Theorem lgsvalmod 15135

Description: The Legendre symbol is equivalent to 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2), mod 𝑝. This theorem is also called "Euler's criterion", see theorem 9.2 in [ApostolNT] p. 180, or a representation of Euler's criterion using the Legendre symbol, (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsvalmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem lgsvalmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmz 12249	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		lgscl 15130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
6	4, 5	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 9442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℤ)
8		zq 9691	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℤ → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℚ)
10		oddprm 12397	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 9293	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
13		zexpcl 10625	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
14	12, 13	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9442	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
16		zq 9691	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℚ)
18		neg1z 9349	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
19		zq 9691	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
20	18, 19	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → -1 ∈ ℚ)
21		prmnn 12248	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
22	2, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
23		nnq 9698	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 9026	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 0 < 𝑃)
26		lgsval3 15134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
27	26	eqcomd 2199	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
28	15, 22	zmodcld 10416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 9295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
30		1cnd 8035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
31	6	zred 9439	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
32	31	recnd 8048	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ)
33	29, 30, 32	subadd2d 8349	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃) ↔ ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
34	27, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
35	34	oveq1d 5933	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃))
36		modqabs2 10429	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
37	17, 24, 25, 36	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
38	35, 37	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
39	9, 17, 20, 24, 25, 38	modqadd1 10432	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃))
40		peano2re 8155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
41	31, 40	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ)
43		ax-1cn 7965	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
44		negsub 8267	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
45	42, 43, 44	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
46		pncan 8225	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
47	32, 43, 46	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
48	45, 47	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (𝐴 /L 𝑃))
49	48	oveq1d 5933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃))
50	14	zred 9439	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
51		peano2re 8155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
52	50, 51	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ)
54		negsub 8267	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
55	53, 43, 54	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
56	50	recnd 8048	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
57		pncan 8225	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
58	56, 43, 57	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
59	55, 58	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
60	59	oveq1d 5933	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
61	39, 49, 60	3eqtr3d 2234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3150  {csn 3618   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   < clt 8054   − cmin 8190  -cneg 8191   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℚcq 9684   mod cmo 10393  ↑cexp 10609  ℙcprime 12245   /_L clgs 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-phi 12349  df-pc 12423  df-lgs 15114

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  15150  lgsne0  15154  gausslemma2d  15185