Theorem domssr 7017

Description: If 𝐶 is a superset of 𝐵 and 𝐵 dominates 𝐴, then 𝐶 also dominates 𝐴. (Contributed by BTernaryTau, 7-Dec-2024.)

Assertion

Ref	Expression
domssr	⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Proof of Theorem domssr

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6986	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
2	1	3ad2ant3 1047	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵)
3		simp2 1025	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		reldom 6980	. . . . 5 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex1i 4793	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
6	5	3ad2ant3 1047	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
7		simp1 1024	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝑉)
8	3, 6, 7	jca32 310	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → (𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)))
9		f1ss 5579	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) → 𝑓:𝐴–1-1→𝐶)
10		vex 2816	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
11		f1dom4g 6992	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
12	10, 11	mp3anl1 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→𝐶) → 𝐴 ≼ 𝐶)
13	12	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
14	9, 13	sylan 283	. . . 4 ⊢ (((𝑓:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶) ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶)
15	14	expl 378	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
16	15	exlimiv 1647	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→𝐵 → ((𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → 𝐴 ≼ 𝐶))
17	2, 8, 16	sylc 62	1 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐶 ∧ 𝐴 ≼ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  Vcvv 2813   ⊆ wss 3211   class class class wbr 4109  –1-1→wf1 5349   ≼ cdom 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-dom 6977

This theorem is referenced by:  rex2dom  7063