ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig GIF version

Theorem distrpig 7345
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 7321 . . 3 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
2 pinn 7321 . . 3 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
3 pinn 7321 . . 3 (๐ถ โˆˆ N โ†’ ๐ถ โˆˆ ฯ‰)
4 nndi 6500 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3an 1290 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
6 addclpi 7339 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ต +N ๐ถ) โˆˆ N)
7 mulpiord 7329 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต +N ๐ถ) โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)))
86, 7sylan2 286 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)))
9 addpiord 7328 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ต +N ๐ถ) = (๐ต +o ๐ถ))
109oveq2d 5904 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
1110adantl 277 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
128, 11eqtrd 2220 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
13123impb 1200 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
14 mulclpi 7340 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)
15 mulclpi 7340 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N)
16 addpiord 7328 . . . . 5 (((๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N โˆง (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)))
1714, 15, 16syl2an 289 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)))
18 mulpiord 7329 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต))
19 mulpiord 7329 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
2018, 19oveqan12d 5907 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
2117, 20eqtrd 2220 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
22213impdi 1303 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
235, 13, 223eqtr4d 2230 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 979   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  ฯ‰com 4601  (class class class)co 5888   +o coa 6427   ยทo comu 6428  Ncnpi 7284   +N cpli 7285   ยทN cmi 7286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7379  addassnqg  7394  distrnqg  7399  ltanqg  7412  ltexnqq  7420
  Copyright terms: Public domain W3C validator