Theorem elcncf1ii 14735

Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcncf1i.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
elcncf1i.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
elcncf1i.3	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
elcncf1ii	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		elcncf1i.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
5		elcncf1i.3	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
6	5	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
7	2, 4, 6	elcncf1di 14734	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)))
8	7	mptru 1373	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1365   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   < clt 8054   − cmin 8190  ℝ⁺crp 9719  abscabs 11141  –cn→ccncf 14725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-map 6704  df-cncf 14726

This theorem is referenced by: (None)