Theorem mulrslid 13208

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13167	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9299	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13100	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  ℕcn 9136  3c3 9188  ndxcnx 13072  Slot cslot 13074  ._rcmulr 13154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-sbc 3030  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-mulr 13167

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13214  ressmulrg  13221  srngmulrd  13225  ipsmulrd  13255  prdsex  13345  prdsval  13349  prdsmulr  13354  prdsmulrfval  13362  imasex  13381  imasival  13382  imasbas  13383  imasplusg  13384  imasmulr  13385  imasmulfn  13396  imasmulval  13397  imasmulf  13398  qusmulval  13413  qusmulf  13414  fnmgp  13928  mgpvalg  13929  mgpplusgg  13930  mgpex  13931  mgpbasg  13932  mgpscag  13933  mgptsetg  13934  mgpdsg  13936  mgpress  13937  isrng  13940  issrg  13971  isring  14006  ring1  14065  opprvalg  14075  opprmulfvalg  14076  opprex  14079  opprsllem  14080  subrngintm  14219  islmod  14298  rmodislmodlem  14357  sraval  14444  sralemg  14445  sramulrg  14448  srascag  14449  sravscag  14450  sraipg  14451  sraex  14453  crngridl  14537  mpocnfldmul  14570  zlmmulrg  14638  znmul  14649  psrval  14673  fnpsr  14674