ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumlessfi GIF version

Theorem fsumlessfi 11368
Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4 (𝜑𝐶𝐴)
fsumlessfi.c (𝜑𝐶 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumlessfi (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessfi
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumlessfi.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
3 fsumless.4 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
4 diffifi 6841 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
51, 2, 3, 4syl3anc 1220 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
6 eldifi 3230 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑘𝐴)
7 fsumge0.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86, 7sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
106, 9sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
115, 8, 10fsumge0 11367 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)
123sselda 3128 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘𝐴)
1312, 7syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 11309 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
155, 8fsumrecl 11309 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15addge01d 8412 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)))
1711, 16mpbid 146 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
18 disjdif 3467 . . . 4 (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅
1918a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅)
20 undiffi 6871 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
211, 2, 3, 20syl3anc 1220 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
227recnd 7908 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2319, 21, 1, 22fsumsplit 11315 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
2417, 23breqtrrd 3994 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  cdif 3099  cun 3100  cin 3101  wss 3102  c0 3395   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  Fincfn 6687  cr 7733  0cc0 7734   + caddc 7737  cle 7915  Σcsu 11261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4081  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-mulrcl 7833  ax-addcom 7834  ax-mulcom 7835  ax-addass 7836  ax-mulass 7837  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-1rid 7841  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-precex 7844  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850  ax-pre-mulgt0 7851  ax-pre-mulext 7852  ax-arch 7853  ax-caucvg 7854
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-if 3507  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-iun 3853  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-tr 4065  df-id 4255  df-po 4258  df-iso 4259  df-iord 4328  df-on 4330  df-ilim 4331  df-suc 4333  df-iom 4552  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-f1 5177  df-fo 5178  df-f1o 5179  df-fv 5180  df-isom 5181  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-1st 6090  df-2nd 6091  df-recs 6254  df-irdg 6319  df-frec 6340  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6482  df-en 6688  df-dom 6689  df-fin 6690  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-reap 8454  df-ap 8461  df-div 8550  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-4 8899  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-q 9535  df-rp 9567  df-ico 9804  df-fz 9919  df-fzo 10051  df-seqfrec 10354  df-exp 10428  df-ihash 10661  df-cj 10753  df-re 10754  df-im 10755  df-rsqrt 10909  df-abs 10910  df-clim 11187  df-sumdc 11262
This theorem is referenced by:  fsumge1  11369  fsum00  11370
  Copyright terms: Public domain W3C validator