ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodsnf GIF version

Theorem prodsnf 11600
Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 11601 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsnf.1 โ„ฒ๐‘˜๐ต
prodsnf.2 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)
Assertion
Ref Expression
prodsnf ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
Distinct variable groups:   ๐‘˜,๐‘€   ๐‘˜,๐‘‰
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘˜)

Proof of Theorem prodsnf
Dummy variables ๐‘š ๐‘› ๐‘— ๐‘ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2319 . . . 4 โ„ฒ๐‘š๐ด
2 nfcsb1v 3091 . . . 4 โ„ฒ๐‘˜โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด
3 csbeq1a 3067 . . . 4 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ๐ด = โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
41, 2, 3cbvprodi 11568 . . 3 โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = โˆ๐‘š โˆˆ {๐‘€}โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด
5 csbeq1 3061 . . . 4 (๐‘š = ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
6 1nn 8930 . . . . 5 1 โˆˆ โ„•
76a1i 9 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„•)
8 1z 9279 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„ค
9 f1osng 5503 . . . . . . 7 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ {โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:{1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€})
10 fzsn 10066 . . . . . . . . 9 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ (1...1) = {1})
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
12 f1oeq2 5451 . . . . . . . 8 ((1...1) = {1} โ†’ ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:(1...1)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€} โ†” {โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:{1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:(1...1)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€} โ†” {โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:{1}โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€})
149, 13sylibr 134 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ {โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:(1...1)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€})
158, 14mpan 424 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ {โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:(1...1)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€})
1615adantr 276 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ {โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}:(1...1)โ€“1-1-ontoโ†’{๐‘€})
17 velsn 3610 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ {๐‘€} โ†” ๐‘š = ๐‘€)
18 csbeq1 3061 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
19 prodsnf.1 . . . . . . . . . 10 โ„ฒ๐‘˜๐ต
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ โ„ฒ๐‘˜๐ต)
21 prodsnf.2 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ต)
2220, 21csbiegf 3101 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด = ๐ต)
2322adantr 276 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด = ๐ต)
2418, 23sylan9eqr 2232 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š = ๐‘€) โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = ๐ต)
2517, 24sylan2b 287 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘€}) โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = ๐ต)
26 simplr 528 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘€}) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
2725, 26eqeltrd 2254 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘š โˆˆ {๐‘€}) โ†’ โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด โˆˆ โ„‚)
2811eleq2i 2244 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ (1...1) โ†” ๐‘› โˆˆ {1})
29 velsn 3610 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ {1} โ†” ๐‘› = 1)
3028, 29bitri 184 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ (1...1) โ†” ๐‘› = 1)
31 fvsng 5713 . . . . . . . . . . 11 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) = ๐‘€)
328, 31mpan 424 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) = ๐‘€)
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) = ๐‘€)
3433csbeq1d 3065 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด = โฆ‹๐‘€ / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
35 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
36 fvsng 5713 . . . . . . . . 9 ((1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1) = ๐ต)
378, 35, 36sylancr 414 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1) = ๐ต)
3823, 34, 373eqtr4rd 2221 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1) = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
39 fveq2 5516 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1))
40 fveq2 5516 . . . . . . . . 9 (๐‘› = 1 โ†’ ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1))
4140csbeq1d 3065 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ด = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
4239, 41eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ (({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›) = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ด โ†” ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1) = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜1) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
4338, 42syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘› = 1 โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›) = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ด))
4443imp 124 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› = 1) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›) = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
4530, 44sylan2b 287 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘› โˆˆ (1...1)) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›) = โฆ‹({โŸจ1, ๐‘€โŸฉ}โ€˜๐‘›) / ๐‘˜โฆŒ๐ด)
465, 7, 16, 27, 45fprodseq 11591 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘š โˆˆ {๐‘€}โฆ‹๐‘š / ๐‘˜โฆŒ๐ด = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1)))โ€˜1))
474, 46eqtrid 2222 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1)))โ€˜1))
48 1zzd 9280 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
49 eqid 2177 . . . . . 6 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1)) = (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1))
50 breq1 4007 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘— โ†’ (๐‘› โ‰ค 1 โ†” ๐‘— โ‰ค 1))
51 fveq2 5516 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘— โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›) = ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—))
5250, 51ifbieq1d 3557 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘— โ†’ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1) = if(๐‘— โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—), 1))
53 elnnuz 9564 . . . . . . . 8 (๐‘— โˆˆ โ„• โ†” ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5453biimpri 133 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
5554adantl 277 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„•)
56 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ๐‘— โ‰ค 1)
57 eluzle 9540 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘—)
5857ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘—)
5954nnzd 9374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
6059ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
6160zred 9375 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„)
62 1red 7972 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6361, 62letri3d 8073 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ (๐‘— = 1 โ†” (๐‘— โ‰ค 1 โˆง 1 โ‰ค ๐‘—)))
6456, 58, 63mpbir2and 944 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ๐‘— = 1)
6564fveq2d 5520 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—) = ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1))
6637ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1) = ๐ต)
6765, 66eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—) = ๐ต)
6835ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
6967, 68eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
70 1cnd 7973 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โˆง ยฌ ๐‘— โ‰ค 1) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
7155nnzd 9374 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
72 1zzd 9280 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
73 zdcle 9329 . . . . . . . 8 ((๐‘— โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID ๐‘— โ‰ค 1)
7471, 72, 73syl2anc 411 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ DECID ๐‘— โ‰ค 1)
7569, 70, 74ifcldadc 3564 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ if(๐‘— โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—), 1) โˆˆ โ„‚)
7649, 52, 55, 75fvmptd3 5610 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1))โ€˜๐‘—) = if(๐‘— โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘—), 1))
7776, 75eqeltrd 2254 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง ๐‘— โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1)) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1))โ€˜๐‘—) โˆˆ โ„‚)
78 mulcl 7938 . . . . 5 ((๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
7978adantl 277 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐‘— โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐‘— ยท ๐‘ž) โˆˆ โ„‚)
8048, 77, 79seq3-1 10460 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1)))โ€˜1) = ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1))โ€˜1))
81 breq1 4007 . . . . . 6 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› โ‰ค 1 โ†” 1 โ‰ค 1))
8281, 39ifbieq1d 3557 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1) = if(1 โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1), 1))
83 1le1 8529 . . . . . . . 8 1 โ‰ค 1
8483iftruei 3541 . . . . . . 7 if(1 โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1), 1) = ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1)
8584, 37eqtrid 2222 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ if(1 โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1), 1) = ๐ต)
8685, 35eqeltrd 2254 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ if(1 โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1), 1) โˆˆ โ„‚)
8749, 82, 7, 86fvmptd3 5610 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1))โ€˜1) = if(1 โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜1), 1))
8887, 85eqtrd 2210 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1))โ€˜1) = ๐ต)
8980, 88eqtrd 2210 . 2 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (seq1( ยท , (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โ‰ค 1, ({โŸจ1, ๐ตโŸฉ}โ€˜๐‘›), 1)))โ€˜1) = ๐ต)
9047, 89eqtrd 2210 1 ((๐‘€ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ โˆ๐‘˜ โˆˆ {๐‘€}๐ด = ๐ต)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ„ฒwnfc 2306  โฆ‹csb 3058  ifcif 3535  {csn 3593  โŸจcop 3596   class class class wbr 4004   โ†ฆ cmpt 4065  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 5216  โ€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  โ„‚cc 7809  1c1 7812   ยท cmul 7816   โ‰ค cle 7993  โ„•cn 8919  โ„คcz 9253  โ„คโ‰ฅcuz 9528  ...cfz 10008  seqcseq 10445  โˆcprod 11558
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-ihash 10756  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-proddc 11559
This theorem is referenced by:  prodsn  11601  fprodunsn  11612  fprodsplitsn  11641
  Copyright terms: Public domain W3C validator