Theorem cnfldstr 14867

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14866	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3		cnex 8293	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
5	3, 3	mpoex 6440	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
7	3, 3	mpoex 6440	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V)
9		cjf 11590	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
10		fex 5937	. . . . . . 7 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
11	9, 3, 10	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13477	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
14	13	mptru 1411	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
15		cntopex 14863	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
16		xrex 10237	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
17	16, 16	xpex 4886	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
18		lerelxr 8378	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
19	17, 18	ssexi 4266	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
20		cndsex 14862	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
21		9nn 9452	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
22		tsetndx 13517	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
23		9lt10 9886	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
24		10nn 9771	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
25		plendx 13531	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
26		1nn0 9558	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27		0nn0 9557	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
28		2nn 9445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
29		2pos 9374	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9783	. . . . . 6 ⊢ ;10 < ;12
31	26, 28	decnncl 9775	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
32		dsndx 13546	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13439	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V ∧ ≤ ∈ V ∧ (abs ∘ − ) ∈ V) → {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
35		metuex 14864	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V)
36		3nn 9446	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
37	26, 36	decnncl 9775	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
38		unifndx 13557	. . . . . 6 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
39	37, 38	strle1g 13437	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V → {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩)
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
41		2nn0 9559	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		2lt3 9454	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9783	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
44	34, 40, 43	strleun 13435	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
45		4lt9 9485	. . 3 ⊢ 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13435	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
47	1, 46	eqbrtri 4146	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3705  {ctp 3707  ⟨cop 3708   class class class wbr 4125   × cxp 4767   ∘ ccom 4773  ⟶wf 5368  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075   ∈ cmpo 6077  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174  ℝ^*cxr 8349   ≤ cle 8351   − cmin 8487  2c2 9334  3c3 9335  4c4 9336  9c9 9341  ;cdc 9756  ∗ccj 11582  abscabs 11741   Struct cstr 13326  ndxcnx 13327  Basecbs 13330  +_gcplusg 13408  ._rcmulr 13409  *_𝑟cstv 13410  TopSetcts 13414  lecple 13415  distcds 13417  UnifSetcunif 13418  MetOpencmopn 14850  metUnifcmetu 14851  ℂ_fldccnfld 14865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-7 9347  df-8 9348  df-9 9349  df-n0 9543  df-z 9624  df-dec 9757  df-uz 9901  df-rp 10034  df-fz 10391  df-cj 11585  df-abs 11743  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-starv 13423  df-tset 13427  df-ple 13428  df-ds 13430  df-unif 13431  df-topgen 13591  df-bl 14855  df-mopn 14856  df-fg 14858  df-metu 14859  df-cnfld 14866

This theorem is referenced by:  cnfldex  14868  cnfldbas  14869  mpocnfldadd  14870  mpocnfldmul  14872  cnfldcj  14874  cnfldtset  14875  cnfldle  14876  cnfldds  14877