Theorem suplocsr 8126

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
suplocsr.ub	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
suplocsr.loc	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
2		eleq1w 2295	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑎 ∈ 𝐴))
3	2	cbvexv 1970	. . 3 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
4	1, 3	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 𝑎 ∈ 𝐴)
5		opeq1 3885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ⟨𝑏, 1P⟩ = ⟨𝑐, 1P⟩)
6	5	eceq1d 6805	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → [⟨𝑏, 1P⟩] ~R = [⟨𝑐, 1P⟩] ~R )
7	6	oveq2d 6068	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) = (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ))
8	7	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑐 → ((𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
9	8	cbvrabv 2814	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑏, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑐 ∈ P ∣ (𝑎 +R [⟨𝑐, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
10		suplocsr.ub	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
11		ltrelsr 8055	. . . . . . . . . 10 ⊢ <R ⊆ (R × R)
12	11	brel 4804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦 ∈ R ∧ 𝑥 ∈ R))
13	12	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 <R 𝑥 → 𝑦 ∈ R)
14	13	ralimi 2607	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
15		dfss3 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ R ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ R)
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
17	16	rexlimivw 2658	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥 → 𝐴 ⊆ R)
18	10, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ R)
19	18	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ R)
20		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → 𝑎 ∈ 𝐴)
21	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑥)
22		suplocsr.loc	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
23	22	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∀𝑥 ∈ R ∀𝑦 ∈ R (𝑥 <R 𝑦 → (∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑥 <R 𝑧 ∨ ∀𝑧 ∈ 𝐴 𝑧 <R 𝑦)))
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 8125	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
25	4, 24	exlimddv 1950	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ R (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 <R 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523  {crab 2526   ⊆ wss 3213  ⟨cop 3694   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052  [cec 6767  Pcnp 7608  1_Pc1p 7609   ~_R cer 7613  Rcnr 7614   +_R cplr 7618   <_R cltr 7620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-eprel 4412  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623  df-lti 7624  df-plpq 7661  df-mpq 7662  df-enq 7664  df-nqqs 7665  df-plqqs 7666  df-mqqs 7667  df-1nqqs 7668  df-rq 7669  df-ltnqqs 7670  df-enq0 7741  df-nq0 7742  df-0nq0 7743  df-plq0 7744  df-mq0 7745  df-inp 7783  df-i1p 7784  df-iplp 7785  df-imp 7786  df-iltp 7787  df-enr 8043  df-nr 8044  df-plr 8045  df-mr 8046  df-ltr 8047  df-0r 8048  df-1r 8049  df-m1r 8050

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  8218