Theorem elcncf1di 14758

Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcncf1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
elcncf1d.2	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
elcncf1d.3	⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
elcncf1di	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1di

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf1d.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		elcncf1d.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
3	2	imp 124	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4		an32 562	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
5	4	anbi2i 457	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
6		anass 401	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴)))
7	5, 6	bitr4i 187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴))
8		elcncf1d.3	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
9	8	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
10	7, 9	sylbir 135	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
11	10	ralrimiva 2567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
12		breq2 4034	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑍 → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍))
13	12	rspceaimv 2873	. . . . 5 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
14	3, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
15	14	ralrimivva 2576	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
16	1, 15	jca 306	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
17		elcncf 14752	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ↔ (𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))))
18	16, 17	syl5ibrcom 157	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3154   class class class wbr 4030  ⟶wf 5251  ‘cfv 5255  (class class class)co 5919  ℂcc 7872   < clt 8056   − cmin 8192  ℝ⁺crp 9722  abscabs 11144  –cn→ccncf 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-map 6706  df-cncf 14750

This theorem is referenced by:  elcncf1ii  14759  cncfmptc  14775  cncfmptid  14776  addccncf  14779  negcncf  14784