Theorem fprodp1s 11499

Description: Multiply in the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 27-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodp1s.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodp1s.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodp1s	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))

Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodp1s

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodp1s.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		fprodp1s.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	ralrimiva 2530	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ)
4		nfcsb1v 3064	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5	4	nfel1 2310	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ
6		csbeq1a 3040	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
7	6	eleq1d 2226	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
8	5, 7	rspc 2810	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → (∀𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 ∈ ℂ → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ))
9	3, 8	mpan9 279	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
10		csbeq1 3034	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑁 + 1) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
11	1, 9, 10	fprodp1 11497	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))
12		nfcv 2299	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
13	12, 4, 6	cbvprodi 11457	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
14	12, 4, 6	cbvprodi 11457	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = ∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
15	14	oveq1i 5834	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴) = (∏𝑚 ∈ (𝑀...𝑁)⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴)
16	11, 13, 15	3eqtr4g 2215	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1))𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 · ⦋(𝑁 + 1) / 𝑘⦌𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  ∀wral 2435  ⦋csb 3031  ‘cfv 5170  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  1c1 7733   + caddc 7735   · cmul 7737  ℤ_≥cuz 9439  ...cfz 9912  ∏cprod 11447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-mulrcl 7831  ax-addcom 7832  ax-mulcom 7833  ax-addass 7834  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-1rid 7839  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-precex 7842  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-apti 7847  ax-pre-ltadd 7848  ax-pre-mulgt0 7849  ax-pre-mulext 7850  ax-arch 7851  ax-caucvg 7852

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-isom 5179  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-frec 6338  df-1o 6363  df-oadd 6367  df-er 6480  df-en 6686  df-dom 6687  df-fin 6688  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-reap 8450  df-ap 8457  df-div 8546  df-inn 8834  df-2 8892  df-3 8893  df-4 8894  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-q 9529  df-rp 9561  df-fz 9913  df-fzo 10042  df-seqfrec 10345  df-exp 10419  df-ihash 10650  df-cj 10742  df-re 10743  df-im 10744  df-rsqrt 10898  df-abs 10899  df-clim 11176  df-proddc 11448

This theorem is referenced by:  fprodabs  11513