Theorem negiso 8999

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the real numbers, which is its own inverse. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
negiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)

Assertion

Ref	Expression
negiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem negiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3	2	renegcld 8423	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -𝑥 ∈ ℝ)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5	4	renegcld 8423	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℝ)
6		recn 8029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
7		recn 8029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8		negcon2 8296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
10	9	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 = -𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑥))
11	1, 3, 5, 10	f1ocnv2d 6131	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)))
12	11	mptru 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦))
13	12	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ
14		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
15	14	recnd 8072	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
16	15	negcld 8341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑧 ∈ ℂ)
17	7	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
18	17	negcld 8341	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -𝑦 ∈ ℂ)
19		brcnvg 4848	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑧 ∈ ℂ ∧ -𝑦 ∈ ℂ) → (-𝑧◡ < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
20	16, 18, 19	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-𝑧◡ < -𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
21	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥))
22		negeq 8236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑥 = -𝑧)
23	22	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = 𝑧) → -𝑥 = -𝑧)
24	21, 23, 14, 16	fvmptd 5645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑧) = -𝑧)
25		negeq 8236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑥 = -𝑦)
26	25	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 = 𝑦) → -𝑥 = -𝑦)
27		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
28	21, 26, 27, 18	fvmptd 5645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑦) = -𝑦)
29	24, 28	breq12d 4047	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑧◡ < -𝑦))
30		ltneg 8506	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝑧))
31	20, 29, 30	3bitr4rd 221	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
32	31	rgen2a 2551	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
33		df-isom 5268	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ↔ (𝐹:ℝ–1-1-onto→ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
34	13, 32, 33	mpbir2an 944	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ)
35		negeq 8236	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑦 = -𝑥)
36	35	cbvmptv 4130	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -𝑥)
37	12	simpri 113	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ ↦ -𝑦)
38	36, 37, 1	3eqtr4i 2227	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
39	34, 38	pm3.2i 272	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ, ℝ) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  ^◡ccnv 4663  –1-1-onto→wf1o 5258  ‘cfv 5259   Isom wiso 5260  ℂcc 7894  ℝcr 7895   < clt 8078  -cneg 8215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-addcom 7996  ax-addass 7998  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-cnre 8007  ax-pre-ltadd 8012

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-ltxr 8083  df-sub 8216  df-neg 8217

This theorem is referenced by:  infrenegsupex  9685