Theorem fzdifsuc 10415

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10359	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		eldifi 3341	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4		elfzelz 10359	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		eluzel2 9858	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9863	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfz 10348	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
14		eldif 3220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}))
15	11	peano2zd 9703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
16		elfz 10348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18		velsn 3706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
19	18	notbii 674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20		nesym 2457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
21	19, 20	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
23	17, 22	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
24	14, 23	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27		zltlen 9656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
28	7, 15, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
29	28	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
30	26, 29	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
31		zleltp1 9633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
32	7, 11, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
33	32	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
34	30, 33	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	13, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
36	2, 6, 35	eqrdav 2231	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412   ∖ cdif 3208  {csn 3689   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   < clt 8308   ≤ cle 8309  ℤcz 9577  ℤ_≥cuz 9853  ...cfz 10342

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343

This theorem is referenced by: (None)