Theorem mulrslid 13008

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12967	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9206	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12901	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ‘cfv 5276  ℕcn 9043  3c3 9095  ndxcnx 12873  Slot cslot 12875  ._rcmulr 12954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3000  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fv 5284  df-ov 5954  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-mulr 12967

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13014  ressmulrg  13021  srngmulrd  13025  ipsmulrd  13055  prdsex  13145  prdsval  13149  prdsmulr  13154  prdsmulrfval  13162  imasex  13181  imasival  13182  imasbas  13183  imasplusg  13184  imasmulr  13185  imasmulfn  13196  imasmulval  13197  imasmulf  13198  qusmulval  13213  qusmulf  13214  fnmgp  13728  mgpvalg  13729  mgpplusgg  13730  mgpex  13731  mgpbasg  13732  mgpscag  13733  mgptsetg  13734  mgpdsg  13736  mgpress  13737  isrng  13740  issrg  13771  isring  13806  ring1  13865  opprvalg  13875  opprmulfvalg  13876  opprex  13879  opprsllem  13880  subrngintm  14018  islmod  14097  rmodislmodlem  14156  sraval  14243  sralemg  14244  sramulrg  14247  srascag  14248  sravscag  14249  sraipg  14250  sraex  14252  crngridl  14336  mpocnfldmul  14369  zlmmulrg  14437  znmul  14448  psrval  14472  fnpsr  14473