Theorem mulrslid 12584

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12544	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9079	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12481	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5216  ℕcn 8917  3c3 8969  ndxcnx 12453  Slot cslot 12455  ._rcmulr 12531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-mulr 12544

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12590  ressmulrg  12597  srngmulrd  12601  ipsmulrd  12631  prdsex  12712  imasex  12720  imasival  12721  imasbas  12722  imasplusg  12723  imasmulr  12724  imasmulfn  12735  imasmulval  12736  imasmulf  12737  qusmulval  12750  qusmulf  12751  fnmgp  13125  mgpvalg  13126  mgpplusgg  13127  mgpex  13128  mgpbasg  13129  mgpscag  13130  mgptsetg  13131  mgpdsg  13133  mgpress  13134  issrg  13141  isring  13176  ring1  13229  opprvalg  13234  opprmulfvalg  13235  opprex  13238  opprsllem  13239  cnfldmul  13392