Theorem cnfldstr 14049

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-icnfld 14048	. . . 4 ⊢ ℂfld = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
2		cnex 7996	. . . . 5 ⊢ ℂ ∈ V
3	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
4		addex 9717	. . . . 5 ⊢ + ∈ V
5	4	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → + ∈ V)
6		mulex 9718	. . . . 5 ⊢ · ∈ V
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → · ∈ V)
8		cjf 10991	. . . . . 6 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
9		fex 5787	. . . . . 6 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
10	8, 2, 9	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ V
11	10	a1i 9	. . . 4 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
12	1, 3, 5, 7, 11	srngstrd 12763	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld Struct ⟨1, 4⟩)
13		4z 9347	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℤ
14		1nn0 9256	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
15		3nn 9144	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
16	14, 15	decnncl 9467	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
17	16	nnzi 9338	. . . . 5 ⊢ ;13 ∈ ℤ
18		1nn 8993	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
19		3nn0 9258	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ0
20		4nn0 9259	. . . . . 6 ⊢ 4 ∈ ℕ0
21		4re 9059	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℝ
22		9re 9069	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℝ
23		4lt9 9183	. . . . . . 7 ⊢ 4 < 9
24	21, 22, 23	ltleii 8122	. . . . . 6 ⊢ 4 ≤ 9
25	18, 19, 20, 24	declei 9483	. . . . 5 ⊢ 4 ≤ ;13
26		eluz2 9598	. . . . 5 ⊢ (;13 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ ;13 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ ;13))
27	13, 17, 25, 26	mpbir3an 1181	. . . 4 ⊢ ;13 ∈ (ℤ≥‘4)
28	27	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ;13 ∈ (ℤ≥‘4))
29	12, 28	strext 12723	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩)
30	29	mptru 1373	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   ≤ cle 8055  3c3 9034  4c4 9035  9c9 9040  ℤcz 9317  ;cdc 9448  ℤ_≥cuz 9592  ∗ccj 10983   Struct cstr 12614  ℂ_fldccnfld 14047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-addf 7994  ax-mulf 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-dec 9449  df-uz 9593  df-fz 10075  df-cj 10986  df-struct 12620  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-starv 12710  df-icnfld 14048

This theorem is referenced by:  cnfldex  14050  cnfldbas  14051  cnfldadd  14052  cnfldmul  14054  cnfldcj  14056