ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnegiso GIF version

Theorem xrnegiso 10999
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrnegiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
Assertion
Ref Expression
xrnegiso (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrnegiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2 simpr 109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32xnegcld 9606 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4 simpr 109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
54xnegcld 9606 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6 xnegneg 9584 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
76eqeq2d 2129 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
87adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9 eqcom 2119 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝑦 = 𝑥𝑥 = -𝑒𝑦)
108, 9syl6bb 195 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑥 = -𝑒𝑦))
11 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12 xnegcl 9583 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
1312adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14 xneg11 9585 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1511, 13, 14syl2anc 408 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1610, 15bitr3d 189 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
1716adantl 275 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
181, 3, 5, 17f1ocnv2d 5942 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
1918mptru 1325 . . . 4 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
2019simpli 110 . . 3 𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*
21 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
2221xnegcld 9606 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2423xnegcld 9606 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25 brcnvg 4690 . . . . . 6 ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
2622, 24, 25syl2anc 408 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27 xnegeq 9578 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
281, 27, 21, 22fvmptd3 5482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑧) = -𝑒𝑧)
29 xnegeq 9578 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
301, 29, 23, 24fvmptd3 5482 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = -𝑒𝑦)
3128, 30breq12d 3912 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑒𝑧 < -𝑒𝑦))
32 xltneg 9587 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
3326, 31, 323bitr4rd 220 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
3433rgen2a 2463 . . 3 𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
35 df-isom 5102 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
3620, 34, 35mpbir2an 911 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
37 xnegeq 9578 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
3837cbvmptv 3994 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
3919simpri 112 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
4038, 39, 13eqtr4i 2148 . 2 𝐹 = 𝐹
4136, 40pm3.2i 270 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1316  wtru 1317  wcel 1465  wral 2393   class class class wbr 3899  cmpt 3959  ccnv 4508  1-1-ontowf1o 5092  cfv 5093   Isom wiso 5094  *cxr 7767   < clt 7768  -𝑒cxne 9524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-if 3445  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-isom 5102  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-sub 7903  df-neg 7904  df-xneg 9527
This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11000
  Copyright terms: Public domain W3C validator