Theorem entr 6722

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6717	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6488	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1344	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  ⊤wtru 1336  Vcvv 2712   class class class wbr 3965   Er wer 6470   ≈ cen 6676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-opab 4026  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-er 6473  df-en 6679

This theorem is referenced by:  entri  6724  en2sn  6751  xpsnen2g  6767  enen1  6778  enen2  6779  ssenen  6789  phplem4  6793  snnen2og  6797  php5dom  6801  phplem4on  6805  dif1en  6817  dif1enen  6818  fisbth  6821  diffisn  6831  unsnfidcex  6857  unsnfidcel  6858  f1finf1o  6884  en1eqsn  6885  endjusym  7030  carden2bex  7107  pm54.43  7108  pr2ne  7110  djuen  7129  djuenun  7130  djuassen  7135  frecfzen2  10308  uzennn  10317  hashunlem  10660  hashxp  10682  1nprm  11971  hashdvds  12073  unennn  12098  ennnfonelemen  12122  ennnfonelemim  12125  exmidunben  12127  ctinfom  12129  ctinf  12131  pwf1oexmid  13531