Theorem prodsnf 12124

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 12125 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
prodsnf.2	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3157	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
3		csbeq1a 3133	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvprodi 12092	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3127	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 9137	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		1z 9488	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		f1osng 5619	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10		fzsn 10279	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...1) = {1}
12		f1oeq2 5566	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
14	9, 13	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
15	8, 14	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17		velsn 3683	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18		csbeq1 3127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	20, 21	csbiegf 3168	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24	18, 23	sylan9eqr 2284	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
25	17, 24	sylan2b 287	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
26		simplr 528	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	25, 26	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
28	11	eleq2i 2296	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
29		velsn 3683	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
30	28, 29	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
31		fvsng 5842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	8, 31	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
34	33	csbeq1d 3131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
35		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		fvsng 5842	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	8, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴)
39		fveq2 5632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
40		fveq2 5632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
41	40	csbeq1d 3131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴)
42	39, 41	eqeq12d 2244	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴))
43	38, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴))
44	43	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
45	30, 44	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 12115	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
47	4, 46	eqtrid 2274	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
48		1zzd 9489	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
49		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))
50		breq1 4086	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑗 ≤ 1))
51		fveq2 5632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗))
52	50, 51	ifbieq1d 3625	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
53		elnnuz 9776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
54	53	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
55	54	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
56		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ≤ 1)
57		eluzle 9751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑗)
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑗)
59	54	nnzd 9584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	59	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℤ)
61	60	zred 9585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℝ)
62		1red 8177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
63	61, 62	letri3d 8278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → (𝑗 = 1 ↔ (𝑗 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑗)))
64	56, 58, 63	mpbir2and 950	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 = 1)
65	64	fveq2d 5636	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
66	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
67	65, 66	eqtrd 2262	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = 𝐵)
68	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
69	67, 68	eqeltrd 2306	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) ∈ ℂ)
70		1cnd 8178	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
71	55	nnzd 9584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
72		1zzd 9489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℤ)
73		zdcle 9539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ≤ 1)
74	71, 72, 73	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑗 ≤ 1)
75	69, 70, 74	ifcldadc 3632	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1) ∈ ℂ)
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5733	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
77	76, 75	eqeltrd 2306	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) ∈ ℂ)
78		mulcl 8142	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
80	48, 77, 79	seq3-1 10701	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1))
81		breq1 4086	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
82	81, 39	ifbieq1d 3625	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
83		1le1 8735	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
84	83	iftruei 3608	. . . . . . 7 ⊢ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
85	84, 37	eqtrid 2274	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = 𝐵)
86	85, 35	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) ∈ ℂ)
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5733	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
88	87, 85	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = 𝐵)
89	80, 88	eqtrd 2262	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = 𝐵)
90	47, 89	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 839   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Ⅎwnfc 2359  ⦋csb 3124  ifcif 3602  {csn 3666  ⟨cop 3669   class class class wbr 4083   ↦ cmpt 4145  –1-1-onto→wf1o 5320  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  1c1 8016   · cmul 8020   ≤ cle 8198  ℕcn 9126  ℤcz 9462  ℤ_≥cuz 9738  ...cfz 10221  seqcseq 10686  ∏cprod 12082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-ihash 11015  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-proddc 12083

This theorem is referenced by:  prodsn  12125  fprodunsn  12136  fprodsplitsn  12165