Theorem suplocsr 8029

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocsr.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsr.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2292	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1967	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		opeq1 3862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ⟨𝑏, 1P⟩ = ⟨𝑐, 1P⟩)
6	5	eceq1d 6738	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → [⟨𝑏, 1P⟩] ~R = [⟨𝑐, 1P⟩] ~R )
7	6	oveq2d 6034	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) = (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ))
8	7	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
9	8	cbvrabv 2801	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑐 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
10		suplocsr.ub	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
11		ltrelsr 7958	. . . . . . . . . 10 ⊢ <R ⊆ (R × R)
12	11	brel 4778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
13	12	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
14	13	ralimi 2595	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
15		dfss3 3216	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
17	16	rexlimivw 2646	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
18	10, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ R)
20		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
21	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
22		suplocsr.loc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 8028	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
25	4, 24	exlimddv 1947	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∀wral 2510  ∃wrex 2511  {crab 2514   ⊆ wss 3200  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  [cec 6700  Pcnp 7511  1_Pc1p 7512   ~_R cer 7516  Rcnr 7517   +_R cplr 7521   <_R cltr 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-imp 7689  df-iltp 7690  df-enr 7946  df-nr 7947  df-plr 7948  df-mr 7949  df-ltr 7950  df-0r 7951  df-1r 7952  df-m1r 7953

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  8121