ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 12040
Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 8953 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 8949 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7925 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 9241 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 9240 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 12026 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 9190 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 424 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 270 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 8970 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2342 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 924 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 11917 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 8892 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 424 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 424 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 8910 . . . . 5 (3 gcd 2) ≠ 0
1816nnzi 9233 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℤ
19 0z 9223 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
20 zapne 9286 . . . . . 6 (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
2118, 19, 20mp2an 424 . . . . 5 ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
2217, 21mpbir 145 . . . 4 (3 gcd 2) # 0
2315, 22pm3.2i 270 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24 3nn 9040 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
25 2nn 9039 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2624, 25pm3.2i 270 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27 lcmgcdnn 12036 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2827eqcomd 2176 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2926, 28mp1i 10 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30 divmulap3 8594 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
3129, 30mpbird 166 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
3231eqcomd 2176 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
333, 8, 23, 32mp3an 1332 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34 gcdcom 11928 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
354, 5, 34mp2an 424 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36 1z 9238 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
37 gcdid 11941 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
39 abs1 11036 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
4038, 39eqtr2i 2192 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
41 gcdadd 11940 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
4236, 36, 41mp2an 424 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43 1p1e2 8995 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4443oveq2i 5864 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4540, 42, 443eqtri 2195 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
46 gcdcom 11928 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4736, 5, 46mp2an 424 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48 gcdadd 11940 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
495, 36, 48mp2an 424 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
5045, 47, 493eqtri 2195 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
51 1p2e3 9012 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
5251oveq2i 5864 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
5350, 52eqtr2i 2192 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
5435, 53eqtri 2191 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5554oveq2i 5864 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56 3t2e6 9034 . . . 4 (3 · 2) = 6
5756oveq1i 5863 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58 6cn 8960 . . . 4 6 ∈ ℂ
5958div1i 8657 . . 3 (6 / 1) = 6
6057, 59eqtri 2191 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
6133, 55, 603eqtri 2195 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   # cap 8500   / cdiv 8589  cn 8878  2c2 8929  3c3 8930  6c6 8933  cz 9212  abscabs 10961   gcd cgcd 11897   lcm clcm 12014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-5 8940  df-6 8941  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-lcm 12015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator