ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodfct GIF version

Theorem prodfct 11495
Description: A lemma to facilitate conversions from the function form to the class-variable form of a product. (Contributed by Scott Fenton, 7-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
prodfct (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐵,𝑗
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodfct
StepHypRef Expression
1 simpr 109 . . . 4 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗𝐴)
2 nfcsb1v 3064 . . . . . . 7 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵
32nfel1 2310 . . . . . 6 𝑘𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ
4 csbeq1a 3040 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝑗𝐵 = 𝑗 / 𝑘𝐵)
54eleq1d 2226 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
63, 5rspc 2810 . . . . 5 (𝑗𝐴 → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ))
76impcom 124 . . . 4 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗𝐴) → 𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
8 eqid 2157 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
98fvmpts 5548 . . . 4 ((𝑗𝐴𝑗 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
101, 7, 9syl2anc 409 . . 3 ((∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐵)
1110prodeq2dv 11474 . 2 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵)
12 nfcv 2299 . . 3 𝑗𝐵
1312, 2, 4cbvprodi 11468 . 2 𝑘𝐴 𝐵 = ∏𝑗𝐴 𝑗 / 𝑘𝐵
1411, 13eqtr4di 2208 1 (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℂ → ∏𝑗𝐴 ((𝑘𝐴𝐵)‘𝑗) = ∏𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  wral 2435  csb 3031  cmpt 4027  cfv 5172  cc 7732  cprod 11458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-recs 6254  df-frec 6340  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-seqfrec 10354  df-proddc 11459
This theorem is referenced by:  fprodf1o  11496  prodssdc  11497  fprodssdc  11498  fprodmul  11499
  Copyright terms: Public domain W3C validator