Theorem mulrslid 13186

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13145	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9289	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13078	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5321  ℕcn 9126  3c3 9178  ndxcnx 13050  Slot cslot 13052  ._rcmulr 13132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1re 8109  ax-addrcl 8112

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fv 5329  df-ov 6013  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-mulr 13145

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13192  ressmulrg  13199  srngmulrd  13203  ipsmulrd  13233  prdsex  13323  prdsval  13327  prdsmulr  13332  prdsmulrfval  13340  imasex  13359  imasival  13360  imasbas  13361  imasplusg  13362  imasmulr  13363  imasmulfn  13374  imasmulval  13375  imasmulf  13376  qusmulval  13391  qusmulf  13392  fnmgp  13906  mgpvalg  13907  mgpplusgg  13908  mgpex  13909  mgpbasg  13910  mgpscag  13911  mgptsetg  13912  mgpdsg  13914  mgpress  13915  isrng  13918  issrg  13949  isring  13984  ring1  14043  opprvalg  14053  opprmulfvalg  14054  opprex  14057  opprsllem  14058  subrngintm  14197  islmod  14276  rmodislmodlem  14335  sraval  14422  sralemg  14423  sramulrg  14426  srascag  14427  sravscag  14428  sraipg  14429  sraex  14431  crngridl  14515  mpocnfldmul  14548  zlmmulrg  14616  znmul  14627  psrval  14651  fnpsr  14652