ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  distrpig GIF version

Theorem distrpig 7350
Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrpig ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)))

Proof of Theorem distrpig
StepHypRef Expression
1 pinn 7326 . . 3 (๐ด โˆˆ N โ†’ ๐ด โˆˆ ฯ‰)
2 pinn 7326 . . 3 (๐ต โˆˆ N โ†’ ๐ต โˆˆ ฯ‰)
3 pinn 7326 . . 3 (๐ถ โˆˆ N โ†’ ๐ถ โˆˆ ฯ‰)
4 nndi 6505 . . 3 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ถ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
51, 2, 3, 4syl3an 1291 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
6 addclpi 7344 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ต +N ๐ถ) โˆˆ N)
7 mulpiord 7334 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต +N ๐ถ) โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)))
86, 7sylan2 286 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)))
9 addpiord 7333 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ต +N ๐ถ) = (๐ต +o ๐ถ))
109oveq2d 5907 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
1110adantl 277 . . . 4 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทo (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
128, 11eqtrd 2222 . . 3 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
13123impb 1201 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = (๐ด ยทo (๐ต +o ๐ถ)))
14 mulclpi 7345 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N)
15 mulclpi 7345 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N)
16 addpiord 7333 . . . . 5 (((๐ด ยทN ๐ต) โˆˆ N โˆง (๐ด ยทN ๐ถ) โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)))
1714, 15, 16syl2an 289 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)))
18 mulpiord 7334 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ต) = (๐ด ยทo ๐ต))
19 mulpiord 7334 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐ถ) = (๐ด ยทo ๐ถ))
2018, 19oveqan12d 5910 . . . 4 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +o (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
2117, 20eqtrd 2222 . . 3 (((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N) โˆง (๐ด โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
22213impdi 1304 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)) = ((๐ด ยทo ๐ต) +o (๐ด ยทo ๐ถ)))
235, 13, 223eqtr4d 2232 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN (๐ต +N ๐ถ)) = ((๐ด ยทN ๐ต) +N (๐ด ยทN ๐ถ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 980   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  ฯ‰com 4604  (class class class)co 5891   +o coa 6432   ยทo comu 6433  Ncnpi 7289   +N cpli 7290   ยทN cmi 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323
This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7384  addassnqg  7399  distrnqg  7404  ltanqg  7417  ltexnqq  7425
  Copyright terms: Public domain W3C validator