Theorem uspgrushgr 16301

Description: A simple pseudograph is an undirected simple hypergraph. (Contributed by AV, 19-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgrushgr	⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)

Proof of Theorem uspgrushgr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isuspgren 16278	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
4		en1m 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 1o → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
5		en2m 7079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
6	4, 5	jaoi 724	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	ss2rabi 3324	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}
9		f1ss 5584	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥})
10	8, 9	mpan2 425	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥})
11	3, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}))
12	1, 2	isushgrm 16193	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}))
13	11, 12	sylibrd 169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph))
14	13	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716  ∃wex 1541   ∈ wcel 2205  {crab 2526   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674   class class class wbr 4114  dom cdm 4754  –1-1→wf1 5354  ‘cfv 5357  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ≈ cen 6986  Vtxcvtx 16133  iEdgciedg 16134  USHGraphcushgr 16189  USPGraphcuspgr 16274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-en 6989  df-sub 8462  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-dec 9728  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-edgf 16126  df-vtx 16135  df-iedg 16136  df-ushgrm 16191  df-uspgren 16276

This theorem is referenced by:  uspgrupgrushgr  16303  usgredgedg  16348  vtxduspgrfvedgfilem  16421  vtxduspgrfvedgfi  16422