Theorem 3lcm2e6woprm 12106

Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9014	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 9010	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 7982	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 9302	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 9301	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 12092	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 9251	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 426	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 9031	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2362	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 930	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 11983	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 8953	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 8971	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	16	nnzi 9294	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℤ
19		0z 9284	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		zapne 9347	. . . . . 6 ⊢ (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
22	17, 21	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) # 0
23	15, 22	pm3.2i 272	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24		3nn 9101	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		2nn 9100	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	24, 25	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27		lcmgcdnn 12102	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
28	27	eqcomd 2195	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
29	26, 28	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30		divmulap3 8654	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
31	29, 30	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
32	31	eqcomd 2195	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
33	3, 8, 23, 32	mp3an 1348	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34		gcdcom 11994	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
35	4, 5, 34	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36		1z 9299	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		gcdid 12007	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
39		abs1 11101	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2211	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
41		gcdadd 12006	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
42	36, 36, 41	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43		1p1e2 9056	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
44	43	oveq2i 5903	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
45	40, 42, 44	3eqtri 2214	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
46		gcdcom 11994	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
47	36, 5, 46	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48		gcdadd 12006	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
49	5, 36, 48	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
50	45, 47, 49	3eqtri 2214	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
51		1p2e3 9073	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
52	51	oveq2i 5903	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
53	50, 52	eqtr2i 2211	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
54	35, 53	eqtri 2210	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
55	54	oveq2i 5903	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56		3t2e6 9095	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
57	56	oveq1i 5902	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58		6cn 9021	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
59	58	div1i 8717	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
60	57, 59	eqtri 2210	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
61	33, 55, 60	3eqtri 2214	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   class class class wbr 4018  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892  ℂcc 7829  0cc0 7831  1c1 7832   + caddc 7834   · cmul 7836   # cap 8558   / cdiv 8649  ℕcn 8939  2c2 8990  3c3 8991  6c6 8994  ℤcz 9273  abscabs 11026   gcd cgcd 11963   lcm clcm 12080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-sup 7003  df-inf 7004  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-fz 10029  df-fzo 10163  df-fl 10290  df-mod 10343  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-dvds 11815  df-gcd 11964  df-lcm 12081

This theorem is referenced by: (None)