Theorem xrnegiso 11189

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrnegiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)

Assertion

Ref	Expression
xrnegiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 9782	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5	4	xnegcld 9782	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6		xnegneg 9760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
7	6	eqeq2d 2176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
8	7	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9		eqcom 2166	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦)
10	8, 9	bitrdi 195	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦))
11		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12		xnegcl 9759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14		xneg11 9761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
15	11, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
16	10, 15	bitr3d 189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
17	16	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
18	1, 3, 5, 17	f1ocnv2d 6036	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
19	18	mptru 1351	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
20	19	simpli 110	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*
21		simpl 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
22	21	xnegcld 9782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	23	xnegcld 9782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25		brcnvg 4779	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27		xnegeq 9754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
28	1, 27, 21, 22	fvmptd3 5573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑧) = -𝑒𝑧)
29		xnegeq 9754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
30	1, 29, 23, 24	fvmptd3 5573	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑦)
31	28, 30	breq12d 3989	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦))
32		xltneg 9763	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
33	26, 31, 32	3bitr4rd 220	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
34	33	rgen2a 2518	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
35		df-isom 5191	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
36	20, 34, 35	mpbir2an 931	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
37		xnegeq 9754	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
38	37	cbvmptv 4072	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
39	19	simpri 112	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
40	38, 39, 1	3eqtr4i 2195	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
41	36, 40	pm3.2i 270	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1342  ⊤wtru 1343   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442   class class class wbr 3976   ↦ cmpt 4037  ^◡ccnv 4597  –1-1-onto→wf1o 5181  ‘cfv 5182   Isom wiso 5183  ℝ^*cxr 7923   < clt 7924  -_𝑒cxne 9696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4094  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-id 4265  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-sub 8062  df-neg 8063  df-xneg 9699

This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11190