ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  prodsnf GIF version

Theorem prodsnf 11757
Description: A product of a singleton is the term. A version of prodsn 11758 using bound-variable hypotheses instead of distinct variable conditions. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
prodsnf.1 𝑘𝐵
prodsnf.2 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
prodsnf ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem prodsnf
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑗 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2339 . . . 4 𝑚𝐴
2 nfcsb1v 3117 . . . 4 𝑘𝑚 / 𝑘𝐴
3 csbeq1a 3093 . . . 4 (𝑘 = 𝑚𝐴 = 𝑚 / 𝑘𝐴)
41, 2, 3cbvprodi 11725 . . 3 𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴
5 csbeq1 3087 . . . 4 (𝑚 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
6 1nn 9001 . . . . 5 1 ∈ ℕ
76a1i 9 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℕ)
8 1z 9352 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
9 f1osng 5545 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
10 fzsn 10141 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → (1...1) = {1})
118, 10ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1...1) = {1}
12 f1oeq2 5493 . . . . . . . 8 ((1...1) = {1} → ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀} ↔ {⟨1, 𝑀⟩}:{1}–1-1-onto→{𝑀})
149, 13sylibr 134 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
158, 14mpan 424 . . . . 5 (𝑀𝑉 → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
1615adantr 276 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → {⟨1, 𝑀⟩}:(1...1)–1-1-onto→{𝑀})
17 velsn 3639 . . . . . 6 (𝑚 ∈ {𝑀} ↔ 𝑚 = 𝑀)
18 csbeq1 3087 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑀𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
19 prodsnf.1 . . . . . . . . . 10 𝑘𝐵
2019a1i 9 . . . . . . . . 9 (𝑀𝑉𝑘𝐵)
21 prodsnf.2 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀𝐴 = 𝐵)
2220, 21csbiegf 3128 . . . . . . . 8 (𝑀𝑉𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2322adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝑀 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2418, 23sylan9eqr 2251 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 = 𝑀) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
2517, 24sylan2b 287 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 = 𝐵)
26 simplr 528 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝐵 ∈ ℂ)
2725, 26eqeltrd 2273 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑚 ∈ {𝑀}) → 𝑚 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
2811eleq2i 2263 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 ∈ {1})
29 velsn 3639 . . . . . 6 (𝑛 ∈ {1} ↔ 𝑛 = 1)
3028, 29bitri 184 . . . . 5 (𝑛 ∈ (1...1) ↔ 𝑛 = 1)
31 fvsng 5758 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑉) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
328, 31mpan 424 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝑉 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3332adantr 276 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) = 𝑀)
3433csbeq1d 3091 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴 = 𝑀 / 𝑘𝐴)
35 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
36 fvsng 5758 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
378, 35, 36sylancr 414 . . . . . . . 8 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
3823, 34, 373eqtr4rd 2240 . . . . . . 7 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
39 fveq2 5558 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
40 fveq2 5558 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1))
4140csbeq1d 3091 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴)
4239, 41eqeq12d 2211 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴 ↔ ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘1) / 𝑘𝐴))
4338, 42syl5ibrcom 157 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (𝑛 = 1 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴))
4443imp 124 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 = 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
4530, 44sylan2b 287 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (1...1)) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝑀⟩}‘𝑛) / 𝑘𝐴)
465, 7, 16, 27, 45fprodseq 11748 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑚 ∈ {𝑀}𝑚 / 𝑘𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
474, 46eqtrid 2241 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1))
48 1zzd 9353 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℤ)
49 eqid 2196 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))
50 breq1 4036 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 𝑗 ≤ 1))
51 fveq2 5558 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗))
5250, 51ifbieq1d 3583 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑗 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
53 elnnuz 9638 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ ℕ ↔ 𝑗 ∈ (ℤ‘1))
5453biimpri 133 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℕ)
5554adantl 277 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℕ)
56 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ≤ 1)
57 eluzle 9613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 1 ≤ 𝑗)
5857ad2antlr 489 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ≤ 𝑗)
5954nnzd 9447 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ‘1) → 𝑗 ∈ ℤ)
6059ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℤ)
6160zred 9448 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 ∈ ℝ)
62 1red 8041 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℝ)
6361, 62letri3d 8142 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → (𝑗 = 1 ↔ (𝑗 ≤ 1 ∧ 1 ≤ 𝑗)))
6456, 58, 63mpbir2and 946 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝑗 = 1)
6564fveq2d 5562 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1))
6637ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘1) = 𝐵)
6765, 66eqtrd 2229 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) = 𝐵)
6835ad2antrr 488 . . . . . . . 8 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → 𝐵 ∈ ℂ)
6967, 68eqeltrd 2273 . . . . . . 7 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ 𝑗 ≤ 1) → ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗) ∈ ℂ)
70 1cnd 8042 . . . . . . 7 ((((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) ∧ ¬ 𝑗 ≤ 1) → 1 ∈ ℂ)
7155nnzd 9447 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
72 1zzd 9353 . . . . . . . 8 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → 1 ∈ ℤ)
73 zdcle 9402 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → DECID 𝑗 ≤ 1)
7471, 72, 73syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → DECID 𝑗 ≤ 1)
7569, 70, 74ifcldadc 3590 . . . . . 6 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1) ∈ ℂ)
7649, 52, 55, 75fvmptd3 5655 . . . . 5 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) = if(𝑗 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑗), 1))
7776, 75eqeltrd 2273 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ‘1)) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘𝑗) ∈ ℂ)
78 mulcl 8006 . . . . 5 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
7978adantl 277 . . . 4 (((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑞 ∈ ℂ)) → (𝑗 · 𝑞) ∈ ℂ)
8048, 77, 79seq3-1 10554 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1))
81 breq1 4036 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (𝑛 ≤ 1 ↔ 1 ≤ 1))
8281, 39ifbieq1d 3583 . . . . 5 (𝑛 = 1 → if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
83 1le1 8599 . . . . . . . 8 1 ≤ 1
8483iftruei 3567 . . . . . . 7 if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = ({⟨1, 𝐵⟩}‘1)
8584, 37eqtrid 2241 . . . . . 6 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) = 𝐵)
8685, 35eqeltrd 2273 . . . . 5 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1) ∈ ℂ)
8749, 82, 7, 86fvmptd3 5655 . . . 4 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = if(1 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘1), 1))
8887, 85eqtrd 2229 . . 3 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1))‘1) = 𝐵)
8980, 88eqtrd 2229 . 2 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ≤ 1, ({⟨1, 𝐵⟩}‘𝑛), 1)))‘1) = 𝐵)
9047, 89eqtrd 2229 1 ((𝑀𝑉𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑀}𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1364  wcel 2167  wnfc 2326  csb 3084  ifcif 3561  {csn 3622  cop 3625   class class class wbr 4033  cmpt 4094  1-1-ontowf1o 5257  cfv 5258  (class class class)co 5922  cc 7877  1c1 7880   · cmul 7884  cle 8062  cn 8990  cz 9326  cuz 9601  ...cfz 10083  seqcseq 10539  cprod 11715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716
This theorem is referenced by:  prodsn  11758  fprodunsn  11769  fprodsplitsn  11798
  Copyright terms: Public domain W3C validator