Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addnidpig GIF version

 Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)
Assertion
Ref Expression
addnidpig ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

StepHypRef Expression
1 pinn 6965 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 elni2 6970 . . . 4 (𝐵N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3 nnaordi 6307 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4 nna0 6275 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
54eleq1d 2163 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6 nnord 4454 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7 ordirr 4386 . . . . . . . . . . . 12 (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴𝐴)
86, 7syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴𝐴)
9 eleq2 2158 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴𝐴))
109notbid 630 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴𝐴))
118, 10syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
1211con2d 592 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
135, 12sylbid 149 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1413adantl 272 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
153, 14syld 45 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
1615expcom 115 . . . . 5 (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
1716imp32 254 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
182, 17sylan2b 282 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
191, 18sylan 278 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20 addpiord 6972 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
2120eqeq1d 2103 . 2 ((𝐴N𝐵N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
2219, 21mtbird 636 1 ((𝐴N𝐵N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  ∅c0 3302  Ord word 4213  ωcom 4433  (class class class)co 5690   +o coa 6216  Ncnpi 6928   +N cpli 6929 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-coll 3975  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-iinf 4431 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 784  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-tr 3959  df-id 4144  df-iord 4217  df-on 4219  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-f1 5054  df-fo 5055  df-f1o 5056  df-fv 5057  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-recs 6108  df-irdg 6173  df-oadd 6223  df-ni 6960  df-pli 6961 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator