Theorem entr 6838

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6833	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6602	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1373	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1365  Vcvv 2760   class class class wbr 4029   Er wer 6584   ≈ cen 6792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-er 6587  df-en 6795

This theorem is referenced by:  entri  6840  en2sn  6867  xpsnen2g  6883  enen1  6896  enen2  6897  ssenen  6907  phplem4  6911  snnen2og  6915  php5dom  6919  phplem4on  6923  dif1en  6935  dif1enen  6936  fisbth  6939  diffisn  6949  exmidpw2en  6968  unsnfidcex  6976  unsnfidcel  6977  f1finf1o  7006  en1eqsn  7007  endjusym  7155  carden2bex  7249  pm54.43  7250  pr2ne  7252  djuen  7271  djuenun  7272  djuassen  7277  frecfzen2  10498  uzennn  10507  hashunlem  10875  hashxp  10897  1nprm  12252  hashdvds  12359  4sqlem11  12539  unennn  12554  ennnfonelemen  12578  ennnfonelemim  12581  exmidunben  12583  ctinfom  12585  ctinf  12587  pwf1oexmid  15490  nnnninfen  15511