Theorem upgruhgr 15919

Description: An undirected pseudograph is an undirected hypergraph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Assertion

Ref	Expression
upgruhgr	⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)

Proof of Theorem upgruhgr

Dummy variables 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
3	1, 2	upgrfen 15905	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)})
4		en1m 6965	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 1o → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥)
5		en2m 6982	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ≈ 2o → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥)
6	4, 5	jaoi 721	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥)
7	6	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) → ((𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o) → ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥))
8	7	ss2rabi 3306	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥}
9	8	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ (𝑥 ≈ 1o ∨ 𝑥 ≈ 2o)} ⊆ {𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥})
10	3, 9	fssd 5486	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥})
11	1, 2	isuhgrm 15879	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺):dom (iEdg‘𝐺)⟶{𝑥 ∈ 𝒫 (Vtx‘𝐺) ∣ ∃𝑤 𝑤 ∈ 𝑥}))
12	10, 11	mpbird 167	1 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713  ∃wex 1538   ∈ wcel 2200  {crab 2512   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   class class class wbr 4083  dom cdm 4719  ⟶wf 5314  ‘cfv 5318  1_oc1o 6561  2_oc2o 6562   ≈ cen 6893  Vtxcvtx 15821  iEdgciedg 15822  UHGraphcuhgr 15875  UPGraphcupgr 15899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-uhgrm 15877  df-upgren 15901

This theorem is referenced by:  umgruhgr  15921  uspgruhgr  15993  usgruhgr  15995  upgredginwlk  16077