Theorem 3lcm2e6woprm 10974

Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 8435	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 8431	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 7440	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 8715	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 8714	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 10960	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 8664	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 417	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 266	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 8452	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2253	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 874	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 10860	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 8374	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 417	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 8391	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	16	nnzi 8707	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℤ
19		0z 8697	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		zapne 8757	. . . . . 6 ⊢ (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
21	18, 19, 20	mp2an 417	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
22	17, 21	mpbir 144	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) # 0
23	15, 22	pm3.2i 266	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24		3nn 8515	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		2nn 8514	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	24, 25	pm3.2i 266	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27		lcmgcdnn 10970	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
28	27	eqcomd 2090	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
29	26, 28	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30		divmulap3 8086	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
31	29, 30	mpbird 165	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
32	31	eqcomd 2090	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
33	3, 8, 23, 32	mp3an 1271	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34		gcdcom 10871	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
35	4, 5, 34	mp2an 417	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36		1z 8712	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		gcdid 10883	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
38	36, 37	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
39		abs1 10404	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2106	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
41		gcdadd 10882	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
42	36, 36, 41	mp2an 417	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43		1p1e2 8476	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
44	43	oveq2i 5626	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
45	40, 42, 44	3eqtri 2109	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
46		gcdcom 10871	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
47	36, 5, 46	mp2an 417	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48		gcdadd 10882	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
49	5, 36, 48	mp2an 417	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
50	45, 47, 49	3eqtri 2109	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
51		1p2e3 8487	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
52	51	oveq2i 5626	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
53	50, 52	eqtr2i 2106	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
54	35, 53	eqtri 2105	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
55	54	oveq2i 5626	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56		3t2e6 8509	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
57	56	oveq1i 5625	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58		6cn 8442	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
59	58	div1i 8149	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
60	57, 59	eqtri 2105	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
61	33, 55, 60	3eqtri 2109	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∧ w3a 922   = wceq 1287   ∈ wcel 1436   ≠ wne 2251   class class class wbr 3822  ‘cfv 4983  (class class class)co 5615  ℂcc 7295  0cc0 7297  1c1 7298   + caddc 7300   · cmul 7302   # cap 8002   / cdiv 8081  ℕcn 8360  2c2 8410  3c3 8411  6c6 8414  ℤcz 8686  abscabs 10329   gcd cgcd 10844   lcm clcm 10948

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-isom 4992  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-sup 6626  df-inf 6627  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-5 8422  df-6 8423  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-fz 9360  df-fzo 9485  df-fl 9608  df-mod 9661  df-iseq 9783  df-iexp 9857  df-cj 10175  df-re 10176  df-im 10177  df-rsqrt 10330  df-abs 10331  df-dvds 10703  df-gcd 10845  df-lcm 10949

This theorem is referenced by: (None)