Theorem mulrslid 13173

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13132	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9281	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13065	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5318  ℕcn 9118  3c3 9170  ndxcnx 13037  Slot cslot 13039  ._rcmulr 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-mulr 13132

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13179  ressmulrg  13186  srngmulrd  13190  ipsmulrd  13220  prdsex  13310  prdsval  13314  prdsmulr  13319  prdsmulrfval  13327  imasex  13346  imasival  13347  imasbas  13348  imasplusg  13349  imasmulr  13350  imasmulfn  13361  imasmulval  13362  imasmulf  13363  qusmulval  13378  qusmulf  13379  fnmgp  13893  mgpvalg  13894  mgpplusgg  13895  mgpex  13896  mgpbasg  13897  mgpscag  13898  mgptsetg  13899  mgpdsg  13901  mgpress  13902  isrng  13905  issrg  13936  isring  13971  ring1  14030  opprvalg  14040  opprmulfvalg  14041  opprex  14044  opprsllem  14045  subrngintm  14184  islmod  14263  rmodislmodlem  14322  sraval  14409  sralemg  14410  sramulrg  14413  srascag  14414  sravscag  14415  sraipg  14416  sraex  14418  crngridl  14502  mpocnfldmul  14535  zlmmulrg  14603  znmul  14614  psrval  14638  fnpsr  14639