Theorem distrpig 7543

Description: Multiplication of positive integers is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 26-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrpig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))

Proof of Theorem distrpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7519	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7519	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		pinn 7519	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ N → 𝐶 ∈ ω)
4		nndi 6649	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1313	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
6		addclpi 7537	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) ∈ N)
7		mulpiord 7527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 +N 𝐶) ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)))
9		addpiord 7526	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐵 +N 𝐶) = (𝐵 +o 𝐶))
10	9	oveq2d 6029	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·o (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
12	8, 11	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ (𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
13	12	3impb 1223	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = (𝐴 ·o (𝐵 +o 𝐶)))
14		mulclpi 7538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) ∈ N)
15		mulclpi 7538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N)
16		addpiord 7526	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ·N 𝐵) ∈ N ∧ (𝐴 ·N 𝐶) ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
17	14, 15, 16	syl2an 289	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)))
18		mulpiord 7527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐵) = (𝐴 ·o 𝐵))
19		mulpiord 7527	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N 𝐶) = (𝐴 ·o 𝐶))
20	18, 19	oveqan12d 6032	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +o (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
21	17, 20	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) ∧ (𝐴 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N)) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
22	21	3impdi 1327	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)) = ((𝐴 ·o 𝐵) +o (𝐴 ·o 𝐶)))
23	5, 13, 22	3eqtr4d 2272	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N ∧ 𝐶 ∈ N) → (𝐴 ·N (𝐵 +N 𝐶)) = ((𝐴 ·N 𝐵) +N (𝐴 ·N 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ωcom 4686  (class class class)co 6013   +_o coa 6574   ·_o comu 6575  Ncnpi 7482   +_N cpli 7483   ·_N cmi 7484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-irdg 6531  df-oadd 6581  df-omul 6582  df-ni 7514  df-pli 7515  df-mi 7516

This theorem is referenced by:  addcmpblnq  7577  addassnqg  7592  distrnqg  7597  ltanqg  7610  ltexnqq  7618