Theorem fzdifsuc 9892

Description: Remove a successor from the end of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 4-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzdifsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Proof of Theorem fzdifsuc

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfzelz 9837	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
2	1	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		eldifi 3203	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
4		elfzelz 9837	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) → 𝑘 ∈ ℤ)
6	5	adantl 275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})) → 𝑘 ∈ ℤ)
7		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑘 ∈ ℤ)
8		eluzel2 9355	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
9	8	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		eluzelz 9359	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	10	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
12		elfz 9827	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
13	7, 9, 11, 12	syl3anc 1217	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
14		eldif 3085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}))
15	11	peano2zd 9200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
16		elfz 9827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
17	7, 9, 15, 16	syl3anc 1217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1))))
18		velsn 3549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ 𝑘 = (𝑁 + 1))
19	18	notbii 658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
20		nesym 2354	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 + 1) ≠ 𝑘 ↔ ¬ 𝑘 = (𝑁 + 1))
21	19, 20	bitr4i 186	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)
22	21	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)} ↔ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))
23	17, 22	anbi12d 465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)) ∧ ¬ 𝑘 ∈ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
24	14, 23	syl5bb 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
25		anass 399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
26	24, 25	syl6bb 195	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
27		zltlen 9153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
28	7, 15, 27	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 < (𝑁 + 1) ↔ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘)))
29	28	anbi2d 460	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1)) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ (𝑘 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≠ 𝑘))))
30	26, 29	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
31		zleltp1 9133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
32	7, 11, 31	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ≤ 𝑁 ↔ 𝑘 < (𝑁 + 1)))
33	32	anbi2d 460	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 < (𝑁 + 1))))
34	30, 33	bitr4d 190	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}) ↔ (𝑀 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑁)))
35	13, 34	bitr4d 190	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ (𝑀...𝑁) ↔ 𝑘 ∈ ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)})))
36	2, 6, 35	eqrdav 2139	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 + 1)) ∖ {(𝑁 + 1)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   ∖ cdif 3073  {csn 3532   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   ≤ cle 7825  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350  ...cfz 9821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-fz 9822

This theorem is referenced by: (None)