Theorem upgrm 16021

Description: An edge is an inhabited subset of vertices. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isupgr.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
upgrm	⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐸   𝑗,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑗)   𝐺(𝑗)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem upgrm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		isupgr.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrfnen 16019	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) → 𝐸:𝐴⟶{𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4	3	ffvelcdmda 5790	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴) ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
5	4	3impa 1221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → (𝐸‘𝐹) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
6		breq1 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘𝐹) → (𝑥 ≈ 1o ↔ (𝐸‘𝐹) ≈ 1o))
7		breq1 4096	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘𝐹) → (𝑥 ≈ 2o ↔ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o))
8	6, 7	orbi12d 801	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐸‘𝐹) → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) ↔ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o)))
9	8	elrab 2963	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ↔ ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o)))
10	5, 9	sylib 122	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ((𝐸‘𝐹) ∈ 𝒫 𝑉 ∧ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o)))
11		en1m 7022	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 1o → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))
12		en2m 7042	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝐹) ≈ 2o → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))
13	11, 12	jaoi 724	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝐹) ≈ 1o ∨ (𝐸‘𝐹) ≈ 2o) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))
14	10, 13	simpl2im 386	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐸 Fn 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (𝐸‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {crab 2515  𝒫 cpw 3656   class class class wbr 4093   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  1_oc1o 6618  2_oc2o 6619   ≈ cen 6950  Vtxcvtx 15933  iEdgciedg 15934  UPGraphcupgr 16012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-1o 6625  df-2o 6626  df-en 6953  df-sub 8395  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-dec 9655  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-edgf 15926  df-vtx 15935  df-iedg 15936  df-upgren 16014

This theorem is referenced by: (None)