Theorem prodfct 11597

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodfct	⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
2		nfcsb1v 3092	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3	2	nfel1 2330	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
4		csbeq1a 3068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
5	4	eleq1d 2246	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
6	3, 5	rspc 2837	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
7	6	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
8		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	8	fvmpts 5596	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	prodeq2dv 11576	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
12		nfcv 2319	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
13	12, 2, 4	cbvprodi 11570	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
14	11, 13	eqtr4di 2228	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ⦋csb 3059   ↦ cmpt 4066  ‘cfv 5218  ℂcc 7811  ∏cprod 11560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-proddc 11561

This theorem is referenced by:  fprodf1o  11598  prodssdc  11599  fprodssdc  11600  fprodmul  11601