Theorem 3lcm2e6woprm 12227

Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
3lcm2e6woprm	⊢ (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cn 9059	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℂ
2		2cn 9055	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℂ
3	1, 2	mulcli 8026	. . 3 ⊢ (3 · 2) ∈ ℂ
4		3z 9349	. . . 4 ⊢ 3 ∈ ℤ
5		2z 9348	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		lcmcl 12213	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 9298	. . . 4 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	mp2an 426	. . 3 ⊢ (3 lcm 2) ∈ ℂ
9	4, 5	pm3.2i 272	. . . . 5 ⊢ (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10		2ne0 9076	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 0
11	10	neii 2366	. . . . . 6 ⊢ ¬ 2 = 0
12	11	intnan 930	. . . . 5 ⊢ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13		gcdn0cl 12102	. . . . . 6 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
14	13	nncnd 8998	. . . . 5 ⊢ (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
15	9, 12, 14	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℂ
16	9, 12, 13	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℕ
17	16	nnne0i 9016	. . . . 5 ⊢ (3 gcd 2) ≠ 0
18	16	nnzi 9341	. . . . . 6 ⊢ (3 gcd 2) ∈ ℤ
19		0z 9331	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
20		zapne 9394	. . . . . 6 ⊢ (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
21	18, 19, 20	mp2an 426	. . . . 5 ⊢ ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
22	17, 21	mpbir 146	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) # 0
23	15, 22	pm3.2i 272	. . 3 ⊢ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24		3nn 9147	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ
25		2nn 9146	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ
26	24, 25	pm3.2i 272	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27		lcmgcdnn 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
28	27	eqcomd 2199	. . . . . 6 ⊢ ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
29	26, 28	mp1i 10	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30		divmulap3 8698	. . . . 5 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
31	29, 30	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
32	31	eqcomd 2199	. . 3 ⊢ (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
33	3, 8, 23, 32	mp3an 1348	. 2 ⊢ (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34		gcdcom 12113	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
35	4, 5, 34	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36		1z 9346	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
37		gcdid 12126	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
38	36, 37	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1 gcd 1) = (abs‘1)
39		abs1 11219	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘1) = 1
40	38, 39	eqtr2i 2215	. . . . . . 7 ⊢ 1 = (1 gcd 1)
41		gcdadd 12125	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
42	36, 36, 41	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43		1p1e2 9101	. . . . . . . 8 ⊢ (1 + 1) = 2
44	43	oveq2i 5930	. . . . . . 7 ⊢ (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
45	40, 42, 44	3eqtri 2218	. . . . . 6 ⊢ 1 = (1 gcd 2)
46		gcdcom 12113	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
47	36, 5, 46	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48		gcdadd 12125	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
49	5, 36, 48	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
50	45, 47, 49	3eqtri 2218	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 gcd (1 + 2))
51		1p2e3 9119	. . . . . 6 ⊢ (1 + 2) = 3
52	51	oveq2i 5930	. . . . 5 ⊢ (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
53	50, 52	eqtr2i 2215	. . . 4 ⊢ (2 gcd 3) = 1
54	35, 53	eqtri 2214	. . 3 ⊢ (3 gcd 2) = 1
55	54	oveq2i 5930	. 2 ⊢ ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56		3t2e6 9141	. . . 4 ⊢ (3 · 2) = 6
57	56	oveq1i 5929	. . 3 ⊢ ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58		6cn 9066	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℂ
59	58	div1i 8761	. . 3 ⊢ (6 / 1) = 6
60	57, 59	eqtri 2214	. 2 ⊢ ((3 · 2) / 1) = 6
61	33, 55, 60	3eqtri 2218	1 ⊢ (3 lcm 2) = 6

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4030  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   + caddc 7877   · cmul 7879   # cap 8602   / cdiv 8693  ℕcn 8984  2c2 9035  3c3 9036  6c6 9039  ℤcz 9320  abscabs 11144   gcd cgcd 12082   lcm clcm 12201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992  ax-arch 7993  ax-caucvg 7994

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-sup 7045  df-inf 7046  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-q 9688  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-fl 10342  df-mod 10397  df-seqfrec 10522  df-exp 10613  df-cj 10989  df-re 10990  df-im 10991  df-rsqrt 11145  df-abs 11146  df-dvds 11934  df-gcd 12083  df-lcm 12202

This theorem is referenced by: (None)