Theorem cbvprodi 11567

Description: Change bound variable in a product. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
cbvprodi.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
cbvprodi.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐶
cbvprodi.3	⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
cbvprodi	⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Distinct variable group:   𝑗,𝑘,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem cbvprodi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cbvprodi.3	. 2 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
2		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐴
3		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐴
4		cbvprodi.1	. 2 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
5		cbvprodi.2	. 2 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
6	1, 2, 3, 4, 5	cbvprod 11565	1 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353  Ⅎwnfc 2306  ∏cprod 11557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-if 3535  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-cnv 4634  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-recs 6305  df-frec 6391  df-seqfrec 10445  df-proddc 11558

This theorem is referenced by:  prodfct  11594  prodsnf  11599  fprodm1s  11608  fprodp1s  11609  prodsns  11610  fprodcllemf  11620  fprod2dlemstep  11629  fprodcom2fi  11633  fproddivapf  11638  fprodsplitf  11639