubcld 8150 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℝ)
1918recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) ∈ ℂ)
20 ax-icn 7722 . . . . . . . . . 10 i ∈ ℂ
215recnd 7801 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ∈ ℂ)
22 mulcl 7754 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
2320, 21, 22sylancr 410 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
24 4nn0 9003 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
256eftlcl 11401 . . . . . . . . 9 (((i · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℕ0) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2623, 24, 25sylancl 409 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ)
2726imcld 10718 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
2827recnd 7801 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℂ)
2911, 19, 28subaddd 8098 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) = (sin‘𝐴)))
309, 29mpbird 166 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6))) = (ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3130fveq2d 5425 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) = (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))))
3228abscld 10960 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ∈ ℝ)
3326abscld 10960 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) ∈ ℝ)
34 absimle 10863 . . . . 5 𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
3526, 34syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) ≤ (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)))
36 reexpcl 10317 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℕ0) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
375, 24, 36sylancl 409 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ∈ ℝ)
38 nndivre 8763 . . . . . 6 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ 6 ∈ ℕ) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
3937, 15, 38sylancl 409 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ∈ ℝ)
406ef01bndlem 11469 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑4) / 6))
4112a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 3 ∈ ℕ0)
42 4z 9091 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
43 3re 8801 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
44 4re 8804 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ
45 3lt4 8899 . . . . . . . . . 10 3 < 4
4643, 44, 45ltleii 7873 . . . . . . . . 9 3 ≤ 4
47 3z 9090 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℤ
4847eluz1i 9340 . . . . . . . . 9 (4 ∈ (ℤ‘3) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 4))
4942, 46, 48mpbir2an 926 . . . . . . . 8 4 ∈ (ℤ‘3)
5049a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 4 ∈ (ℤ‘3))
514simp2bi 997 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 𝐴)
52 0re 7773 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
53 ltle 7858 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5452, 5, 53sylancr 410 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (0 < 𝐴 → 0 ≤ 𝐴))
5551, 54mpd 13 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 ≤ 𝐴)
564simp3bi 998 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 𝐴 ≤ 1)
575, 41, 50, 55, 56leexp2rd 10461 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3))
58 6re 8808 . . . . . . . 8 6 ∈ ℝ
5958a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 6 ∈ ℝ)
60 6pos 8828 . . . . . . . 8 0 < 6
6160a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → 0 < 6)
62 lediv1 8634 . . . . . . 7 (((𝐴↑4) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ (6 ∈ ℝ ∧ 0 < 6)) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
6337, 14, 59, 61, 62syl112anc 1220 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) ≤ (𝐴↑3) ↔ ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6)))
6457, 63mpbid 146 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑4) / 6) ≤ ((𝐴↑3) / 6))
6533, 39, 17, 40, 64ltletrd 8192 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘)) < ((𝐴↑3) / 6))
6632, 33, 17, 35, 65lelttrd 7894 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘(ℑ‘Σ𝑘 ∈ (ℤ‘4)((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((i · 𝐴)↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑘))) < ((𝐴↑3) / 6))
6731, 66eqbrtrd 3950 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6))
6810, 18, 17absdifltd 10957 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)))))
6917recnd 7801 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) ∈ ℂ)
7021, 69, 69subsub4d 8111 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))))
7114recnd 7801 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴↑3) ∈ ℂ)
72 3cn 8802 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
73 3ap0 8823 . . . . . . . . . . . . 13 3 # 0
7472, 73pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . 12 (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0)
75 2cn 8798 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
76 2ap0 8820 . . . . . . . . . . . . 13 2 # 0
7775, 76pm3.2i 270 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
78 divdivap1 8490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴↑3) ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 # 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
7974, 77, 78mp3an23 1307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴↑3) ∈ ℂ → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
8071, 79syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 3) / 2) = ((𝐴↑3) / (3 · 2)))
81 3t2e6 8883 . . . . . . . . . . 11 (3 · 2) = 6
8281oveq2i 5785 . . . . . . . . . 10 ((𝐴↑3) / (3 · 2)) = ((𝐴↑3) / 6)
8380, 82syl6req 2189 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 6) = (((𝐴↑3) / 3) / 2))
8483, 83oveq12d 5792 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)))
85 3nn 8889 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
86 nndivre 8763 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴↑3) ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℕ) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8714, 85, 86sylancl 409 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℝ)
8887recnd 7801 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴↑3) / 3) ∈ ℂ)
89882halvesd 8972 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴↑3) / 3) / 2) + (((𝐴↑3) / 3) / 2)) = ((𝐴↑3) / 3))
9084, 89eqtrd 2172 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6)) = ((𝐴↑3) / 3))
9190oveq2d 5790 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (𝐴 − (((𝐴↑3) / 6) + ((𝐴↑3) / 6))) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
9270, 91eqtrd 2172 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) = (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)))
9392breq1d 3939 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → (((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ↔ (𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴)))
9421, 69npcand 8084 . . . . 5 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) = 𝐴)
9594breq2d 3941 . . . 4 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6)) ↔ (sin‘𝐴) < 𝐴))
9693, 95anbi12d 464 . . 3 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) − ((𝐴↑3) / 6)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)) + ((𝐴↑3) / 6))) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9768, 96bitrd 187 . 2 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((abs‘((sin‘𝐴) − (𝐴 − ((𝐴↑3) / 6)))) < ((𝐴↑3) / 6) ↔ ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴)))
9867, 97mpbid 146 1 (𝐴 ∈ (0(,]1) → ((𝐴 − ((𝐴↑3) / 3)) < (sin‘𝐴) ∧ (sin‘𝐴) < 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cmpt 3989  cfv 5123  (class class class)co 5774  cc 7625  cr 7626  0cc0 7627  1c1 7628  ici 7629   + caddc 7630   · cmul 7632  *cxr 7806   < clt 7807  cle 7808  cmin 7940   # cap 8350   / cdiv 8439  cn 8727  2c2 8778  3c3 8779  4c4 8780  6c6 8782  0cn0 8984  cz 9061  cuz 9333  (,]cioc 9679  cexp 10299  !cfa 10478  cim 10620  abscabs 10776  Σcsu 11129  sincsin 11357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-5 8789  df-6 8790  df-7 8791  df-8 8792  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ioc 9683  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-fac 10479  df-ihash 10529  df-shft 10594  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130  df-ef 11361  df-sin 11363
This theorem is referenced by:  sin01gt0  11474  tangtx  12935  pigt3  12941
  Copyright terms: Public domain W3C validator