Theorem fproddivapf 11641

Description: The quotient of two finite products. A version of fproddivap 11640 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddivf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fproddivf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ap0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0)

Assertion

Ref	Expression
fproddivapf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivapf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 / 𝐶)
2		nfcsb1v 3092	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3		nfcv 2319	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 /
4		nfcsb1v 3092	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 5907	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
6		csbeq1a 3068	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
7		csbeq1a 3068	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 5895	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvprodi 11570	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
11		fproddivf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12		fproddivf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfvd 1529	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴)
14	12, 13	nfan1 1564	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
15	2	nfel1 2330	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
16	14, 15	nfim 1572	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		eleq1w 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
19	6	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
20	18, 19	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
21		fproddivf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	16, 20, 21	chvarfv 1700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
23	4	nfel1 2330	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
24	14, 23	nfim 1572	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
25	7	eleq1d 2246	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
26	18, 25	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
27		fproddivf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	chvarfv 1700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
29		nfcv 2319	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 #
30		nfcv 2319	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
31	4, 29, 30	nfbr 4051	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0
32	14, 31	nfim 1572	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)
33	7	breq1d 4015	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 # 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0))
34	18, 33	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)))
35		fproddivf.ap0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0)
36	32, 34, 35	chvarfv 1700	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)
37	11, 22, 28, 36	fproddivap 11640	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
38		nfcv 2319	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
39	38, 2, 6	cbvprodi 11570	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
40	39	eqcomi 2181	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
41	40	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42		nfcv 2319	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
43	7	equcoms 1708	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
44	43	eqcomd 2183	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
45	4, 42, 44	cbvprodi 11570	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
46	45	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
47	41, 46	oveq12d 5895	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
48	10, 37, 47	3eqtrd 2214	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353  Ⅎwnf 1460   ∈ wcel 2148  ⦋csb 3059   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877  Fincfn 6742  ℂcc 7811  0cc0 7813   # cap 8540   / cdiv 8631  ∏cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561

This theorem is referenced by: (None)