Theorem mulrslid 12615

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12575	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9100	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12511	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5231  ℕcn 8938  3c3 8990  ndxcnx 12483  Slot cslot 12485  ._rcmulr 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1re 7924  ax-addrcl 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-sbc 2978  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-ov 5894  df-inn 8939  df-2 8997  df-3 8998  df-ndx 12489  df-slot 12490  df-mulr 12575

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12621  ressmulrg  12628  srngmulrd  12632  ipsmulrd  12662  prdsex  12746  imasex  12754  imasival  12755  imasbas  12756  imasplusg  12757  imasmulr  12758  imasmulfn  12769  imasmulval  12770  imasmulf  12771  qusmulval  12785  qusmulf  12786  fnmgp  13243  mgpvalg  13244  mgpplusgg  13245  mgpex  13246  mgpbasg  13247  mgpscag  13248  mgptsetg  13249  mgpdsg  13251  mgpress  13252  isrng  13255  issrg  13286  isring  13321  ring1  13378  opprvalg  13386  opprmulfvalg  13387  opprex  13390  opprsllem  13391  subrngintm  13526  islmod  13574  rmodislmodlem  13633  sraval  13720  sralemg  13721  sramulrg  13724  srascag  13725  sravscag  13726  sraipg  13727  sraex  13729  crngridl  13811  cnfldmul  13837  zlmmulrg  13894