Theorem mulrslid 12604

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12564	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9094	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12500	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ‘cfv 5228  ℕcn 8932  3c3 8984  ndxcnx 12472  Slot cslot 12474  ._rcmulr 12551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1re 7918  ax-addrcl 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-sbc 2975  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-mulr 12564

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12610  ressmulrg  12617  srngmulrd  12621  ipsmulrd  12651  prdsex  12735  imasex  12743  imasival  12744  imasbas  12745  imasplusg  12746  imasmulr  12747  imasmulfn  12758  imasmulval  12759  imasmulf  12760  qusmulval  12774  qusmulf  12775  fnmgp  13164  mgpvalg  13165  mgpplusgg  13166  mgpex  13167  mgpbasg  13168  mgpscag  13169  mgptsetg  13170  mgpdsg  13172  mgpress  13173  isrng  13176  issrg  13202  isring  13237  ring1  13294  opprvalg  13302  opprmulfvalg  13303  opprex  13306  opprsllem  13307  islmod  13444  rmodislmodlem  13503  sraval  13590  sralemg  13591  sramulrg  13594  srascag  13595  sravscag  13596  sraipg  13597  sraex  13599  cnfldmul  13687  zlmmulrg  13733