ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fsumlessfi GIF version

Theorem fsumlessfi 11236
Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumge0.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4 (𝜑𝐶𝐴)
fsumlessfi.c (𝜑𝐶 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
fsumlessfi (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessfi
StepHypRef Expression
1 fsumge0.1 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
2 fsumlessfi.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Fin)
3 fsumless.4 . . . . 5 (𝜑𝐶𝐴)
4 diffifi 6788 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
51, 2, 3, 4syl3anc 1216 . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐶) ∈ Fin)
6 eldifi 3198 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐴𝐶) → 𝑘𝐴)
7 fsumge0.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
86, 7sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 fsumge0.3 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
106, 9sylan2 284 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
115, 8, 10fsumge0 11235 . . 3 (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)
123sselda 3097 . . . . . 6 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝑘𝐴)
1312, 7syldan 280 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
142, 13fsumrecl 11177 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
155, 8fsumrecl 11177 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
1614, 15addge01d 8302 . . 3 (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵)))
1711, 16mpbid 146 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
18 disjdif 3435 . . . 4 (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅
1918a1i 9 . . 3 (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴𝐶)) = ∅)
20 undiffi 6813 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶𝐴) → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
211, 2, 3, 20syl3anc 1216 . . 3 (𝜑𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴𝐶)))
227recnd 7801 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2319, 21, 1, 22fsumsplit 11183 . 2 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = (Σ𝑘𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴𝐶)𝐵))
2417, 23breqtrrd 3956 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cdif 3068  cun 3069  cin 3070  wss 3071  c0 3363   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  Fincfn 6634  cr 7626  0cc0 7627   + caddc 7630  cle 7808  Σcsu 11129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-mulrcl 7726  ax-addcom 7727  ax-mulcom 7728  ax-addass 7729  ax-mulass 7730  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-1rid 7734  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-precex 7737  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743  ax-pre-mulgt0 7744  ax-pre-mulext 7745  ax-arch 7746  ax-caucvg 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-frec 6288  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-er 6429  df-en 6635  df-dom 6636  df-fin 6637  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-reap 8344  df-ap 8351  df-div 8440  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-4 8788  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-q 9419  df-rp 9449  df-ico 9684  df-fz 9798  df-fzo 9927  df-seqfrec 10226  df-exp 10300  df-ihash 10529  df-cj 10621  df-re 10622  df-im 10623  df-rsqrt 10777  df-abs 10778  df-clim 11055  df-sumdc 11130
This theorem is referenced by:  fsumge1  11237  fsum00  11238
  Copyright terms: Public domain W3C validator