Theorem 3lcm2e6woprm 12842

Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9358	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 9354	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 8321	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 9652	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 9651	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 12828	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 9601	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 430	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 9375	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2422	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 941	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 12717	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 9297	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 9315	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	16	nnzi 9644	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℤ
19		0z 9634	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		zapne 9698	. . . . . 6 ⊢ (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
21	18, 19, 20	mp2an 430	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
22	17, 21	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) # 0
23	15, 22	pm3.2i 272	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24		3nn 9446	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		2nn 9445	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	24, 25	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27		lcmgcdnn 12838	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
28	27	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
29	26, 28	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30		divmulap3 8997	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
31	29, 30	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
32	31	eqcomd 2244	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
33	3, 8, 23, 32	mp3an 1378	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34		gcdcom 12728	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
35	4, 5, 34	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36		1z 9649	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		gcdid 12741	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
39		abs1 11816	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2260	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
41		gcdadd 12740	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
42	36, 36, 41	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43		1p1e2 9400	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
44	43	oveq2i 6086	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
45	40, 42, 44	3eqtri 2263	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
46		gcdcom 12728	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
47	36, 5, 46	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48		gcdadd 12740	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
49	5, 36, 48	mp2an 430	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
50	45, 47, 49	3eqtri 2263	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
51		1p2e3 9418	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
52	51	oveq2i 6086	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
53	50, 52	eqtr2i 2260	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
54	35, 53	eqtri 2259	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
55	54	oveq2i 6086	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56		3t2e6 9440	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
57	56	oveq1i 6085	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58		6cn 9365	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
59	58	div1i 9060	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
60	57, 59	eqtri 2259	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
61	33, 55, 60	3eqtri 2263	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  3c3 9335  6c6 9338  ℤcz 9623  abscabs 11741   gcd cgcd 12708   lcm clcm 12816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288  ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-isom 5381  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-sup 7314  df-inf 7315  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-4 9344  df-5 9345  df-6 9346  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533  df-gcd 12709  df-lcm 12817

This theorem is referenced by: (None)