ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodcllemf GIF version

Theorem fprodcllemf 11616
Description: Finite product closure lemma. A version of fprodcllem 11609 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodcllemf.ph 𝑘𝜑
fprodcllemf.s (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
fprodcllemf.xy ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
fprodcllemf.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodcllemf.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
fprodcllemf.1 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
fprodcllemf (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘,𝑥,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodcllemf
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2319 . . 3 𝑗𝐵
2 nfcsb1v 3090 . . 3 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
3 csbeq1a 3066 . . 3 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
41, 2, 3cbvprodi 11563 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
5 fprodcllemf.s . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
6 fprodcllemf.xy . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝑆)
7 fprodcllemf.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
8 fprodcllemf.ph . . . . . 6 𝑘𝜑
9 fprodcllemf.b . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑆)
109ex 115 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑘𝐴𝐵𝑆))
118, 10ralrimi 2548 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝑆)
12 rspsbc 3045 . . . . 5 (𝑗𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵𝑆[𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆))
1311, 12mpan9 281 . . . 4 ((𝜑𝑗𝐴) → [𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆)
14 sbcel1g 3076 . . . . 5 (𝑗 ∈ V → ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆))
1514elv 2741 . . . 4 ([𝑗 / 𝑘]𝐵𝑆𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
1613, 15sylib 122 . . 3 ((𝜑𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
17 fprodcllemf.1 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ 𝑆)
185, 6, 7, 16, 17fprodcllem 11609 . 2 (𝜑 → ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵𝑆)
194, 18eqeltrid 2264 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  wnf 1460  wcel 2148  wral 2455  Vcvv 2737  [wsbc 2962  csb 3057  wss 3129  (class class class)co 5874  Fincfn 6739  cc 7808  1c1 7811   · cmul 7815  cprod 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-proddc 11554
This theorem is referenced by:  fprodreclf  11617  fprodclf  11638  fprodge0  11640  fprodge1  11642
  Copyright terms: Public domain W3C validator