Theorem fsumlessfi 11625

Description: A shorter sum of nonnegative terms is no greater than a longer one. (Contributed by NM, 26-Dec-2005.) (Revised by Jim Kingdon, 12-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumge0.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumge0.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumge0.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
fsumless.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fsumlessfi.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumlessfi	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumlessfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumge0.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlessfi.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Fin)
3		fsumless.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
4		diffifi 6955	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐶) ∈ Fin)
6		eldifi 3285	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
7		fsumge0.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
8	6, 7	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9		fsumge0.3	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ≤ 𝐵)
10	6, 9	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)) → 0 ≤ 𝐵)
11	5, 8, 10	fsumge0 11624	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)
12	3	sselda 3183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝑘 ∈ 𝐴)
13	12, 7	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐶) → 𝐵 ∈ ℝ)
14	2, 13	fsumrecl 11566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ∈ ℝ)
15	5, 8	fsumrecl 11566	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ∈ ℝ)
16	14, 15	addge01d 8560	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵 ↔ Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵)))
17	11, 16	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
18		disjdif 3523	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅
19	18	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∩ (𝐴 ∖ 𝐶)) = ∅)
20		undiffi 6986	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐶 ∈ Fin ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)))
21	1, 2, 3, 20	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 ∪ (𝐴 ∖ 𝐶)))
22	7	recnd 8055	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
23	19, 21, 1, 22	fsumsplit 11572	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 + Σ𝑘 ∈ (𝐴 ∖ 𝐶)𝐵))
24	17, 23	breqtrrd 4061	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐶 𝐵 ≤ Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ∖ cdif 3154   ∪ cun 3155   ∩ cin 3156   ⊆ wss 3157  ∅c0 3450   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  Fincfn 6799  ℝcr 7878  0cc0 7879   + caddc 7882   ≤ cle 8062  Σcsu 11518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-ico 9969  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519

This theorem is referenced by:  fsumge1  11626  fsum00  11627  perfectlem2  15236