ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  3lcm2e6woprm GIF version

Theorem 3lcm2e6woprm 12118
Description: The least common multiple of three and two is six. This proof does not use the property of 2 and 3 being prime. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.) (Revised by AV, 27-Aug-2020.)
Assertion
Ref Expression
3lcm2e6woprm (3 lcm 2) = 6

Proof of Theorem 3lcm2e6woprm
StepHypRef Expression
1 3cn 9024 . . . 4 3 ∈ ℂ
2 2cn 9020 . . . 4 2 ∈ ℂ
31, 2mulcli 7992 . . 3 (3 · 2) ∈ ℂ
4 3z 9312 . . . 4 3 ∈ ℤ
5 2z 9311 . . . 4 2 ∈ ℤ
6 lcmcl 12104 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 9261 . . . 4 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 lcm 2) ∈ ℂ)
84, 5, 7mp2an 426 . . 3 (3 lcm 2) ∈ ℂ
94, 5pm3.2i 272 . . . . 5 (3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ)
10 2ne0 9041 . . . . . . 7 2 ≠ 0
1110neii 2362 . . . . . 6 ¬ 2 = 0
1211intnan 930 . . . . 5 ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)
13 gcdn0cl 11995 . . . . . 6 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℕ)
1413nncnd 8963 . . . . 5 (((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) ∧ ¬ (3 = 0 ∧ 2 = 0)) → (3 gcd 2) ∈ ℂ)
159, 12, 14mp2an 426 . . . 4 (3 gcd 2) ∈ ℂ
169, 12, 13mp2an 426 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℕ
1716nnne0i 8981 . . . . 5 (3 gcd 2) ≠ 0
1816nnzi 9304 . . . . . 6 (3 gcd 2) ∈ ℤ
19 0z 9294 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
20 zapne 9357 . . . . . 6 (((3 gcd 2) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0))
2118, 19, 20mp2an 426 . . . . 5 ((3 gcd 2) # 0 ↔ (3 gcd 2) ≠ 0)
2217, 21mpbir 146 . . . 4 (3 gcd 2) # 0
2315, 22pm3.2i 272 . . 3 ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)
24 3nn 9111 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ
25 2nn 9110 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ
2624, 25pm3.2i 272 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ)
27 lcmgcdnn 12114 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)) = (3 · 2))
2827eqcomd 2195 . . . . . 6 ((3 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
2926, 28mp1i 10 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2)))
30 divmulap3 8664 . . . . 5 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2) ↔ (3 · 2) = ((3 lcm 2) · (3 gcd 2))))
3129, 30mpbird 167 . . . 4 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = (3 lcm 2))
3231eqcomd 2195 . . 3 (((3 · 2) ∈ ℂ ∧ (3 lcm 2) ∈ ℂ ∧ ((3 gcd 2) ∈ ℂ ∧ (3 gcd 2) # 0)) → (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2)))
333, 8, 23, 32mp3an 1348 . 2 (3 lcm 2) = ((3 · 2) / (3 gcd 2))
34 gcdcom 12006 . . . . 5 ((3 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (3 gcd 2) = (2 gcd 3))
354, 5, 34mp2an 426 . . . 4 (3 gcd 2) = (2 gcd 3)
36 1z 9309 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
37 gcdid 12019 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1 gcd 1) = (abs‘1))
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 gcd 1) = (abs‘1)
39 abs1 11113 . . . . . . . 8 (abs‘1) = 1
4038, 39eqtr2i 2211 . . . . . . 7 1 = (1 gcd 1)
41 gcdadd 12018 . . . . . . . 8 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1)))
4236, 36, 41mp2an 426 . . . . . . 7 (1 gcd 1) = (1 gcd (1 + 1))
43 1p1e2 9066 . . . . . . . 8 (1 + 1) = 2
4443oveq2i 5907 . . . . . . 7 (1 gcd (1 + 1)) = (1 gcd 2)
4540, 42, 443eqtri 2214 . . . . . 6 1 = (1 gcd 2)
46 gcdcom 12006 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (1 gcd 2) = (2 gcd 1))
4736, 5, 46mp2an 426 . . . . . 6 (1 gcd 2) = (2 gcd 1)
48 gcdadd 12018 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2)))
495, 36, 48mp2an 426 . . . . . 6 (2 gcd 1) = (2 gcd (1 + 2))
5045, 47, 493eqtri 2214 . . . . 5 1 = (2 gcd (1 + 2))
51 1p2e3 9083 . . . . . 6 (1 + 2) = 3
5251oveq2i 5907 . . . . 5 (2 gcd (1 + 2)) = (2 gcd 3)
5350, 52eqtr2i 2211 . . . 4 (2 gcd 3) = 1
5435, 53eqtri 2210 . . 3 (3 gcd 2) = 1
5554oveq2i 5907 . 2 ((3 · 2) / (3 gcd 2)) = ((3 · 2) / 1)
56 3t2e6 9105 . . . 4 (3 · 2) = 6
5756oveq1i 5906 . . 3 ((3 · 2) / 1) = (6 / 1)
58 6cn 9031 . . . 4 6 ∈ ℂ
5958div1i 8727 . . 3 (6 / 1) = 6
6057, 59eqtri 2210 . 2 ((3 · 2) / 1) = 6
6133, 55, 603eqtri 2214 1 (3 lcm 2) = 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360   class class class wbr 4018  cfv 5235  (class class class)co 5896  cc 7839  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846   # cap 8568   / cdiv 8659  cn 8949  2c2 9000  3c3 9001  6c6 9004  cz 9283  abscabs 11038   gcd cgcd 11975   lcm clcm 12092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-frec 6416  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-fl 10301  df-mod 10354  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-dvds 11827  df-gcd 11976  df-lcm 12093
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator