Theorem fzdifsuc 10094

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 10038	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2	1	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		eldifi 3269	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4		elfzelz 10038	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 277	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		eluzel2 9546	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9550	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfz 10027	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
14		eldif 3150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}))
15	11	peano2zd 9391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
16		elfz 10027	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18		velsn 3621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
19	18	notbii 669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20		nesym 2402	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
21	19, 20	bitr4i 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
23	17, 22	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
24	14, 23	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25		anass 401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
26	24, 25	bitrdi 196	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27		zltlen 9344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
28	7, 15, 27	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
29	28	anbi2d 464	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
30	26, 29	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
31		zleltp1 9321	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
32	7, 11, 31	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
33	32	anbi2d 464	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
34	30, 33	bitr4d 191	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	13, 34	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
36	2, 6, 35	eqrdav 2186	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ≠ wne 2357   ∖ cdif 3138  {csn 3604   class class class wbr 4015  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  1c1 7825   + caddc 7827   < clt 8005   ≤ cle 8006  ℤcz 9266  ℤ_≥cuz 9541  ...cfz 10021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022

This theorem is referenced by: (None)