ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrnegiso GIF version

Theorem xrnegiso 11062
Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
xrnegiso.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
Assertion
Ref Expression
xrnegiso (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrnegiso.1 . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2 simpr 109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
32xnegcld 9667 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4 simpr 109 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
54xnegcld 9667 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6 xnegneg 9645 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
76eqeq2d 2152 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
87adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9 eqcom 2142 . . . . . . . . 9 (-𝑒𝑦 = 𝑥𝑥 = -𝑒𝑦)
108, 9syl6bb 195 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑥 = -𝑒𝑦))
11 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12 xnegcl 9644 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
1312adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14 xneg11 9646 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1511, 13, 14syl2anc 409 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥𝑦 = -𝑒𝑥))
1610, 15bitr3d 189 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
1716adantl 275 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦𝑦 = -𝑒𝑥))
181, 3, 5, 17f1ocnv2d 5981 . . . . 5 (⊤ → (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
1918mptru 1341 . . . 4 (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
2019simpli 110 . . 3 𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ*
21 simpl 108 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
2221xnegcld 9667 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
2423xnegcld 9667 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25 brcnvg 4727 . . . . . 6 ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
2622, 24, 25syl2anc 409 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27 xnegeq 9639 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
281, 27, 21, 22fvmptd3 5521 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑧) = -𝑒𝑧)
29 xnegeq 9639 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
301, 29, 23, 24fvmptd3 5521 . . . . . 6 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹𝑦) = -𝑒𝑦)
3128, 30breq12d 3949 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑧) < (𝐹𝑦) ↔ -𝑒𝑧 < -𝑒𝑦))
32 xltneg 9648 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
3326, 31, 323bitr4rd 220 . . . 4 ((𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦)))
3433rgen2a 2489 . . 3 𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))
35 df-isom 5139 . . 3 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹𝑧) < (𝐹𝑦))))
3620, 34, 35mpbir2an 927 . 2 𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*)
37 xnegeq 9639 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
3837cbvmptv 4031 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
3919simpri 112 . . 3 𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
4038, 39, 13eqtr4i 2171 . 2 𝐹 = 𝐹
4136, 40pm3.2i 270 1 (𝐹 Isom < , < (ℝ*, ℝ*) ∧ 𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wtru 1333  wcel 1481  wral 2417   class class class wbr 3936  cmpt 3996  ccnv 4545  1-1-ontowf1o 5129  cfv 5130   Isom wiso 5131  *cxr 7822   < clt 7823  -𝑒cxne 9585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltadd 7759
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-sub 7958  df-neg 7959  df-xneg 9588
This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11063
  Copyright terms: Public domain W3C validator