ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 11963
Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 8908 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 8904 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7883 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 9196 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 9195 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 11949 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 9145 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 423 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 270 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 8925 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2329 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 915 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 11846 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 8847 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 423 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 423 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 8865 . . . . 5 (3 gcd 2) ≠ 0
1816nnzi 9188 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℤ
19 0z 9178 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
20 zapne 9238 . . . . . 6 (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
2118, 19, 20mp2an 423 . . . . 5 ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
2217, 21mpbir 145 . . . 4 (3 gcd 2) # 0
2315, 22pm3.2i 270 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24 3nn 8995 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
25 2nn 8994 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2624, 25pm3.2i 270 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27 lcmgcdnn 11959 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2827eqcomd 2163 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2926, 28mp1i 10 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30 divmulap3 8550 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
3129, 30mpbird 166 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
3231eqcomd 2163 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
333, 8, 23, 32mp3an 1319 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34 gcdcom 11857 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
354, 5, 34mp2an 423 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36 1z 9193 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
37 gcdid 11870 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
39 abs1 10972 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
4038, 39eqtr2i 2179 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
41 gcdadd 11869 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
4236, 36, 41mp2an 423 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43 1p1e2 8950 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4443oveq2i 5835 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4540, 42, 443eqtri 2182 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
46 gcdcom 11857 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4736, 5, 46mp2an 423 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48 gcdadd 11869 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
495, 36, 48mp2an 423 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
5045, 47, 493eqtri 2182 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
51 1p2e3 8967 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
5251oveq2i 5835 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
5350, 52eqtr2i 2179 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
5435, 53eqtri 2178 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5554oveq2i 5835 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56 3t2e6 8989 . . . 4 (3 · 2) = 6
5756oveq1i 5834 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58 6cn 8915 . . . 4 6 ∈ ℂ
5958div1i 8613 . . 3 (6 / 1) = 6
6057, 59eqtri 2178 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
6133, 55, 603eqtri 2182 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  wne 2327   class class class wbr 3965  cfv 5170  (class class class)co 5824  cc 7730  0cc0 7732  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737   # cap 8456   / cdiv 8545  cn 8833  2c2 8884  3c3 8885  6c6 8888  cz 9167  abscabs 10897   gcd cgcd 11829   lcm clcm 11937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-sup 6928  df-inf 6929  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-5 8895  df-6 8896  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-fl 10169  df-mod 10222  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-dvds 11684  df-gcd 11830  df-lcm 11938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator