Theorem mulrslid 12809

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 12769	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9153	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 12703	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5258  ℕcn 8990  3c3 9042  ndxcnx 12675  Slot cslot 12677  ._rcmulr 12756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-mulr 12769

This theorem is referenced by:  rngmulrg  12815  ressmulrg  12822  srngmulrd  12826  ipsmulrd  12856  prdsex  12940  imasex  12948  imasival  12949  imasbas  12950  imasplusg  12951  imasmulr  12952  imasmulfn  12963  imasmulval  12964  imasmulf  12965  qusmulval  12980  qusmulf  12981  fnmgp  13478  mgpvalg  13479  mgpplusgg  13480  mgpex  13481  mgpbasg  13482  mgpscag  13483  mgptsetg  13484  mgpdsg  13486  mgpress  13487  isrng  13490  issrg  13521  isring  13556  ring1  13615  opprvalg  13625  opprmulfvalg  13626  opprex  13629  opprsllem  13630  subrngintm  13768  islmod  13847  rmodislmodlem  13906  sraval  13993  sralemg  13994  sramulrg  13997  srascag  13998  sravscag  13999  sraipg  14000  sraex  14002  crngridl  14086  mpocnfldmul  14119  zlmmulrg  14187  znmul  14198  psrval  14220  fnpsr  14221