Theorem upgrm 15957

Description: An edge is an inhabited subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrm	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐸   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem upgrm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrfnen 15955	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4	3	ffvelcdmda 5782	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5	4	3impa 1220	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
6		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘𝐹) → (𝑥 ≈ 1o ↔ (𝐸‘𝐹) ≈ 1o))
7		breq1 4091	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘𝐹) → (𝑥 ≈ 2o ↔ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o))
8	6, 7	orbi12d 800	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘𝐹) → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o)))
9	8	elrab 2962	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o)))
10	5, 9	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o)))
11		en1m 6979	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))
12		en2m 6999	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 2o → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))
13	11, 12	jaoi 723	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))
14	10, 13	simpl2im 386	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 715   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2202  {crab 2514  𝒫 cpw 3652   class class class wbr 4088   Fn wfn 5321  ‘cfv 5326  1_oc1o 6575  2_oc2o 6576   ≈ cen 6907  Vtxcvtx 15869  iEdgciedg 15870  UPGraphcupgr 15948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-1o 6582  df-2o 6583  df-en 6910  df-sub 8352  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-dec 9612  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-edgf 15862  df-vtx 15871  df-iedg 15872  df-upgren 15950

This theorem is referenced by: (None)