Theorem cnfldstr 14895

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14894	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3		cnex 8303	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
5	3, 3	mpoex 6450	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
7	3, 3	mpoex 6450	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V)
9		cjf 11612	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
10		fex 5947	. . . . . . 7 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
11	9, 3, 10	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13500	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
14	13	mptru 1411	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
15		cntopex 14891	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
16		xrex 10258	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
17	16, 16	xpex 4891	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
18		lerelxr 8388	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
19	17, 18	ssexi 4271	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
20		cndsex 14890	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
21		9nn 9473	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
22		tsetndx 13540	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
23		9lt10 9907	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
24		10nn 9792	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
25		plendx 13554	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
26		1nn0 9579	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27		0nn0 9578	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
28		2nn 9466	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
29		2pos 9395	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9804	. . . . . 6 ⊢ ;10 < ;12
31	26, 28	decnncl 9796	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
32		dsndx 13569	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13462	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V ∧ ≤ ∈ V ∧ (abs ∘ − ) ∈ V) → {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
35		metuex 14892	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V)
36		3nn 9467	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
37	26, 36	decnncl 9796	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
38		unifndx 13580	. . . . . 6 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
39	37, 38	strle1g 13460	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V → {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩)
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
41		2nn0 9580	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		2lt3 9475	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9804	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
44	34, 40, 43	strleun 13458	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
45		4lt9 9506	. . 3 ⊢ 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13458	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
47	1, 46	eqbrtri 4151	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

This proof depends on syntax axioms:  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   × cxp 4772   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  ℂcc 8177  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℝ^*cxr 8359   ≤ cle 8361   − cmin 8497  2c2 9355  3c3 9356  4c4 9357  9c9 9362  ;cdc 9777  ∗ccj 11604  abscabs 11763   Struct cstr 13348  ndxcnx 13349  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  ._rcmulr 13432  *_𝑟cstv 13433  TopSetcts 13437  lecple 13438  distcds 13440  UnifSetcunif 13441  MetOpencmopn 14878  metUnifcmetu 14879  ℂ_fldccnfld 14893

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-9 9370  df-n0 9564  df-z 9645  df-dec 9778  df-uz 9922  df-rp 10055  df-fz 10412  df-cj 11607  df-abs 11765  df-struct 13354  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-starv 13446  df-tset 13450  df-ple 13451  df-ds 13453  df-unif 13454  df-topgen 13614  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-fg 14886  df-metu 14887  df-cnfld 14894

This theorem is used by:  cnfldex  14896  cnfldbas  14897  mpocnfldadd  14898  mpocnfldmul  14900  cnfldcj  14902  cnfldtset  14903  cnfldle  14904  cnfldds  14905