Theorem mulrslid 13469

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13428	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9450	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13360	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5375  ℕcn 9287  3c3 9339  ndxcnx 13332  Slot cslot 13334  ._rcmulr 13415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-ov 6082  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-mulr 13428

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13475  ressmulrg  13482  srngmulrd  13486  ipsmulrd  13516  imasex  13609  imasival  13610  imasbas  13611  imasplusg  13612  imasmulr  13613  imasmulfn  13624  imasmulval  13625  imasmulf  13626  qusmulval  13641  qusmulf  13642  prdsex  14155  prdsval  14156  prdsmulr  14161  prdsmulrfval  14169  fnmgp  14202  mgpvalg  14203  mgpplusgg  14204  mgpex  14206  mgpbasg  14207  mgpscag  14209  mgptsetg  14210  mgpdsg  14212  mgpress  14213  isrng  14216  issrg  14252  isring  14287  ring1  14347  opprvalg  14357  opprmulfvalg  14358  opprex  14361  opprsllem  14362  subrngintm  14503  islmod  14610  rmodislmodlem  14670  sraval  14757  sralemg  14758  sramulrg  14761  srascag  14762  sravscag  14763  sraipg  14764  sraex  14766  crngridl  14850  mpocnfldmul  14883  zlmmulrg  14949  znmul  14960  isassa  14985  psrval  15033  fnpsr  15034