ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnidpig GIF version

Theorem addnidpig 7354
Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
addnidpig ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpig
StepHypRef Expression
1 pinn 7327 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 elni2 7332 . . . 4 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3 nnaordi 6527 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4 nna0 6493 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
54eleq1d 2258 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6 nnord 4626 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 ordirr 4556 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴𝐴)
9 eleq2 2253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴𝐴))
109notbid 668 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴𝐴))
118, 10syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1211con2d 625 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
135, 12sylbid 150 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1413adantl 277 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
153, 14syld 45 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1615expcom 116 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
1716imp32 257 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
182, 17sylan2b 287 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
191, 18sylan 283 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20 addpiord 7334 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2120eqeq1d 2198 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
2219, 21mtbird 674 1 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  c0 3437  Ord word 4377  ωcom 4604  (class class class)co 5891   +o coa 6432  Ncnpi 7290   +N cpli 7291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-ni 7322  df-pli 7323
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator