Theorem fproddivapf 11521

Description: The quotient of two finite products. A version of fproddivap 11520 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fproddivf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fproddivf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fproddivf.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fproddivf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
fproddivf.ap0	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0)

Assertion

Ref	Expression
fproddivapf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fproddivapf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2299	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗(𝐵 / 𝐶)
2		nfcsb1v 3064	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3		nfcv 2299	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘 /
4		nfcsb1v 3064	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
5	2, 3, 4	nfov 5848	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘(⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
6		csbeq1a 3040	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
7		csbeq1a 3040	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
8	6, 7	oveq12d 5839	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 / 𝐶) = (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
9	1, 5, 8	cbvprodi 11450	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
10	9	a1i 9	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
11		fproddivf.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
12		fproddivf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
13		nfvd 1509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝐴)
14	12, 13	nfan1 1544	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)
15	2	nfel1 2310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
16	14, 15	nfim 1552	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
17		eleq1w 2218	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝐴 ↔ 𝑗 ∈ 𝐴))
18	17	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴)))
19	6	eleq1d 2226	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
20	18, 19	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)))
21		fproddivf.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
22	16, 20, 21	chvarfv 1680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
23	4	nfel1 2310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
24	14, 23	nfim 1552	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
25	7	eleq1d 2226	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
26	18, 25	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
27		fproddivf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
28	24, 26, 27	chvarfv 1680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
29		nfcv 2299	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 #
30		nfcv 2299	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘0
31	4, 29, 30	nfbr 4010	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0
32	14, 31	nfim 1552	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)
33	7	breq1d 3975	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 # 0 ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0))
34	18, 33	imbi12d 233	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)))
35		fproddivf.ap0	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 # 0)
36	32, 34, 35	chvarfv 1680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 # 0)
37	11, 22, 28, 36	fproddivap 11520	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 (⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
38		nfcv 2299	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
39	38, 2, 6	cbvprodi 11450	. . . . 5 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
40	39	eqcomi 2161	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵
41	40	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
42		nfcv 2299	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
43	7	equcoms 1688	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
44	43	eqcomd 2163	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = 𝐶)
45	4, 42, 44	cbvprodi 11450	. . . 4 ⊢ ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶
46	45	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)
47	41, 46	oveq12d 5839	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 / ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))
48	10, 37, 47	3eqtrd 2194	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝐴 (𝐵 / 𝐶) = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 / ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335  Ⅎwnf 1440   ∈ wcel 2128  ⦋csb 3031   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  Fincfn 6682  ℂcc 7724  0cc0 7726   # cap 8450   / cdiv 8539  ∏cprod 11440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844  ax-arch 7845  ax-caucvg 7846

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-isom 5178  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-irdg 6314  df-frec 6335  df-1o 6360  df-oadd 6364  df-er 6477  df-en 6683  df-dom 6684  df-fin 6685  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-2 8886  df-3 8887  df-4 8888  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-q 9522  df-rp 9554  df-fz 9906  df-fzo 10035  df-seqfrec 10338  df-exp 10412  df-ihash 10643  df-cj 10735  df-re 10736  df-im 10737  df-rsqrt 10891  df-abs 10892  df-clim 11169  df-proddc 11441

This theorem is referenced by: (None)