Theorem entr 7001

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6996	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6760	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1407	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1399  Vcvv 2803   class class class wbr 4093   Er wer 6742   ≈ cen 6950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-er 6745  df-en 6953

This theorem is referenced by:  entri  7003  en2sn  7031  xpsnen2g  7056  enen1  7069  enen2  7070  ssenen  7080  phplem4  7084  snnen2og  7088  php5dom  7092  phplem4on  7097  dif1en  7111  dif1enen  7112  fisbth  7115  diffisn  7125  fidcen  7131  eqsndc  7138  exmidpw2en  7147  unsnfidcex  7155  unsnfidcel  7156  f1finf1o  7189  en1eqsn  7190  endjusym  7338  carden2bex  7437  pm54.43  7438  pr2ne  7440  djuen  7469  djuenun  7470  djuassen  7475  frecfzen2  10735  uzennn  10744  hashunlem  11113  hashxp  11136  1nprm  12749  hashdvds  12856  4sqlem11  13037  unennn  13081  ennnfonelemen  13105  ennnfonelemim  13108  exmidunben  13110  ctinfom  13112  ctinf  13114  umgredgnlp  16076  usgrsizedgen  16137  upgr2wlkdc  16301  pwf1oexmid  16704  nnnninfen  16730