Theorem entr 7075

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7070	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6826	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1411	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1403  Vcvv 2821   class class class wbr 4131   Er wer 6808   ≈ cen 7024

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-er 6811  df-en 7027

This theorem is used by:  entri  7077  en2sn  7106  xpsnen2g  7131  enen1  7144  enen2  7145  ssenen  7156  phplem4  7160  snnen2og  7164  php5dom  7168  phplem4on  7173  dif1en  7187  dif1enen  7188  fisbth  7191  diffisn  7201  fidcen  7207  eqsndc  7214  exmidpw2en  7223  unsnfidcex  7231  unsnfidcel  7232  f1finf1o  7269  en1eqsn  7270  2omapfi  7326  endjusym  7442  carden2bex  7541  pm54.43  7542  pr2ne  7544  djuen  7573  djuenun  7574  djuassen  7579  frecfzen2  10885  uzennn  10894  hashunlem  11266  hashxp  11289  1nprm  12917  hashdvds  13028  4sqlem11  13209  unennn  13346  ennnfonelemen  13370  ennnfonelemim  13373  exmidunben  13375  ctinfom  13377  ctinf  13379  umgredgnlp  16598  usgrsizedgen  16659  upgr2wlkdc  16823  pwf1oexmid  17234  nnnninfen  17270