Theorem mulrslid 13432

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13391	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9420	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13324	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ‘cfv 5357  ℕcn 9257  3c3 9309  ndxcnx 13296  Slot cslot 13298  ._rcmulr 13378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-mulr 13391

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13438  ressmulrg  13445  srngmulrd  13449  ipsmulrd  13479  imasex  13572  imasival  13573  imasbas  13574  imasplusg  13575  imasmulr  13576  imasmulfn  13587  imasmulval  13588  imasmulf  13589  qusmulval  13604  qusmulf  13605  prdsex  14117  prdsval  14118  prdsmulr  14123  prdsmulrfval  14131  fnmgp  14164  mgpvalg  14165  mgpplusgg  14166  mgpex  14167  mgpbasg  14168  mgpscag  14169  mgptsetg  14170  mgpdsg  14172  mgpress  14173  isrng  14176  issrg  14211  isring  14246  ring1  14305  opprvalg  14315  opprmulfvalg  14316  opprex  14319  opprsllem  14320  subrngintm  14461  islmod  14568  rmodislmodlem  14627  sraval  14714  sralemg  14715  sramulrg  14718  srascag  14719  sravscag  14720  sraipg  14721  sraex  14723  crngridl  14807  mpocnfldmul  14840  zlmmulrg  14908  znmul  14919  psrval  14943  fnpsr  14944