ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fprodeq0g GIF version

Theorem fprodeq0g 11573
Description: Any finite product containing a zero term is itself zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodeq0g.kph 𝑘𝜑
fprodeq0g.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fprodeq0g.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
fprodeq0g.c (𝜑𝐶𝐴)
fprodeq0g.b0 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 0)
Assertion
Ref Expression
fprodeq0g (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fprodeq0g
StepHypRef Expression
1 fprodeq0g.kph . . 3 𝑘𝜑
2 nfcvd 2307 . . 3 (𝜑𝑘0)
3 fprodeq0g.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
4 fprodeq0g.b . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
5 fprodeq0g.c . . 3 (𝜑𝐶𝐴)
6 fprodeq0g.b0 . . 3 ((𝜑𝑘 = 𝐶) → 𝐵 = 0)
71, 2, 3, 4, 5, 6fprodsplit1f 11569 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵))
8 diffisn 6853 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
93, 5, 8syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∖ {𝐶}) ∈ Fin)
10 eldifi 3242 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶}) → 𝑘𝐴)
1110, 4sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})) → 𝐵 ∈ ℂ)
121, 9, 11fprodclf 11570 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵 ∈ ℂ)
1312mul02d 8284 . 2 (𝜑 → (0 · ∏𝑘 ∈ (𝐴 ∖ {𝐶})𝐵) = 0)
147, 13eqtrd 2197 1 (𝜑 → ∏𝑘𝐴 𝐵 = 0)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1342  wnf 1447  wcel 2135  cdif 3111  {csn 3573  (class class class)co 5839  Fincfn 6700  cc 7745  0cc0 7747   · cmul 7752  cprod 11485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-isom 5194  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-irdg 6332  df-frec 6353  df-1o 6378  df-oadd 6382  df-er 6495  df-en 6701  df-dom 6702  df-fin 6703  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-fz 9939  df-fzo 10072  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-ihash 10683  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780  df-rsqrt 10934  df-abs 10935  df-clim 11214  df-proddc 11486
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator