Theorem fproddivapf 12310

Description: The quotient of two finite products. A version of fproddivap 12309 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddivf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fproddivf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ap0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0)

Assertion

Ref	Expression
fproddivapf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivapf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 / 𝐶)
2		nfcsb1v 3170	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3		nfcv 2384	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 /
4		nfcsb1v 3170	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 6079	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
6		csbeq1a 3146	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
7		csbeq1a 3146	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 6067	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvprodi 12239	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
11		fproddivf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12		fproddivf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfvd 1578	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴)
14	12, 13	nfan1 1613	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
15	2	nfel1 2395	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
16	14, 15	nfim 1621	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		eleq1w 2293	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
19	6	eleq1d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
20	18, 19	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
21		fproddivf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	16, 20, 21	chvarfv 1748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
23	4	nfel1 2395	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
24	14, 23	nfim 1621	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
25	7	eleq1d 2301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
26	18, 25	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
27		fproddivf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	chvarfv 1748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
29		nfcv 2384	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 #
30		nfcv 2384	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
31	4, 29, 30	nfbr 4155	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0
32	14, 31	nfim 1621	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)
33	7	breq1d 4118	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 # 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0))
34	18, 33	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)))
35		fproddivf.ap0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0)
36	32, 34, 35	chvarfv 1748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)
37	11, 22, 28, 36	fproddivap 12309	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
38		nfcv 2384	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
39	38, 2, 6	cbvprodi 12239	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
40	39	eqcomi 2236	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
41	40	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42		nfcv 2384	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
43	7	equcoms 1756	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
44	43	eqcomd 2238	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
45	4, 42, 44	cbvprodi 12239	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
46	45	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
47	41, 46	oveq12d 6067	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
48	10, 37, 47	3eqtrd 2269	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  Ⅎwnf 1509   ∈ wcel 2203  ⦋csb 3137   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  Fincfn 6974  ℂcc 8121  0cc0 8123   # cap 8851   / cdiv 8942  ∏cprod 12229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-pre-mulext 8241  ax-arch 8242  ax-caucvg 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-ap 8852  df-div 8943  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-n0 9493  df-z 9574  df-uz 9850  df-q 9948  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-exp 10897  df-ihash 11134  df-cj 11520  df-re 11521  df-im 11522  df-rsqrt 11676  df-abs 11677  df-clim 11957  df-proddc 12230

This theorem is referenced by: (None)