Theorem entr 6934

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6929	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6693	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1404	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1396  Vcvv 2799   class class class wbr 4082   Er wer 6675   ≈ cen 6883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-er 6678  df-en 6886

This theorem is referenced by:  entri  6936  en2sn  6964  xpsnen2g  6984  enen1  6997  enen2  6998  ssenen  7008  phplem4  7012  snnen2og  7016  php5dom  7020  phplem4on  7025  dif1en  7037  dif1enen  7038  fisbth  7041  diffisn  7051  exmidpw2en  7070  unsnfidcex  7078  unsnfidcel  7079  f1finf1o  7110  en1eqsn  7111  endjusym  7259  carden2bex  7358  pm54.43  7359  pr2ne  7361  djuen  7389  djuenun  7390  djuassen  7395  frecfzen2  10644  uzennn  10653  hashunlem  11021  hashxp  11043  1nprm  12631  hashdvds  12738  4sqlem11  12919  unennn  12963  ennnfonelemen  12987  ennnfonelemim  12990  exmidunben  12992  ctinfom  12994  ctinf  12996  umgredgnlp  15944  usgrsizedgen  16005  pwf1oexmid  16324  nnnninfen  16346