ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 11663
Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 8752 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 8748 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7735 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 9034 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 9033 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 11649 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 8983 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 420 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 268 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 8769 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2285 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 897 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 11547 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 8691 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 420 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 420 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 8709 . . . . 5 (3 gcd 2) ≠ 0
1816nnzi 9026 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℤ
19 0z 9016 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
20 zapne 9076 . . . . . 6 (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
2118, 19, 20mp2an 420 . . . . 5 ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
2217, 21mpbir 145 . . . 4 (3 gcd 2) # 0
2315, 22pm3.2i 268 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24 3nn 8833 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
25 2nn 8832 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2624, 25pm3.2i 268 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27 lcmgcdnn 11659 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2827eqcomd 2121 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2926, 28mp1i 10 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30 divmulap3 8397 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
3129, 30mpbird 166 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
3231eqcomd 2121 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
333, 8, 23, 32mp3an 1298 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34 gcdcom 11558 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
354, 5, 34mp2an 420 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36 1z 9031 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
37 gcdid 11570 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
39 abs1 10784 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
4038, 39eqtr2i 2137 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
41 gcdadd 11569 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
4236, 36, 41mp2an 420 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43 1p1e2 8794 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4443oveq2i 5751 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4540, 42, 443eqtri 2140 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
46 gcdcom 11558 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4736, 5, 46mp2an 420 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48 gcdadd 11569 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
495, 36, 48mp2an 420 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
5045, 47, 493eqtri 2140 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
51 1p2e3 8805 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
5251oveq2i 5751 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
5350, 52eqtr2i 2137 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
5435, 53eqtri 2136 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5554oveq2i 5751 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56 3t2e6 8827 . . . 4 (3 · 2) = 6
5756oveq1i 5750 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58 6cn 8759 . . . 4 6 ∈ ℂ
5958div1i 8460 . . 3 (6 / 1) = 6
6057, 59eqtri 2136 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
6133, 55, 603eqtri 2140 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103  wb 104  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2283   class class class wbr 3897  cfv 5091  (class class class)co 5740  cc 7582  0cc0 7584  1c1 7585   + caddc 7587   · cmul 7589   # cap 8306   / cdiv 8392  cn 8677  2c2 8728  3c3 8729  6c6 8732  cz 9005  abscabs 10709   gcd cgcd 11531   lcm clcm 11637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-5 8739  df-6 8740  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-fz 9731  df-fzo 9860  df-fl 9983  df-mod 10036  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-dvds 11390  df-gcd 11532  df-lcm 11638
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator