Theorem mulrslid 12836

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12796	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9172	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12730	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  ℕcn 9009  3c3 9061  ndxcnx 12702  Slot cslot 12704  ._rcmulr 12783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-2 9068  df-3 9069  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-mulr 12796

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12842  ressmulrg  12849  srngmulrd  12853  ipsmulrd  12883  prdsex  12973  prdsval  12977  prdsmulr  12982  prdsmulrfval  12990  imasex  13009  imasival  13010  imasbas  13011  imasplusg  13012  imasmulr  13013  imasmulfn  13024  imasmulval  13025  imasmulf  13026  qusmulval  13041  qusmulf  13042  fnmgp  13556  mgpvalg  13557  mgpplusgg  13558  mgpex  13559  mgpbasg  13560  mgpscag  13561  mgptsetg  13562  mgpdsg  13564  mgpress  13565  isrng  13568  issrg  13599  isring  13634  ring1  13693  opprvalg  13703  opprmulfvalg  13704  opprex  13707  opprsllem  13708  subrngintm  13846  islmod  13925  rmodislmodlem  13984  sraval  14071  sralemg  14072  sramulrg  14075  srascag  14076  sravscag  14077  sraipg  14078  sraex  14080  crngridl  14164  mpocnfldmul  14197  zlmmulrg  14265  znmul  14276  psrval  14298  fnpsr  14299