Theorem mulrslid 13334

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13293	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9396	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13226	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5351  ℕcn 9233  3c3 9285  ndxcnx 13198  Slot cslot 13200  ._rcmulr 13280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2814  df-sbc 3042  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fv 5359  df-ov 6052  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-mulr 13293

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13340  ressmulrg  13347  srngmulrd  13351  ipsmulrd  13381  prdsex  13471  prdsval  13475  prdsmulr  13480  prdsmulrfval  13488  imasex  13507  imasival  13508  imasbas  13509  imasplusg  13510  imasmulr  13511  imasmulfn  13522  imasmulval  13523  imasmulf  13524  qusmulval  13539  qusmulf  13540  fnmgp  14055  mgpvalg  14056  mgpplusgg  14057  mgpex  14058  mgpbasg  14059  mgpscag  14060  mgptsetg  14061  mgpdsg  14063  mgpress  14064  isrng  14067  issrg  14098  isring  14133  ring1  14192  opprvalg  14202  opprmulfvalg  14203  opprex  14206  opprsllem  14207  subrngintm  14346  islmod  14426  rmodislmodlem  14485  sraval  14572  sralemg  14573  sramulrg  14576  srascag  14577  sravscag  14578  sraipg  14579  sraex  14581  crngridl  14665  mpocnfldmul  14698  zlmmulrg  14766  znmul  14777  psrval  14801  fnpsr  14802