Theorem prodfct 12209

Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodfct	⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodfct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → 𝑗 ∈ 𝐴)
2		nfcsb1v 3161	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
3	2	nfel1 2386	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ
4		csbeq1a 3137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐵 = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
5	4	eleq1d 2300	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
6	3, 5	rspc 2905	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ))
7	6	impcom 125	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ)
8		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
9	8	fvmpts 5733	. . . 4 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐴 ∧ ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
10	1, 7, 9	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
11	10	prodeq2dv 12188	. 2 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵)
12		nfcv 2375	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐵
13	12, 2, 4	cbvprodi 12182	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = ∏𝑗 ∈ 𝐴 ⦋𝑗 / 𝑘⦌𝐵
14	11, 13	eqtr4di 2282	1 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗 ∈ 𝐴 ((𝑘 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  ∀wral 2511  ⦋csb 3128   ↦ cmpt 4155  ‘cfv 5333  ℂcc 8073  ∏cprod 12172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-recs 6514  df-frec 6600  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-seqfrec 10754  df-proddc 12173

This theorem is referenced by:  fprodf1o  12210  prodssdc  12211  fprodssdc  12212  fprodmul  12213