Theorem entr 6901

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6896	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6660	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1382	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1374  Vcvv 2777   class class class wbr 4060   Er wer 6642   ≈ cen 6850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2779  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-op 3653  df-uni 3866  df-br 4061  df-opab 4123  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-er 6645  df-en 6853

This theorem is referenced by:  entri  6903  en2sn  6931  xpsnen2g  6951  enen1  6964  enen2  6965  ssenen  6975  phplem4  6979  snnen2og  6983  php5dom  6987  phplem4on  6992  dif1en  7004  dif1enen  7005  fisbth  7008  diffisn  7018  exmidpw2en  7037  unsnfidcex  7045  unsnfidcel  7046  f1finf1o  7077  en1eqsn  7078  endjusym  7226  carden2bex  7325  pm54.43  7326  pr2ne  7328  djuen  7356  djuenun  7357  djuassen  7362  frecfzen2  10611  uzennn  10620  hashunlem  10988  hashxp  11010  1nprm  12597  hashdvds  12704  4sqlem11  12885  unennn  12929  ennnfonelemen  12953  ennnfonelemim  12956  exmidunben  12958  ctinfom  12960  ctinf  12962  umgredgnlp  15907  pwf1oexmid  16246  nnnninfen  16268