Theorem xrnegiso 11269

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrnegiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)

Assertion

Ref	Expression
xrnegiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 9854	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5	4	xnegcld 9854	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6		xnegneg 9832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
7	6	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9		eqcom 2179	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦)
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦))
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12		xnegcl 9831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14		xneg11 9833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
16	10, 15	bitr3d 190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
18	1, 3, 5, 17	f1ocnv2d 6074	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
19	18	mptru 1362	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
20	19	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
22	21	xnegcld 9854	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	23	xnegcld 9854	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25		brcnvg 4808	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27		xnegeq 9826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
28	1, 27, 21, 22	fvmptd3 5609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑧) = -𝑒𝑧)
29		xnegeq 9826	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
30	1, 29, 23, 24	fvmptd3 5609	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑦)
31	28, 30	breq12d 4016	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦))
32		xltneg 9835	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
33	26, 31, 32	3bitr4rd 221	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
34	33	rgen2a 2531	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
35		df-isom 5225	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
36	20, 34, 35	mpbir2an 942	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
37		xnegeq 9826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
38	37	cbvmptv 4099	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
39	19	simpri 113	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
40	38, 39, 1	3eqtr4i 2208	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
41	36, 40	pm3.2i 272	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  ⊤wtru 1354   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  ^◡ccnv 4625  –1-1-onto→wf1o 5215  ‘cfv 5216   Isom wiso 5217  ℝ^*cxr 7990   < clt 7991  -_𝑒cxne 9768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-cnre 7921  ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-sub 8129  df-neg 8130  df-xneg 9771

This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11270