Theorem mulrslid 13217

Description: Slot property of ._r. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Feb-2023.)

Assertion

Ref	Expression
mulrslid	⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Proof of Theorem mulrslid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mulr 13176	. 2 ⊢ .r = Slot 3
2		3nn 9306	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxslid 13109	1 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)

Syntax hints:   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  ℕcn 9143  3c3 9195  ndxcnx 13081  Slot cslot 13083  ._rcmulr 13163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6021  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-mulr 13176

This theorem is referenced by:  rngmulrg  13223  ressmulrg  13230  srngmulrd  13234  ipsmulrd  13264  prdsex  13354  prdsval  13358  prdsmulr  13363  prdsmulrfval  13371  imasex  13390  imasival  13391  imasbas  13392  imasplusg  13393  imasmulr  13394  imasmulfn  13405  imasmulval  13406  imasmulf  13407  qusmulval  13422  qusmulf  13423  fnmgp  13938  mgpvalg  13939  mgpplusgg  13940  mgpex  13941  mgpbasg  13942  mgpscag  13943  mgptsetg  13944  mgpdsg  13946  mgpress  13947  isrng  13950  issrg  13981  isring  14016  ring1  14075  opprvalg  14085  opprmulfvalg  14086  opprex  14089  opprsllem  14090  subrngintm  14229  islmod  14308  rmodislmodlem  14367  sraval  14454  sralemg  14455  sramulrg  14458  srascag  14459  sravscag  14460  sraipg  14461  sraex  14463  crngridl  14547  mpocnfldmul  14580  zlmmulrg  14648  znmul  14659  psrval  14683  fnpsr  14684