Theorem xrnegiso 11408

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrnegiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)

Assertion

Ref	Expression
xrnegiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 9924	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5	4	xnegcld 9924	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6		xnegneg 9902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
7	6	eqeq2d 2205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9		eqcom 2195	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦)
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦))
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12		xnegcl 9901	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14		xneg11 9903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
16	10, 15	bitr3d 190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
18	1, 3, 5, 17	f1ocnv2d 6124	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
19	18	mptru 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
20	19	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
22	21	xnegcld 9924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	23	xnegcld 9924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25		brcnvg 4844	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27		xnegeq 9896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
28	1, 27, 21, 22	fvmptd3 5652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑧) = -𝑒𝑧)
29		xnegeq 9896	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
30	1, 29, 23, 24	fvmptd3 5652	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑦)
31	28, 30	breq12d 4043	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦))
32		xltneg 9905	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
33	26, 31, 32	3bitr4rd 221	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
34	33	rgen2a 2548	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
35		df-isom 5264	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
36	20, 34, 35	mpbir2an 944	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
37		xnegeq 9896	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
38	37	cbvmptv 4126	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
39	19	simpri 113	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
40	38, 39, 1	3eqtr4i 2224	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
41	36, 40	pm3.2i 272	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472   class class class wbr 4030   ↦ cmpt 4091  ^◡ccnv 4659  –1-1-onto→wf1o 5254  ‘cfv 5255   Isom wiso 5256  ℝ^*cxr 8055   < clt 8056  -_𝑒cxne 9838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-sub 8194  df-neg 8195  df-xneg 9841

This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11409