Theorem uspgrushgr 15935

Description: A simple pseudograph is an undirected simple hypergraph. (Contributed by AV, 19-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
uspgrushgr	⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)

Proof of Theorem uspgrushgr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2207	. . . . 5 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	isuspgren 15912	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)}))
4		en1m 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 1o → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
5		en2m 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
6	4, 5	jaoi 718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥)
7	6	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥))
8	7	ss2rabi 3284	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}
9		f1ss 5510	. . . . 5 ⊢ (((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ∧ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}) → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥})
10	8, 9	mpan2 425	. . . 4 ⊢ ((iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥})
11	3, 10	biimtrdi 163	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}))
12	1, 2	isushgrm 15829	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)–1-1→{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝑥}))
13	11, 12	sylibrd 169	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph))
14	13	pm2.43i 49	1 ⊢ (𝐺 ∈ USPGraph → 𝐺 ∈ USHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 710  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178  {crab 2490   ⊆ wss 3175  𝒫 cpw 3627   class class class wbr 4060  dom cdm 4694  –1-1→wf1 5288  ‘cfv 5291  1_oc1o 6520  2_oc2o 6521   ≈ cen 6850  Vtxcvtx 15772  iEdgciedg 15773  USHGraphcushgr 15825  USPGraphcuspgr 15908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-nul 4187  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-cnre 8073

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-tr 4160  df-id 4359  df-iord 4432  df-on 4434  df-suc 4437  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-1o 6527  df-2o 6528  df-en 6853  df-sub 8282  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-dec 9542  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-edgf 15765  df-vtx 15774  df-iedg 15775  df-ushgrm 15827  df-uspgren 15910

This theorem is referenced by:  uspgrupgrushgr  15937