ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodsnf GIF version

Theorem prodsnf 11595
Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 11596 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsnf.1 𝑘𝐵
prodsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2319 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3090 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3066 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvprodi 11563 . . 3 𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3060 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 8928 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 9 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 1z 9277 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 f1osng 5502 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10 fzsn 10063 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
12 f1oeq2 5450 . . . . . . . 8 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
149, 13sylibr 134 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
158, 14mpan 424 . . . . 5 (𝑀𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
1615adantr 276 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17 velsn 3609 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18 csbeq1 3060 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 prodsnf.1 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 prodsnf.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3100 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2418, 23sylan9eqr 2232 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2517, 24sylan2b 287 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
26 simplr 528 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2811eleq2i 2244 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
29 velsn 3609 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
3028, 29bitri 184 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
31 fvsng 5712 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
328, 31mpan 424 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3433csbeq1d 3064 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
35 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 5712 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
378, 35, 36sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3823, 34, 373eqtr4rd 2221 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
39 fveq2 5515 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
40 fveq2 5515 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4140csbeq1d 3064 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
4239, 41eqeq12d 2192 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴))
4338, 42syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴))
4443imp 124 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
4530, 44sylan2b 287 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
465, 7, 16, 27, 45fprodseq 11586 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
474, 46eqtrid 2222 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
48 1zzd 9278 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
49 eqid 2177 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))
50 breq1 4006 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑗 ≤ 1))
51 fveq2 5515 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗))
5250, 51ifbieq1d 3556 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
53 elnnuz 9562 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
5453biimpri 133 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
5554adantl 277 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
56 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ≤ 1)
57 eluzle 9538 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑗)
5857ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑗)
5954nnzd 9372 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℤ)
6059ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℤ)
6160zred 9373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℝ)
62 1red 7971 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
6361, 62letri3d 8071 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → (𝑗 = 1 ↔ (𝑗 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑗)))
6456, 58, 63mpbir2and 944 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 = 1)
6564fveq2d 5519 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
6637ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6765, 66eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = 𝐵)
6835ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
6967, 68eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) ∈ ℂ)
70 1cnd 7972 . . . . . . 7 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
7155nnzd 9372 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
72 1zzd 9278 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ ℤ)
73 zdcle 9327 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ≤ 1)
7471, 72, 73syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑗 ≤ 1)
7569, 70, 74ifcldadc 3563 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1) ∈ ℂ)
7649, 52, 55, 75fvmptd3 5609 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
7776, 75eqeltrd 2254 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) ∈ ℂ)
78 mulcl 7937 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
7978adantl 277 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
8048, 77, 79seq3-1 10457 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1))
81 breq1 4006 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
8281, 39ifbieq1d 3556 . . . . 5 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
83 1le1 8527 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
8483iftruei 3540 . . . . . . 7 if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
8584, 37eqtrid 2222 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = 𝐵)
8685, 35eqeltrd 2254 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) ∈ ℂ)
8749, 82, 7, 86fvmptd3 5609 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
8887, 85eqtrd 2210 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = 𝐵)
8980, 88eqtrd 2210 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = 𝐵)
9047, 89eqtrd 2210 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wnfc 2306  csb 3057  ifcif 3534  {csn 3592  cop 3595   class class class wbr 4003  cmpt 4064  1-1-ontowf1o 5215  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  1c1 7811   · cmul 7815  cle 7991  cn 8917  cz 9251  cuz 9526  ...cfz 10006  seqcseq 10442  cprod 11553
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-ihash 10751  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-proddc 11554
This theorem is referenced by:  prodsn  11596  fprodunsn  11607  fprodsplitsn  11636
  Copyright terms: Public domain W3C validator