Theorem suplocsr 7771

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocsr.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsr.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2231	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1911	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 121	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		opeq1 3765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ⟨𝑏, 1P⟩ = ⟨𝑐, 1P⟩)
6	5	eceq1d 6549	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → [⟨𝑏, 1P⟩] ~R = [⟨𝑐, 1P⟩] ~R )
7	6	oveq2d 5869	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) = (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ))
8	7	eleq1d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
9	8	cbvrabv 2729	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑐 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
10		suplocsr.ub	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
11		ltrelsr 7700	. . . . . . . . . 10 ⊢ <R ⊆ (R × R)
12	11	brel 4663	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
13	12	simpld 111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
14	13	ralimi 2533	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
15		dfss3 3137	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
16	14, 15	sylibr 133	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
17	16	rexlimivw 2583	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
18	10, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
19	18	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ R)
20		simpr 109	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
21	10	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
22		suplocsr.loc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 7770	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
25	4, 24	exlimddv 1891	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ wo 703  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449  {crab 2452   ⊆ wss 3121  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  [cec 6511  Pcnp 7253  1_Pc1p 7254   ~_R cer 7258  Rcnr 7259   +_R cplr 7263   <_R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-1r 7694  df-m1r 7695

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  7863