Theorem lgsvalmod 15751

Description: The Legendre symbol is equivalent to 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2), mod 𝑝. This theorem is also called "Euler's criterion", see theorem 9.2 in [ApostolNT] p. 180, or a representation of Euler's criterion using the Legendre symbol. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsvalmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Proof of Theorem lgsvalmod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3329	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmz 12685	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℤ)
5		lgscl 15746	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
6	4, 5	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
7	6	peano2zd 9605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℤ)
8		zq 9860	. . . 4 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℤ → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℚ)
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℚ)
10		oddprm 12834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
11	10	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
12	11	nnnn0d 9455	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
13		zexpcl 10817	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
14	12, 13	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
15	14	peano2zd 9605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
16		zq 9860	. . . 4 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℚ)
17	15, 16	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℚ)
18		neg1z 9511	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
19		zq 9860	. . . 4 ⊢ (-1 ∈ ℤ → -1 ∈ ℚ)
20	18, 19	mp1i 10	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → -1 ∈ ℚ)
21		prmnn 12684	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
22	2, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℕ)
23		nnq 9867	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
24	22, 23	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 𝑃 ∈ ℚ)
25	22	nngt0d 9187	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 0 < 𝑃)
26		lgsval3 15750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1))
27	26	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
28	15, 22	zmodcld 10608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
29	28	nn0cnd 9457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℂ)
30		1cnd 8195	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → 1 ∈ ℂ)
31	6	zred 9602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
32	31	recnd 8208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ)
33	29, 30, 32	subadd2d 8509	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) − 1) = (𝐴 /L 𝑃) ↔ ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃)))
34	27, 33	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
35	34	oveq1d 6033	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃))
36		modqabs2 10621	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
37	17, 24, 25, 36	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
38	35, 37	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃))
39	9, 17, 20, 24, 25, 38	modqadd1 10624	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃))
40		peano2re 8315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
41	31, 40	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℝ)
42	41	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ)
43		ax-1cn 8125	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
44		negsub 8427	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
45	42, 43, 44	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1))
46		pncan 8385	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
47	32, 43, 46	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) − 1) = (𝐴 /L 𝑃))
48	45, 47	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) = (𝐴 /L 𝑃))
49	48	oveq1d 6033	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴 /L 𝑃) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃))
50	14	zred 9602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
51		peano2re 8315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
52	50, 51	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℝ)
53	52	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ)
54		negsub 8427	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
55	53, 43, 54	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1))
56	50	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
57		pncan 8385	. . . . 5 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
58	56, 43, 57	sylancl 413	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
59	55, 58	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) = (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)))
60	59	oveq1d 6033	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) + -1) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
61	39, 49, 60	3eqtr3d 2272	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∖ cdif 3197  {csn 3669   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   < clt 8214   − cmin 8350  -cneg 8351   / cdiv 8852  ℕcn 9143  2c2 9194  ℕ₀cn0 9402  ℤcz 9479  ℚcq 9853   mod cmo 10585  ↑cexp 10801  ℙcprime 12681   /_L clgs 15729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-fl 10531  df-mod 10586  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-ihash 11039  df-cj 11404  df-re 11405  df-im 11406  df-rsqrt 11560  df-abs 11561  df-clim 11841  df-proddc 12114  df-dvds 12351  df-gcd 12527  df-prm 12682  df-phi 12785  df-pc 12860  df-lgs 15730

This theorem is referenced by:  lgsdirprm  15766  lgsne0  15770  gausslemma2d  15801