ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnfldstr GIF version

Theorem cnfldstr 14057
Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldstr fld Struct ⟨1, 13⟩

Proof of Theorem cnfldstr
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-cnfld 14056 . 2 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2 eqid 2193 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3 cnex 7998 . . . . . 6 ℂ ∈ V
43a1i 9 . . . . 5 (⊤ → ℂ ∈ V)
53, 3mpoex 6269 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
65a1i 9 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
73, 3mpoex 6269 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V
87a1i 9 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V)
9 cjf 10994 . . . . . . 7 ∗:ℂ⟶ℂ
10 fex 5788 . . . . . . 7 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
119, 3, 10mp2an 426 . . . . . 6 ∗ ∈ V
1211a1i 9 . . . . 5 (⊤ → ∗ ∈ V)
132, 4, 6, 8, 12srngstrd 12766 . . . 4 (⊤ → ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
1413mptru 1373 . . 3 ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
15 cntopex 14053 . . . . 5 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
16 xrex 9925 . . . . . . 7 * ∈ V
1716, 16xpex 4775 . . . . . 6 (ℝ* × ℝ*) ∈ V
18 lerelxr 8084 . . . . . 6 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
1917, 18ssexi 4168 . . . . 5 ≤ ∈ V
20 cndsex 14052 . . . . 5 (abs ∘ − ) ∈ V
21 9nn 9153 . . . . . 6 9 ∈ ℕ
22 tsetndx 12806 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
23 9lt10 9581 . . . . . 6 9 < 10
24 10nn 9466 . . . . . 6 10 ∈ ℕ
25 plendx 12820 . . . . . 6 (le‘ndx) = 10
26 1nn0 9259 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
27 0nn0 9258 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
28 2nn 9146 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
29 2pos 9075 . . . . . . 7 0 < 2
3026, 27, 28, 29declt 9478 . . . . . 6 10 < 12
3126, 28decnncl 9470 . . . . . 6 12 ∈ ℕ
32 dsndx 12831 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
3321, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32strle3g 12729 . . . . 5 (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V ∧ ≤ ∈ V ∧ (abs ∘ − ) ∈ V) → {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, 12⟩)
3415, 19, 20, 33mp3an 1348 . . . 4 {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, 12⟩
35 metuex 14054 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ∈ V → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V)
36 3nn 9147 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
3726, 36decnncl 9470 . . . . . 6 13 ∈ ℕ
38 unifndx 12842 . . . . . 6 (UnifSet‘ndx) = 13
3937, 38strle1g 12727 . . . . 5 ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V → {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨13, 13⟩)
4020, 35, 39mp2b 8 . . . 4 {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨13, 13⟩
41 2nn0 9260 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
42 2lt3 9155 . . . . 5 2 < 3
4326, 41, 36, 42declt 9478 . . . 4 12 < 13
4434, 40, 43strleun 12725 . . 3 ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, 13⟩
45 4lt9 9186 . . 3 4 < 9
4614, 44, 45strleun 12725 . 2 (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, 13⟩
471, 46eqbrtri 4051 1 fld Struct ⟨1, 13⟩
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wtru 1365  wcel 2164  Vcvv 2760  cun 3152  {csn 3619  {ctp 3621  cop 3622   class class class wbr 4030   × cxp 4658  ccom 4664  wf 5251  cfv 5255  (class class class)co 5919  cmpo 5921  cc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879  *cxr 8055  cle 8057  cmin 8192  2c2 9035  3c3 9036  4c4 9037  9c9 9042  cdc 9451  ccj 10986  abscabs 11144   Struct cstr 12617  ndxcnx 12618  Basecbs 12621  +gcplusg 12698  .rcmulr 12699  *𝑟cstv 12700  TopSetcts 12704  lecple 12705  distcds 12707  UnifSetcunif 12708  MetOpencmopn 14040  metUnifcmetu 14041  fldccnfld 14055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-rp 9723  df-fz 10078  df-cj 10989  df-abs 11146  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-topgen 12874  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056
This theorem is referenced by:  cnfldex  14058  cnfldbas  14059  mpocnfldadd  14060  mpocnfldmul  14062  cnfldcj  14064  cnfldtset  14065  cnfldle  14066  cnfldds  14067
  Copyright terms: Public domain W3C validator