Theorem mulrslid 13238

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13197	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9311	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13130	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  ‘cfv 5328  ℕcn 9148  3c3 9200  ndxcnx 13102  Slot cslot 13104  ._rcmulr 13184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-v 2803  df-sbc 3031  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fv 5336  df-ov 6026  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-mulr 13197

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13244  ressmulrg  13251  srngmulrd  13255  ipsmulrd  13285  prdsex  13375  prdsval  13379  prdsmulr  13384  prdsmulrfval  13392  imasex  13411  imasival  13412  imasbas  13413  imasplusg  13414  imasmulr  13415  imasmulfn  13426  imasmulval  13427  imasmulf  13428  qusmulval  13443  qusmulf  13444  fnmgp  13959  mgpvalg  13960  mgpplusgg  13961  mgpex  13962  mgpbasg  13963  mgpscag  13964  mgptsetg  13965  mgpdsg  13967  mgpress  13968  isrng  13971  issrg  14002  isring  14037  ring1  14096  opprvalg  14106  opprmulfvalg  14107  opprex  14110  opprsllem  14111  subrngintm  14250  islmod  14329  rmodislmodlem  14388  sraval  14475  sralemg  14476  sramulrg  14479  srascag  14480  sravscag  14481  sraipg  14482  sraex  14484  crngridl  14568  mpocnfldmul  14601  zlmmulrg  14669  znmul  14680  psrval  14704  fnpsr  14705