Theorem cnfldstr 13542

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icnfld 13541	. . . 4 ⊢ ℂfld = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
2		cnex 7937	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		addex 9653	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ V)
6		mulex 9654	. . . . 5 ⊢ · ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ V)
8		cjf 10858	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
9		fex 5747	. . . . . 6 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
10	8, 2, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
12	1, 3, 5, 7, 11	srngstrd 12606	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld Struct ⟨1, 4⟩)
13		4z 9285	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
14		1nn0 9194	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		3nn 9083	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
16	14, 15	decnncl 9405	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
17	16	nnzi 9276	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℤ
18		1nn 8932	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		3nn0 9196	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20		4nn0 9197	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4re 8998	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
22		9re 9008	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		4lt9 9122	. . . . . . 7 ⊢ 4 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 8062	. . . . . 6 ⊢ 4 ≤ 9
25	18, 19, 20, 24	declei 9421	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ ;13
26		eluz2 9536	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;13 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;13))
27	13, 17, 25, 26	mpbir3an 1179	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ (ℤ≥‘4)
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ;13 ∈ (ℤ≥‘4))
29	12, 28	strext 12566	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩)
30	29	mptru 1362	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:  ⊤wtru 1354   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  ℂcc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818   ≤ cle 7995  3c3 8973  4c4 8974  9c9 8979  ℤcz 9255  ;cdc 9386  ℤ_≥cuz 9530  ∗ccj 10850   Struct cstr 12460  ℂ_fldccnfld 13540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-addf 7935  ax-mulf 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-tp 3602  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-n0 9179  df-z 9256  df-dec 9387  df-uz 9531  df-fz 10011  df-cj 10853  df-struct 12466  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-starv 12553  df-icnfld 13541

This theorem is referenced by:  cnfldex  13543  cnfldbas  13544  cnfldadd  13545  cnfldmul  13546  cnfldcj  13547