ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnegiso GIF version

Theorem xrnegiso 11405
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrnegiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
Assertion
Ref Expression
xrnegiso (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrnegiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2 simpr 110 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32xnegcld 9921 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4 simpr 110 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
54xnegcld 9921 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6 xnegneg 9899 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
76eqeq2d 2205 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
87adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9 eqcom 2195 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝑦 = 𝑥𝑥 = -𝑒𝑦)
108, 9bitrdi 196 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑥 = -𝑒𝑦))
11 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12 xnegcl 9898 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
1312adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14 xneg11 9900 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1610, 15bitr3d 190 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
1716adantl 277 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
181, 3, 5, 17f1ocnv2d 6122 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
1918mptru 1373 . . . 4 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
2019simpli 111 . . 3 𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*
21 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
2221xnegcld 9921 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2423xnegcld 9921 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25 brcnvg 4843 . . . . . 6 ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
2622, 24, 25syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27 xnegeq 9893 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
281, 27, 21, 22fvmptd3 5651 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑧) = -𝑒𝑧)
29 xnegeq 9893 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
301, 29, 23, 24fvmptd3 5651 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = -𝑒𝑦)
3128, 30breq12d 4042 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑒𝑧 < -𝑒𝑦))
32 xltneg 9902 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
3326, 31, 323bitr4rd 221 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
3433rgen2a 2548 . . 3 𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
35 df-isom 5263 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
3620, 34, 35mpbir2an 944 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
37 xnegeq 9893 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
3837cbvmptv 4125 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
3919simpri 113 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
4038, 39, 13eqtr4i 2224 . 2 𝐹 = 𝐹
4136, 40pm3.2i 272 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wtru 1365  wcel 2164  wral 2472   class class class wbr 4029  cmpt 4090  ccnv 4658  1-1-ontowf1o 5253  cfv 5254   Isom wiso 5255  *cxr 8053   < clt 8054  -𝑒cxne 9835
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltadd 7988
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-sub 8192  df-neg 8193  df-xneg 9838
This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11406
  Copyright terms: Public domain W3C validator