Theorem cnfldstr 14124

Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldstr	⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Proof of Theorem cnfldstr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cnfld 14123	. 2 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
2		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
3		cnex 8005	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ V)
5	3, 3	mpoex 6273	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V
6	5	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦)) ∈ V)
7	3, 3	mpoex 6273	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V
8	7	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦)) ∈ V)
9		cjf 11014	. . . . . . 7 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
10		fex 5792	. . . . . . 7 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
11	9, 3, 10	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ ∗ ∈ V
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ∗ ∈ V)
13	2, 4, 6, 8, 12	srngstrd 12833	. . . 4 ⊢ (⊤ → ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
14	13	mptru 1373	. . 3 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) Struct ⟨1, 4⟩
15		cntopex 14120	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
16		xrex 9933	. . . . . . 7 ⊢ ℝ* ∈ V
17	16, 16	xpex 4779	. . . . . 6 ⊢ (ℝ* × ℝ*) ∈ V
18		lerelxr 8091	. . . . . 6 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
19	17, 18	ssexi 4172	. . . . 5 ⊢ ≤ ∈ V
20		cndsex 14119	. . . . 5 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
21		9nn 9161	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℕ
22		tsetndx 12873	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
23		9lt10 9589	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;10
24		10nn 9474	. . . . . 6 ⊢ ;10 ∈ ℕ
25		plendx 12887	. . . . . 6 ⊢ (le‘ndx) = ;10
26		1nn0 9267	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
27		0nn0 9266	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
28		2nn 9154	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
29		2pos 9083	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 2
30	26, 27, 28, 29	declt 9486	. . . . . 6 ⊢ ;10 < ;12
31	26, 28	decnncl 9478	. . . . . 6 ⊢ ;12 ∈ ℕ
32		dsndx 12898	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
33	21, 22, 23, 24, 25, 30, 31, 32	strle3g 12796	. . . . 5 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V ∧ ≤ ∈ V ∧ (abs ∘ − ) ∈ V) → {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩)
34	15, 19, 20, 33	mp3an 1348	. . . 4 ⊢ {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} Struct ⟨9, ;12⟩
35		metuex 14121	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ∈ V → (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V)
36		3nn 9155	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
37	26, 36	decnncl 9478	. . . . . 6 ⊢ ;13 ∈ ℕ
38		unifndx 12909	. . . . . 6 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
39	37, 38	strle1g 12794	. . . . 5 ⊢ ((metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V → {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩)
40	20, 35, 39	mp2b 8	. . . 4 ⊢ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} Struct ⟨;13, ;13⟩
41		2nn0 9268	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
42		2lt3 9163	. . . . 5 ⊢ 2 < 3
43	26, 41, 36, 42	declt 9486	. . . 4 ⊢ ;12 < ;13
44	34, 40, 43	strleun 12792	. . 3 ⊢ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) Struct ⟨9, ;13⟩
45		4lt9 9194	. . 3 ⊢ 4 < 9
46	14, 44, 45	strleun 12792	. 2 ⊢ (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 + 𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (𝑥 · 𝑦))⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) Struct ⟨1, ;13⟩
47	1, 46	eqbrtri 4055	1 ⊢ ℂfld Struct ⟨1, ;13⟩

Syntax hints:  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155  {csn 3623  {ctp 3625  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034   × cxp 4662   ∘ ccom 4668  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ∈ cmpo 5925  ℂcc 7879  0cc0 7881  1c1 7882   + caddc 7884   · cmul 7886  ℝ^*cxr 8062   ≤ cle 8064   − cmin 8199  2c2 9043  3c3 9044  4c4 9045  9c9 9050  ;cdc 9459  ∗ccj 11006  abscabs 11164   Struct cstr 12684  ndxcnx 12685  Basecbs 12688  +_gcplusg 12765  ._rcmulr 12766  *_𝑟cstv 12767  TopSetcts 12771  lecple 12772  distcds 12774  UnifSetcunif 12775  MetOpencmopn 14107  metUnifcmetu 14108  ℂ_fldccnfld 14122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-dec 9460  df-uz 9604  df-rp 9731  df-fz 10086  df-cj 11009  df-abs 11166  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-starv 12780  df-tset 12784  df-ple 12785  df-ds 12787  df-unif 12788  df-topgen 12941  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-fg 14115  df-metu 14116  df-cnfld 14123

This theorem is referenced by:  cnfldex  14125  cnfldbas  14126  mpocnfldadd  14127  mpocnfldmul  14129  cnfldcj  14131  cnfldtset  14132  cnfldle  14133  cnfldds  14134