Theorem ige3m2fz 9951

Description: Membership of an integer greater than 2 decreased by 2 in a 1 based finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ige3m2fz	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))

Proof of Theorem ige3m2fz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3m1e2 8953	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
2	1	eqcomi 2161	. . . 4 ⊢ 2 = (3 − 1)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 2 = (3 − 1))
4	3	oveq2d 5840	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) = (𝑁 − (3 − 1)))
5		3nn 8995	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
6		uzsubsubfz1 9950	. . 3 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑁 − (3 − 1)) ∈ (1...𝑁))
7	5, 6	mpan 421	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − (3 − 1)) ∈ (1...𝑁))
8	4, 7	eqeltrd 2234	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ (1...𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  1c1 7733   − cmin 8046  ℕcn 8833  2c2 8884  3c3 8885  ℤ_≥cuz 9439  ...cfz 9912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-fz 9913

This theorem is referenced by: (None)