Theorem mulrslid 13488

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13447	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9469	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13379	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  ℕcn 9305  3c3 9357  ndxcnx 13351  Slot cslot 13353  ._rcmulr 13434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-mulr 13447

This theorem is used by:  rngmulrg  13494  ressmulrg  13501  srngmulrd  13505  ipsmulrd  13535  imasex  13628  imasival  13629  imasbas  13630  imasplusg  13631  imasmulr  13632  imasmulfn  13643  imasmulval  13644  imasmulf  13645  qusmulval  13660  qusmulf  13661  prdsex  14174  prdsval  14175  prdsmulr  14180  prdsmulrfval  14188  fnmgp  14221  mgpvalg  14222  mgpplusgg  14223  mgpex  14225  mgpbasg  14226  mgpscag  14228  mgptsetg  14229  mgpdsg  14231  mgpress  14232  isrng  14235  issrg  14271  isring  14306  ring1  14366  opprvalg  14376  opprmulfvalg  14377  opprex  14380  opprsllem  14381  subrngintm  14522  islmod  14629  rmodislmodlem  14689  sraval  14776  sralemg  14777  sramulrg  14780  srascag  14781  sravscag  14782  sraipg  14783  sraex  14785  crngridl  14869  mpocnfldmul  14902  zlmmulrg  14968  znmul  14979  isassa  15004  psrval  15052  fnpsr  15053