Theorem fprodsplitf 12382

Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 12347 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitf.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitf.fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitf.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplitf.un	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplitf.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		fprodsplitf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1581	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑈
6	4, 5	nfan 1618	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)
7		nfcsb1v 3180	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
8	7	nfel1 2403	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
9	6, 8	nfim 1625	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10		eleq1w 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)))
12		csbeq1a 3156	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
13	12	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
15		fprodsplitf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	chvarfv 1752	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	1, 2, 3, 16	fprodsplit 12347	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
18		nfcv 2392	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
19	18, 7, 12	cbvprodi 12310	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
20	18, 7, 12	cbvprodi 12310	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
21	18, 7, 12	cbvprodi 12310	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
22	20, 21	oveq12i 6091	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
23	17, 19, 22	3eqtr4g 2296	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513   ∈ wcel 2209  ⦋csb 3147   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219  ∅c0 3520  (class class class)co 6079  Fincfn 7016  ℂcc 8171   · cmul 8178  ∏cprod 12300

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292  ax-caucvg 8293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-isom 5384  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-frec 6656  df-1o 6681  df-oadd 6685  df-er 6801  df-en 7017  df-dom 7018  df-fin 7019  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-ihash 11198  df-cj 11590  df-re 11591  df-im 11592  df-rsqrt 11747  df-abs 11748  df-clim 12028  df-proddc 12301

This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  12383  fprodsplit1f  12384