ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdifsuc GIF version

Theorem fzdifsuc 10099
Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzdifsuc (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 10043 . . 3 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
21adantl 277 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 eldifi 3272 . . . 4 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4 elfzelz 10043 . . . 4 (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
53, 4syl 14 . . 3 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℤ)
65adantl 277 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
7 simpr 110 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
8 eluzel2 9551 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
98adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 eluzelz 9555 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
1110adantr 276 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12 elfz 10032 . . . 4 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
137, 9, 11, 12syl3anc 1249 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
14 eldif 3153 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}))
1511peano2zd 9396 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
16 elfz 10032 . . . . . . . . 9 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
177, 9, 15, 16syl3anc 1249 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18 velsn 3624 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
1918notbii 669 . . . . . . . . . 10 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20 nesym 2405 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
2119, 20bitr4i 187 . . . . . . . . 9 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
2221a1i 9 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
2317, 22anbi12d 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
2414, 23bitrid 192 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25 anass 401 . . . . . 6 (((𝑀𝑘𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
2624, 25bitrdi 196 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27 zltlen 9349 . . . . . . 7 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
287, 15, 27syl2anc 411 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
2928anbi2d 464 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
3026, 29bitr4d 191 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀𝑘𝑘 < (𝑁 + 1))))
31 zleltp1 9326 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
327, 11, 31syl2anc 411 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘𝑁𝑘 < (𝑁 + 1)))
3332anbi2d 464 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘𝑘𝑁) ↔ (𝑀𝑘𝑘 < (𝑁 + 1))))
3430, 33bitr4d 191 . . 3 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀𝑘𝑘𝑁)))
3513, 34bitr4d 191 . 2 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
362, 6, 35eqrdav 2188 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  cdif 3141  {csn 3607   class class class wbr 4018  cfv 5231  (class class class)co 5891  1c1 7830   + caddc 7832   < clt 8010  cle 8011  cz 9271  cuz 9546  ...cfz 10026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-fz 10027
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator