Theorem entr 6889

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6884	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6648	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1382	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1374  Vcvv 2773   class class class wbr 4051   Er wer 6630   ≈ cen 6838

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-br 4052  df-opab 4114  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-er 6633  df-en 6841

This theorem is referenced by:  entri  6891  en2sn  6919  xpsnen2g  6939  enen1  6952  enen2  6953  ssenen  6963  phplem4  6967  snnen2og  6971  php5dom  6975  phplem4on  6979  dif1en  6991  dif1enen  6992  fisbth  6995  diffisn  7005  exmidpw2en  7024  unsnfidcex  7032  unsnfidcel  7033  f1finf1o  7064  en1eqsn  7065  endjusym  7213  carden2bex  7312  pm54.43  7313  pr2ne  7315  djuen  7339  djuenun  7340  djuassen  7345  frecfzen2  10594  uzennn  10603  hashunlem  10971  hashxp  10993  1nprm  12511  hashdvds  12618  4sqlem11  12799  unennn  12843  ennnfonelemen  12867  ennnfonelemim  12870  exmidunben  12872  ctinfom  12874  ctinf  12876  pwf1oexmid  16077  nnnninfen  16099