Theorem fzdifsuc 10037

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 9981	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2	1	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		eldifi 3249	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4		elfzelz 9981	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		eluzel2 9492	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9496	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfz 9971	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
14		eldif 3130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}))
15	11	peano2zd 9337	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
16		elfz 9971	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18		velsn 3600	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
19	18	notbii 663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20		nesym 2385	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
21	19, 20	bitr4i 186	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
23	17, 22	anbi12d 470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
24	14, 23	syl5bb 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25		anass 399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
26	24, 25	bitrdi 195	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27		zltlen 9290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
28	7, 15, 27	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
29	28	anbi2d 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
30	26, 29	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
31		zleltp1 9267	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
32	7, 11, 31	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
33	32	anbi2d 461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
34	30, 33	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	13, 34	bitr4d 190	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
36	2, 6, 35	eqrdav 2169	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340   ∖ cdif 3118  {csn 3583   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1c1 7775   + caddc 7777   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℤcz 9212  ℤ_≥cuz 9487  ...cfz 9965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966

This theorem is referenced by: (None)