Theorem mulrslid 12834

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12794	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9170	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12728	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  ℕcn 9007  3c3 9059  ndxcnx 12700  Slot cslot 12702  ._rcmulr 12781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1re 7990  ax-addrcl 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-mulr 12794

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12840  ressmulrg  12847  srngmulrd  12851  ipsmulrd  12881  prdsex  12971  prdsval  12975  prdsmulr  12980  prdsmulrfval  12988  imasex  13007  imasival  13008  imasbas  13009  imasplusg  13010  imasmulr  13011  imasmulfn  13022  imasmulval  13023  imasmulf  13024  qusmulval  13039  qusmulf  13040  fnmgp  13554  mgpvalg  13555  mgpplusgg  13556  mgpex  13557  mgpbasg  13558  mgpscag  13559  mgptsetg  13560  mgpdsg  13562  mgpress  13563  isrng  13566  issrg  13597  isring  13632  ring1  13691  opprvalg  13701  opprmulfvalg  13702  opprex  13705  opprsllem  13706  subrngintm  13844  islmod  13923  rmodislmodlem  13982  sraval  14069  sralemg  14070  sramulrg  14073  srascag  14074  sravscag  14075  sraipg  14076  sraex  14078  crngridl  14162  mpocnfldmul  14195  zlmmulrg  14263  znmul  14274  psrval  14296  fnpsr  14297