ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocsr GIF version

Theorem suplocsr 7629
Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocsr.m (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
suplocsr.ub (𝜑 → ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsr.loc (𝜑 → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
suplocsr (𝜑 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplocsr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocsr.m . . 3 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
2 eleq1w 2200 . . . 4 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥𝐴𝑎𝐴))
32cbvexv 1890 . . 3 (∃𝑥 𝑥𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎𝐴)
41, 3sylib 121 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐴)
5 opeq1 3705 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝑐 → ⟨𝑏, 1P⟩ = ⟨𝑐, 1P⟩)
65eceq1d 6465 . . . . . 6 (𝑏 = 𝑐 → [⟨𝑏, 1P⟩] ~R = [⟨𝑐, 1P⟩] ~R )
76oveq2d 5790 . . . . 5 (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) = (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ))
87eleq1d 2208 . . . 4 (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
98cbvrabv 2685 . . 3 {𝑏P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑐P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
10 suplocsr.ub . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)
11 ltrelsr 7558 . . . . . . . . . 10 <R ⊆ (R × R)
1211brel 4591 . . . . . . . . 9 (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦R𝑥R))
1312simpld 111 . . . . . . . 8 (𝑦 <R 𝑥𝑦R)
1413ralimi 2495 . . . . . . 7 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦R)
15 dfss3 3087 . . . . . . 7 (𝐴R ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦R)
1614, 15sylibr 133 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥𝐴R)
1716rexlimivw 2545 . . . . 5 (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥𝐴R)
1810, 17syl 14 . . . 4 (𝜑𝐴R)
1918adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝐴R)
20 simpr 109 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎𝐴)
2110adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)
22 suplocsr.loc . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
2322adantr 274 . . 3 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑥R𝑦R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
249, 19, 20, 21, 23suplocsrlem 7628 . 2 ((𝜑𝑎𝐴) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
254, 24exlimddv 1870 1 (𝜑 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wo 697  wex 1468  wcel 1480  wral 2416  wrex 2417  {crab 2420  wss 3071  cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  [cec 6427  Pcnp 7111  1Pc1p 7112   ~R cer 7116  Rcnr 7117   +R cplr 7121   <R cltr 7123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-imp 7289  df-iltp 7290  df-enr 7546  df-nr 7547  df-plr 7548  df-mr 7549  df-ltr 7550  df-0r 7551  df-1r 7552  df-m1r 7553
This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  7721
  Copyright terms: Public domain W3C validator