Theorem suplocsr 8183

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocsr.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsr.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2299	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1974	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		opeq1 3904	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ⟨𝑏, 1P⟩ = ⟨𝑐, 1P⟩)
6	5	eceq1d 6847	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → [⟨𝑏, 1P⟩] ~R = [⟨𝑐, 1P⟩] ~R )
7	6	oveq2d 6104	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) = (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ))
8	7	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
9	8	cbvrabv 2820	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑐 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
10		suplocsr.ub	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
11		ltrelsr 8112	. . . . . . . . . 10 ⊢ <R ⊆ (R × R)
12	11	brel 4829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
13	12	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
14	13	ralimi 2613	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
15		dfss3 3236	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
17	16	rexlimivw 2664	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
18	10, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ R)
20		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
21	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
22		suplocsr.loc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 8182	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
25	4, 24	exlimddv 1954	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  {crab 2532   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  [cec 6809  Pcnp 7665  1_Pc1p 7666   ~_R cer 7670  Rcnr 7671   +_R cplr 7675   <_R cltr 7677

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7678  df-pli 7679  df-mi 7680  df-lti 7681  df-plpq 7718  df-mpq 7719  df-enq 7721  df-nqqs 7722  df-plqqs 7723  df-mqqs 7724  df-1nqqs 7725  df-rq 7726  df-ltnqqs 7727  df-enq0 7798  df-nq0 7799  df-0nq0 7800  df-plq0 7801  df-mq0 7802  df-inp 7840  df-i1p 7841  df-iplp 7842  df-imp 7843  df-iltp 7844  df-enr 8100  df-nr 8101  df-plr 8102  df-mr 8103  df-ltr 8104  df-0r 8105  df-1r 8106  df-m1r 8107

This theorem is used by:  axpre-suploclemres  8275