Theorem cnfldstr 14516

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14515	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3		cnex 8119	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
5	3, 3	mpoex 6358	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
7	3, 3	mpoex 6358	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V)
9		cjf 11353	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
10		fex 5867	. . . . . . 7 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13174	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
14	13	mptru 1404	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
15		cntopex 14512	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
16		xrex 10048	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
17	16, 16	xpex 4833	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
18		lerelxr 8205	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
19	17, 18	ssexi 4221	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
20		cndsex 14511	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
21		9nn 9275	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
22		tsetndx 13214	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
23		9lt10 9704	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
24		10nn 9589	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
25		plendx 13228	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
26		1nn0 9381	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27		0nn0 9380	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
28		2nn 9268	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
29		2pos 9197	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9601	. . . . . 6 ⊢ ;10 < ;12
31	26, 28	decnncl 9593	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
32		dsndx 13243	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13136	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V ∧ ≤ ∈ V ∧ (abs ∘ − ) ∈ V) → {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1371	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
35		metuex 14513	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V)
36		3nn 9269	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
37	26, 36	decnncl 9593	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
38		unifndx 13254	. . . . . 6 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
39	37, 38	strle1g 13134	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V → {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩)
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
41		2nn0 9382	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		2lt3 9277	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9601	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
44	34, 40, 43	strleun 13132	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
45		4lt9 9308	. . 3 ⊢ 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13132	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
47	1, 46	eqbrtri 4103	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:  ⊤wtru 1396   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195  {csn 3666  {ctp 3668  ⟨cop 3669   class class class wbr 4082   × cxp 4716   ∘ ccom 4722  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   ∈ cmpo 6002  ℂcc 7993  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000  ℝ^*cxr 8176   ≤ cle 8178   − cmin 8313  2c2 9157  3c3 9158  4c4 9159  9c9 9164  ;cdc 9574  ∗ccj 11345  abscabs 11503   Struct cstr 13023  ndxcnx 13024  Basecbs 13027  +_gcplusg 13105  ._rcmulr 13106  *_𝑟cstv 13107  TopSetcts 13111  lecple 13112  distcds 13114  UnifSetcunif 13115  MetOpencmopn 14499  metUnifcmetu 14500  ℂ_fldccnfld 14514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-tp 3674  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-5 9168  df-6 9169  df-7 9170  df-8 9171  df-9 9172  df-n0 9366  df-z 9443  df-dec 9575  df-uz 9719  df-rp 9846  df-fz 10201  df-cj 11348  df-abs 11505  df-struct 13029  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-starv 13120  df-tset 13124  df-ple 13125  df-ds 13127  df-unif 13128  df-topgen 13288  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-fg 14507  df-metu 14508  df-cnfld 14515

This theorem is referenced by:  cnfldex  14517  cnfldbas  14518  mpocnfldadd  14519  mpocnfldmul  14521  cnfldcj  14523  cnfldtset  14524  cnfldle  14525  cnfldds  14526