Theorem prodsnf 12274

Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 12275 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
prodsnf.1	⊢ Ⅎ𝑘𝐵
prodsnf.2	⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
prodsnf	⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodsnf

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑚𝐴
2		nfcsb1v 3170	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
3		csbeq1a 3146	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐴 = ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴)
4	1, 2, 3	cbvprodi 12242	. . 3 ⊢ ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴
5		csbeq1 3140	. . . 4 ⊢ (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
6		1nn 9247	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8		1z 9602	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
9		f1osng 5656	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10		fzsn 10399	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (1...1) = {1}
12		f1oeq2 5602	. . . . . . . 8 ⊢ ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
14	9, 13	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
15	8, 14	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17		velsn 3705	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18		csbeq1 3140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
19		prodsnf.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
20	19	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → Ⅎ𝑘𝐵)
21		prodsnf.2	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐵)
22	20, 21	csbiegf 3181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
23	22	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
24	18, 23	sylan9eqr 2287	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
25	17, 24	sylan2b 287	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = 𝐵)
26		simplr 529	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
27	25, 26	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → ⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 ∈ ℂ)
28	11	eleq2i 2299	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
29		velsn 3705	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
30	28, 29	bitri 184	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
31		fvsng 5879	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ 𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
32	8, 31	mpan 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
33	32	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
34	33	csbeq1d 3144	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋𝑀 / 𝑘⦌𝐴)
35		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36		fvsng 5879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
37	8, 35, 36	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
38	23, 34, 37	3eqtr4rd 2276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴)
39		fveq2 5669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
40		fveq2 5669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
41	40	csbeq1d 3144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴)
42	39, 41	eqeq12d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘⦌𝐴))
43	38, 42	syl5ibrcom 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴))
44	43	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
45	30, 44	sylan2b 287	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ⦋({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘⦌𝐴)
46	5, 7, 16, 27, 45	fprodseq 12265	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}⦋𝑚 / 𝑘⦌𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
47	4, 46	eqtrid 2277	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
48		1zzd 9603	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
49		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))
50		breq1 4111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑗 ≤ 1))
51		fveq2 5669	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗))
52	50, 51	ifbieq1d 3644	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
53		elnnuz 9890	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1))
54	53	biimpri 133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
55	54	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
56		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ≤ 1)
57		eluzle 9865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 1 ≤ 𝑗)
58	57	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑗)
59	54	nnzd 9698	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑗 ∈ ℤ)
60	59	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℤ)
61	60	zred 9699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℝ)
62		1red 8288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
63	61, 62	letri3d 8388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → (𝑗 = 1 ↔ (𝑗 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑗)))
64	56, 58, 63	mpbir2and 953	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 = 1)
65	64	fveq2d 5673	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
66	37	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
67	65, 66	eqtrd 2265	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = 𝐵)
68	35	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
69	67, 68	eqeltrd 2309	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) ∈ ℂ)
70		1cnd 8289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) ∧ ¬ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
71	55	nnzd 9698	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
72		1zzd 9603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → 1 ∈ ℤ)
73		zdcle 9653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ≤ 1)
74	71, 72, 73	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → DECID 𝑗 ≤ 1)
75	69, 70, 74	ifcldadc 3651	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1) ∈ ℂ)
76	49, 52, 55, 75	fvmptd3 5770	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
77	76, 75	eqeltrd 2309	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) ∈ ℂ)
78		mulcl 8253	. . . . 5 ⊢ ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
79	78	adantl 277	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
80	48, 77, 79	seq3-1 10823	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1))
81		breq1 4111	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
82	81, 39	ifbieq1d 3644	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
83		1le1 8845	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≤ 1
84	83	iftruei 3627	. . . . . . 7 ⊢ if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
85	84, 37	eqtrid 2277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = 𝐵)
86	85, 35	eqeltrd 2309	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) ∈ ℂ)
87	49, 82, 7, 86	fvmptd3 5770	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
88	87, 85	eqtrd 2265	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = 𝐵)
89	80, 88	eqtrd 2265	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = 𝐵)
90	47, 89	eqtrd 2265	1 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Ⅎwnfc 2371  ⦋csb 3137  ifcif 3619  {csn 3688  ⟨cop 3691   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ℂcc 8124  1c1 8127   · cmul 8131   ≤ cle 8308  ℕcn 9236  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  ...cfz 10341  seqcseq 10808  ∏cprod 12232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-pre-mulext 8244  ax-arch 8245  ax-caucvg 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-po 4416  df-iso 4417  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-isom 5360  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-recs 6535  df-irdg 6600  df-frec 6621  df-1o 6646  df-oadd 6650  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-ap 8855  df-div 8946  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-q 9951  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-exp 10900  df-ihash 11137  df-cj 11523  df-re 11524  df-im 11525  df-rsqrt 11679  df-abs 11680  df-clim 11960  df-proddc 12233

This theorem is referenced by:  prodsn  12275  fprodunsn  12286  fprodsplitsn  12315