Theorem en1m 6979

Description: A set with one element is inhabited. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
en1m	⊢ (𝐴 ≈ 1o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem en1m

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1uniel 6978	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → ∪ 𝐴 ∈ 𝐴)
2		elex2 2819	. 2 ⊢ (∪ 𝐴 ∈ 𝐴 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ≈ 1o → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  ∪ cuni 3893   class class class wbr 4088  1_oc1o 6575   ≈ cen 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-1o 6582  df-en 6910

This theorem is referenced by:  sspw1or2  7403  upgrm  15957  upgruhgr  15968  uspgrushgr  16037