ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnegiso GIF version

Theorem xrnegiso 11272
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrnegiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
Assertion
Ref Expression
xrnegiso (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrnegiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2 simpr 110 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32xnegcld 9857 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4 simpr 110 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
54xnegcld 9857 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6 xnegneg 9835 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
76eqeq2d 2189 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
87adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9 eqcom 2179 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝑦 = 𝑥𝑥 = -𝑒𝑦)
108, 9bitrdi 196 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑥 = -𝑒𝑦))
11 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12 xnegcl 9834 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
1312adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14 xneg11 9836 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1610, 15bitr3d 190 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
1716adantl 277 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
181, 3, 5, 17f1ocnv2d 6077 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
1918mptru 1362 . . . 4 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
2019simpli 111 . . 3 𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*
21 simpl 109 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
2221xnegcld 9857 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23 simpr 110 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2423xnegcld 9857 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25 brcnvg 4810 . . . . . 6 ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
2622, 24, 25syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27 xnegeq 9829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
281, 27, 21, 22fvmptd3 5611 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑧) = -𝑒𝑧)
29 xnegeq 9829 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
301, 29, 23, 24fvmptd3 5611 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = -𝑒𝑦)
3128, 30breq12d 4018 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑒𝑧 < -𝑒𝑦))
32 xltneg 9838 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
3326, 31, 323bitr4rd 221 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
3433rgen2a 2531 . . 3 𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
35 df-isom 5227 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
3620, 34, 35mpbir2an 942 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
37 xnegeq 9829 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
3837cbvmptv 4101 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
3919simpri 113 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
4038, 39, 13eqtr4i 2208 . 2 𝐹 = 𝐹
4136, 40pm3.2i 272 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wtru 1354  wcel 2148  wral 2455   class class class wbr 4005  cmpt 4066  ccnv 4627  1-1-ontowf1o 5217  cfv 5218   Isom wiso 5219  *cxr 7993   < clt 7994  -𝑒cxne 9771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-sub 8132  df-neg 8133  df-xneg 9774
This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11273
  Copyright terms: Public domain W3C validator