Theorem cnfldstr 15004

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 15003	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3		cnex 8309	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
5	3, 3	mpoex 6454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
7	3, 3	mpoex 6454	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V)
9		cjf 11634	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
10		fex 5950	. . . . . . 7 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
11	9, 3, 10	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 13559	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
14	13	mptru 1411	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
15		cntopex 15000	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
16		xrex 10275	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
17	16, 16	xpex 4893	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
18		lerelxr 8394	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
19	17, 18	ssexi 4273	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
20		cndsex 14999	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
21		9nn 9484	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
22		tsetndx 13599	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
23		9lt10 9923	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
24		10nn 9807	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
25		plendx 13613	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
26		1nn0 9590	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27		0nn0 9589	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
28		2nn 9477	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
29		2pos 9404	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9820	. . . . . 6 ⊢ ;10 < ;12
31	26, 28	decnncl 9811	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
32		dsndx 13628	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 13521	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V ∧ ≤ ∈ V ∧ (abs ∘ − ) ∈ V) → {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1378	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
35		metuex 15001	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V)
36		3nn 9478	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
37	26, 36	decnncl 9811	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
38		unifndx 13639	. . . . . 6 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
39	37, 38	strle1g 13519	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V → {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩)
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
41		2nn0 9591	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		2lt3 9486	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9820	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
44	34, 40, 43	strleun 13517	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
45		4lt9 9517	. . 3 ⊢ 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 13517	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
47	1, 46	eqbrtri 4152	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

This proof depends on syntax axioms:  ⊤wtru 1403   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218  {csn 3709  {ctp 3711  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   × cxp 4774   ∘ ccom 4780  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088   ∈ cmpo 6090  ℂcc 8183  0cc0 8185  1c1 8186   + caddc 8188   · cmul 8190  ℝ^*cxr 8365   ≤ cle 8367   − cmin 8504  2c2 9364  3c3 9365  4c4 9366  9c9 9371  ;cdc 9788  ∗ccj 11626  abscabs 11785   Struct cstr 13406  ndxcnx 13407  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  ._rcmulr 13491  *_𝑟cstv 13492  TopSetcts 13496  lecple 13497  distcds 13499  UnifSetcunif 13500  MetOpencmopn 14987  metUnifcmetu 14988  ℂ_fldccnfld 15002

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-rp 10072  df-fz 10429  df-cj 11629  df-abs 11787  df-struct 13412  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-starv 13505  df-tset 13509  df-ple 13510  df-ds 13512  df-unif 13513  df-topgen 13673  df-bl 14992  df-mopn 14993  df-fg 14995  df-metu 14996  df-cnfld 15003

This theorem is used by:  cnfldex  15005  cnfldbas  15006  mpocnfldadd  15007  mpocnfldmul  15009  cnfldcj  15011  cnfldtset  15012  cnfldle  15013  cnfldds  15014