Theorem fprodsplitf 12254

Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 12219 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitf.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitf.fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitf.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplitf.un	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplitf.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		fprodsplitf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1577	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑈
6	4, 5	nfan 1614	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)
7		nfcsb1v 3161	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
8	7	nfel1 2386	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
9	6, 8	nfim 1621	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10		eleq1w 2292	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)))
12		csbeq1a 3137	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
13	12	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
15		fprodsplitf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	chvarfv 1748	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	1, 2, 3, 16	fprodsplit 12219	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
18		nfcv 2375	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
19	18, 7, 12	cbvprodi 12182	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
20	18, 7, 12	cbvprodi 12182	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
21	18, 7, 12	cbvprodi 12182	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
22	20, 21	oveq12i 6040	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
23	17, 19, 22	3eqtr4g 2289	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398  Ⅎwnf 1509   ∈ wcel 2202  ⦋csb 3128   ∪ cun 3199   ∩ cin 3200  ∅c0 3496  (class class class)co 6028  Fincfn 6952  ℂcc 8073   · cmul 8080  ∏cprod 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-ihash 11082  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-clim 11900  df-proddc 12173

This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  12255  fprodsplit1f  12256