ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddprmge3 GIF version

Theorem oddprmge3 11041
Description: An odd prime is greater than or equal to 3. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Oct-2018.) (Revised by AV, 20-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
oddprmge3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))

Proof of Theorem oddprmge3
StepHypRef Expression
1 eldifi 3111 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2 oddprmgt2 11040 . . 3 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)
3 3z 8715 . . . . 5 3 ∈ ℤ
43a1i 9 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → 3 ∈ ℤ)
5 prmz 11018 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
65adantr 270 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → 𝑃 ∈ ℤ)
7 df-3 8420 . . . . 5 3 = (2 + 1)
8 2z 8714 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
9 zltp1le 8740 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
108, 5, 9sylancr 405 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → (2 < 𝑃 ↔ (2 + 1) ≤ 𝑃))
1110biimpa 290 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → (2 + 1) ≤ 𝑃)
127, 11syl5eqbr 3855 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → 3 ≤ 𝑃)
134, 6, 123jca 1121 . . 3 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 < 𝑃) → (3 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑃))
141, 2, 13syl2anc 403 . 2 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (3 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑃))
15 eluz2 8960 . 2 (𝑃 ∈ (ℤ‘3) ↔ (3 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 3 ≤ 𝑃))
1614, 15sylibr 132 1 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ (ℤ‘3))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 922  wcel 1436  cdif 2985  {csn 3431   class class class wbr 3822  cfv 4983  (class class class)co 5615  1c1 7298   + caddc 7300   < clt 7469  cle 7470  2c2 8410  3c3 8411  cz 8686  cuz 8954  cprime 11014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-coll 3931  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378  ax-cnex 7383  ax-resscn 7384  ax-1cn 7385  ax-1re 7386  ax-icn 7387  ax-addcl 7388  ax-addrcl 7389  ax-mulcl 7390  ax-mulrcl 7391  ax-addcom 7392  ax-mulcom 7393  ax-addass 7394  ax-mulass 7395  ax-distr 7396  ax-i2m1 7397  ax-0lt1 7398  ax-1rid 7399  ax-0id 7400  ax-rnegex 7401  ax-precex 7402  ax-cnre 7403  ax-pre-ltirr 7404  ax-pre-ltwlin 7405  ax-pre-lttrn 7406  ax-pre-apti 7407  ax-pre-ltadd 7408  ax-pre-mulgt0 7409  ax-pre-mulext 7410  ax-arch 7411  ax-caucvg 7412
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-csb 2923  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-if 3380  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-iun 3717  df-br 3823  df-opab 3877  df-mpt 3878  df-tr 3914  df-id 4096  df-po 4099  df-iso 4100  df-iord 4169  df-on 4171  df-ilim 4172  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-riota 5571  df-ov 5618  df-oprab 5619  df-mpt2 5620  df-1st 5870  df-2nd 5871  df-recs 6026  df-frec 6112  df-1o 6137  df-2o 6138  df-er 6246  df-en 6412  df-pnf 7471  df-mnf 7472  df-xr 7473  df-ltxr 7474  df-le 7475  df-sub 7602  df-neg 7603  df-reap 7996  df-ap 8003  df-div 8082  df-inn 8361  df-2 8419  df-3 8420  df-4 8421  df-n0 8610  df-z 8687  df-uz 8955  df-q 9040  df-rp 9070  df-iseq 9784  df-iexp 9875  df-cj 10193  df-re 10194  df-im 10195  df-rsqrt 10348  df-abs 10349  df-dvds 10722  df-prm 11015
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator