Theorem fprodm1s 11854

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1s.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1s.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1s	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1s

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodm1s.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fprodm1s.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 2578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
4		nfcsb1v 3125	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5	4	nfel1 2358	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3101	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
7	6	eleq1d 2273	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 2870	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
9	3, 8	mpan9 281	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
10		csbeq1 3095	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴)
11	1, 9, 10	fprodm1 11851	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))
12		nfcv 2347	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
13	12, 4, 6	cbvprodi 11813	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
14	12, 4, 6	cbvprodi 11813	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
15	14	oveq1i 5953	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴)
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2262	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ⦋𝑁 / 𝑘⦌𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ∀wral 2483  ⦋csb 3092  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  1c1 7925   · cmul 7929   − cmin 8242  ℤ_≥cuz 9647  ...cfz 10129  ∏cprod 11803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-iinf 4635  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043  ax-caucvg 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-iord 4412  df-on 4414  df-ilim 4415  df-suc 4417  df-iom 4638  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-isom 5279  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-recs 6390  df-irdg 6455  df-frec 6476  df-1o 6501  df-oadd 6505  df-er 6619  df-en 6827  df-dom 6828  df-fin 6829  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-n0 9295  df-z 9372  df-uz 9648  df-q 9740  df-rp 9775  df-fz 10130  df-fzo 10264  df-seqfrec 10591  df-exp 10682  df-ihash 10919  df-cj 11095  df-re 11096  df-im 11097  df-rsqrt 11251  df-abs 11252  df-clim 11532  df-proddc 11804

This theorem is referenced by:  fprodeq0  11870