Theorem xrnegiso 11427

Description: Negation is an order anti-isomorphism of the extended reals, which is its own inverse. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrnegiso.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)

Assertion

Ref	Expression
xrnegiso	⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem xrnegiso

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrnegiso.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
2		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → 𝑥 ∈ ℝ*)
3	2	xnegcld 9930	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
4		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
5	4	xnegcld 9930	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
6		xnegneg 9908	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝑥 = 𝑥)
7	6	eqeq2d 2208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
8	7	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ -𝑒𝑦 = 𝑥))
9		eqcom 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑒𝑦 = 𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦)
10	8, 9	bitrdi 196	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑒𝑦))
11		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
12		xnegcl 9907	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
13	12	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑥 ∈ ℝ*)
14		xneg11 9909	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑥 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 = -𝑒-𝑒𝑥 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
16	10, 15	bitr3d 190	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
17	16	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*)) → (𝑥 = -𝑒𝑦 ↔ 𝑦 = -𝑒𝑥))
18	1, 3, 5, 17	f1ocnv2d 6127	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)))
19	18	mptru 1373	. . . 4 ⊢ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦))
20	19	simpli 111	. . 3 ⊢ 𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ*
21		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
22	21	xnegcld 9930	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
23		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → 𝑦 ∈ ℝ*)
24	23	xnegcld 9930	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
25		brcnvg 4847	. . . . . 6 ⊢ ((-𝑒𝑧 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
27		xnegeq 9902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑧)
28	1, 27, 21, 22	fvmptd3 5655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑧) = -𝑒𝑧)
29		xnegeq 9902	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → -𝑒𝑥 = -𝑒𝑦)
30	1, 29, 23, 24	fvmptd3 5655	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐹‘𝑦) = -𝑒𝑦)
31	28, 30	breq12d 4046	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦) ↔ -𝑒𝑧◡ < -𝑒𝑦))
32		xltneg 9911	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝑧))
33	26, 31, 32	3bitr4rd 221	. . . 4 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦)))
34	33	rgen2a 2551	. . 3 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))
35		df-isom 5267	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ↔ (𝐹:ℝ*–1-1-onto→ℝ* ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑧)◡ < (𝐹‘𝑦))))
36	20, 34, 35	mpbir2an 944	. 2 ⊢ 𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*)
37		xnegeq 9902	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝑥)
38	37	cbvmptv 4129	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦) = (𝑥 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑥)
39	19	simpri 113	. . 3 ⊢ ◡𝐹 = (𝑦 ∈ ℝ* ↦ -𝑒𝑦)
40	38, 39, 1	3eqtr4i 2227	. 2 ⊢ ◡𝐹 = 𝐹
41	36, 40	pm3.2i 272	1 ⊢ (𝐹 Isom < , ◡ < (ℝ*, ℝ*) ∧ ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  ^◡ccnv 4662  –1-1-onto→wf1o 5257  ‘cfv 5258   Isom wiso 5259  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061  -_𝑒cxne 9844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-cnre 7990  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-sub 8199  df-neg 8200  df-xneg 9847

This theorem is referenced by:  infxrnegsupex  11428