Theorem entr 6944

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6939	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6703	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1404	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1396  Vcvv 2799   class class class wbr 4083   Er wer 6685   ≈ cen 6893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-er 6688  df-en 6896

This theorem is referenced by:  entri  6946  en2sn  6974  xpsnen2g  6996  enen1  7009  enen2  7010  ssenen  7020  phplem4  7024  snnen2og  7028  php5dom  7032  phplem4on  7037  dif1en  7049  dif1enen  7050  fisbth  7053  diffisn  7063  fidcen  7069  eqsndc  7076  exmidpw2en  7085  unsnfidcex  7093  unsnfidcel  7094  f1finf1o  7125  en1eqsn  7126  endjusym  7274  carden2bex  7373  pm54.43  7374  pr2ne  7376  djuen  7404  djuenun  7405  djuassen  7410  frecfzen2  10661  uzennn  10670  hashunlem  11038  hashxp  11061  1nprm  12651  hashdvds  12758  4sqlem11  12939  unennn  12983  ennnfonelemen  13007  ennnfonelemim  13010  exmidunben  13012  ctinfom  13014  ctinf  13016  umgredgnlp  15965  usgrsizedgen  16026  upgr2wlkdc  16116  pwf1oexmid  16424  nnnninfen  16447