Theorem addnidpig 7277

Description: There is no identity element for addition on positive integers. (Contributed by NM, 28-Nov-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addnidpig	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem addnidpig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		elni2 7255	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ N ↔ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵))
3		nnaordi 6476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → (𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
4		nna0 6442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 +o ∅) = 𝐴)
5	4	eleq1d 2235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
6		nnord 4589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
7		ordirr 4519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Ord 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8	6, 7	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
9		eleq2 2230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ 𝐴 ∈ 𝐴))
10	9	notbid 657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → (¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) ↔ ¬ 𝐴 ∈ 𝐴))
11	8, 10	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o 𝐵) = 𝐴 → ¬ 𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵)))
12	11	con2d 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐴 ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
13	5, 12	sylbid 149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
14	13	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → ((𝐴 +o ∅) ∈ (𝐴 +o 𝐵) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
15	3, 14	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐴 ∈ ω) → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
16	15	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω → (∅ ∈ 𝐵 → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)))
17	16	imp32 255	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ∈ ω ∧ ∅ ∈ 𝐵)) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
18	2, 17	sylan2b 285	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
19	1, 18	sylan 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴)
20		addpiord 7257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 +N 𝐵) = (𝐴 +o 𝐵))
21	20	eqeq1d 2174	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ((𝐴 +N 𝐵) = 𝐴 ↔ (𝐴 +o 𝐵) = 𝐴))
22	19, 21	mtbird 663	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → ¬ (𝐴 +N 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ∅c0 3409  Ord word 4340  ωcom 4567  (class class class)co 5842   +_o coa 6381  Ncnpi 7213   +_N cpli 7214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-ni 7245  df-pli 7246

This theorem is referenced by: (None)