Theorem 3lcm2e6woprm 11963

Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 8908	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 8904	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 7883	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 9196	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 9195	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 11949	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 9145	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 423	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 270	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 8925	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2329	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 915	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 11846	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 8847	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 8865	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	16	nnzi 9188	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℤ
19		0z 9178	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		zapne 9238	. . . . . 6 ⊢ (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
21	18, 19, 20	mp2an 423	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
22	17, 21	mpbir 145	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) # 0
23	15, 22	pm3.2i 270	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24		3nn 8995	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		2nn 8994	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	24, 25	pm3.2i 270	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27		lcmgcdnn 11959	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
28	27	eqcomd 2163	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
29	26, 28	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30		divmulap3 8550	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
31	29, 30	mpbird 166	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
32	31	eqcomd 2163	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
33	3, 8, 23, 32	mp3an 1319	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34		gcdcom 11857	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
35	4, 5, 34	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36		1z 9193	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		gcdid 11870	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
39		abs1 10972	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2179	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
41		gcdadd 11869	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
42	36, 36, 41	mp2an 423	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43		1p1e2 8950	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
44	43	oveq2i 5835	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
45	40, 42, 44	3eqtri 2182	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
46		gcdcom 11857	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
47	36, 5, 46	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48		gcdadd 11869	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
49	5, 36, 48	mp2an 423	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
50	45, 47, 49	3eqtri 2182	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
51		1p2e3 8967	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
52	51	oveq2i 5835	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
53	50, 52	eqtr2i 2179	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
54	35, 53	eqtri 2178	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
55	54	oveq2i 5835	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56		3t2e6 8989	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
57	56	oveq1i 5834	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58		6cn 8915	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
59	58	div1i 8613	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
60	57, 59	eqtri 2178	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
61	33, 55, 60	3eqtri 2182	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   class class class wbr 3965  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737   # cap 8456   / cdiv 8545  ℕcn 8833  2c2 8884  3c3 8885  6c6 8888  ℤcz 9167  abscabs 10897   gcd cgcd 11829   lcm clcm 11937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-5 8895  df-6 8896  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11830  df-lcm 11938

This theorem is referenced by: (None)