Theorem fzdifsuc 10488

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10428	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		eldifi 3351	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4		elfzelz 10428	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		eluzel2 9926	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9931	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfz 10417	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
14		eldif 3229	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}))
15	11	peano2zd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
16		elfz 10417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18		velsn 3726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
19	18	notbii 678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20		nesym 2465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
21	19, 20	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
23	17, 22	anbi12d 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
24	14, 23	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25		anass 405	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27		zltlen 9724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
28	7, 15, 27	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
29	28	anbi2d 468	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
30	26, 29	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
31		zleltp1 9700	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
32	7, 11, 31	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
33	32	anbi2d 468	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
34	30, 33	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	13, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
36	2, 6, 35	eqrdav 2237	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∖ cdif 3217  {csn 3709   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   ≤ cle 8361  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412

This theorem is used by: (None)