Theorem fprodsplitf 11654

Description: Split a finite product into two parts. A version of fprodsplit 11619 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodsplitf.kph	⊢ Ⅎ𝑘𝜑
fprodsplitf.in	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
fprodsplitf.un	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
fprodsplitf.fi	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
fprodsplitf.c	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fprodsplitf	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑈,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fprodsplitf

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fprodsplitf.in	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
2		fprodsplitf.un	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐴 ∪ 𝐵))
3		fprodsplitf.fi	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ Fin)
4		fprodsplitf.kph	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
5		nfv 1538	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑗 ∈ 𝑈
6	4, 5	nfan 1575	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)
7		nfcsb1v 3102	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
8	7	nfel1 2340	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ
9	6, 8	nfim 1582	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
10		eleq1w 2248	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 ∈ 𝑈 ↔ 𝑗 ∈ 𝑈))
11	10	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) ↔ (𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈)))
12		csbeq1a 3078	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐶 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
13	12	eleq1d 2256	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐶 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ))
14	11, 13	imbi12d 234	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)))
15		fprodsplitf.c	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑈) → 𝐶 ∈ ℂ)
16	9, 14, 15	chvarfv 1710	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑈) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 ∈ ℂ)
17	1, 2, 3, 16	fprodsplit 11619	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶))
18		nfcv 2329	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐶
19	18, 7, 12	cbvprodi 11582	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝑈 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
20	18, 7, 12	cbvprodi 11582	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
21	18, 7, 12	cbvprodi 11582	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶 = ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶
22	20, 21	oveq12i 5900	. 2 ⊢ (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶) = (∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶 · ∏𝑗 ∈ 𝐵 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐶)
23	17, 19, 22	3eqtr4g 2245	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑈 𝐶 = (∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 · ∏𝑘 ∈ 𝐵 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363  Ⅎwnf 1470   ∈ wcel 2158  ⦋csb 3069   ∪ cun 3139   ∩ cin 3140  ∅c0 3434  (class class class)co 5888  Fincfn 6754  ℂcc 7823   · cmul 7830  ∏cprod 11572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573

This theorem is referenced by:  fprodsplitsn  11655  fprodsplit1f  11656