Theorem entr 6958

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6953	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6717	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1406	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1398  Vcvv 2802   class class class wbr 4088   Er wer 6699   ≈ cen 6907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-er 6702  df-en 6910

This theorem is referenced by:  entri  6960  en2sn  6988  xpsnen2g  7013  enen1  7026  enen2  7027  ssenen  7037  phplem4  7041  snnen2og  7045  php5dom  7049  phplem4on  7054  dif1en  7068  dif1enen  7069  fisbth  7072  diffisn  7082  fidcen  7088  eqsndc  7095  exmidpw2en  7104  unsnfidcex  7112  unsnfidcel  7113  f1finf1o  7146  en1eqsn  7147  endjusym  7295  carden2bex  7394  pm54.43  7395  pr2ne  7397  djuen  7426  djuenun  7427  djuassen  7432  frecfzen2  10690  uzennn  10699  hashunlem  11068  hashxp  11091  1nprm  12691  hashdvds  12798  4sqlem11  12979  unennn  13023  ennnfonelemen  13047  ennnfonelemim  13050  exmidunben  13052  ctinfom  13054  ctinf  13056  umgredgnlp  16009  usgrsizedgen  16070  upgr2wlkdc  16234  pwf1oexmid  16626  nnnninfen  16649