Theorem mulrslid 13131

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13090	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9241	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13023	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1375   ∈ wcel 2180  ‘cfv 5294  ℕcn 9078  3c3 9130  ndxcnx 12995  Slot cslot 12997  ._rcmulr 13077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1re 8061  ax-addrcl 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ral 2493  df-rex 2494  df-v 2781  df-sbc 3009  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fv 5302  df-ov 5977  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-mulr 13090

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13137  ressmulrg  13144  srngmulrd  13148  ipsmulrd  13178  prdsex  13268  prdsval  13272  prdsmulr  13277  prdsmulrfval  13285  imasex  13304  imasival  13305  imasbas  13306  imasplusg  13307  imasmulr  13308  imasmulfn  13319  imasmulval  13320  imasmulf  13321  qusmulval  13336  qusmulf  13337  fnmgp  13851  mgpvalg  13852  mgpplusgg  13853  mgpex  13854  mgpbasg  13855  mgpscag  13856  mgptsetg  13857  mgpdsg  13859  mgpress  13860  isrng  13863  issrg  13894  isring  13929  ring1  13988  opprvalg  13998  opprmulfvalg  13999  opprex  14002  opprsllem  14003  subrngintm  14141  islmod  14220  rmodislmodlem  14279  sraval  14366  sralemg  14367  sramulrg  14370  srascag  14371  sravscag  14372  sraipg  14373  sraex  14375  crngridl  14459  mpocnfldmul  14492  zlmmulrg  14560  znmul  14571  psrval  14595  fnpsr  14596