Theorem fsumlessfi 12252

Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fsumlessfi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumlessfi	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlessfi.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
3		fsumless.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4		diffifi 7202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
6		eldifi 3351	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
7		fsumge0.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10	6, 9	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
11	5, 8, 10	fsumge0 12251	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)
12	3	sselda 3248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12, 7	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	2, 13	fsumrecl 12193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
15	5, 8	fsumrecl 12193	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
16	14, 15	addge01d 8868	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)))
17	11, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
18		disjdif 3599	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅)
20		undiffi 7236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)))
21	1, 2, 3, 20	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)))
22	7	recnd 8360	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	19, 21, 1, 22	fsumsplit 12199	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
24	17, 23	breqtrrd 4159	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   ∪ cun 3218   ∩ cin 3219   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088  Fincfn 7026  ℝcr 8184  0cc0 8185   + caddc 8188   ≤ cle 8367  Σcsu 12144

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-pre-mulext 8303  ax-arch 8304  ax-caucvg 8305

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-ap 8918  df-div 9011  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-q 10036  df-rp 10072  df-ico 10313  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-exp 10997  df-ihash 11237  df-cj 11629  df-re 11630  df-im 11631  df-rsqrt 11786  df-abs 11787  df-clim 12070  df-sumdc 12145

This theorem is used by:  fsumge1  12253  fsum00  12254  chtqwordi  16263  chtublem  16295  perfectlem2  16300