Theorem entr 7071

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7066	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6822	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1411	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1403  Vcvv 2821   class class class wbr 4130   Er wer 6804   ≈ cen 7020

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-er 6807  df-en 7023

This theorem is used by:  entri  7073  en2sn  7102  xpsnen2g  7127  enen1  7140  enen2  7141  ssenen  7152  phplem4  7156  snnen2og  7160  php5dom  7164  phplem4on  7169  dif1en  7183  dif1enen  7184  fisbth  7187  diffisn  7197  fidcen  7203  eqsndc  7210  exmidpw2en  7219  unsnfidcex  7227  unsnfidcel  7228  f1finf1o  7264  en1eqsn  7265  2omapfi  7320  endjusym  7436  carden2bex  7535  pm54.43  7536  pr2ne  7538  djuen  7567  djuenun  7568  djuassen  7573  frecfzen2  10864  uzennn  10873  hashunlem  11244  hashxp  11267  1nprm  12892  hashdvds  12999  4sqlem11  13180  unennn  13288  ennnfonelemen  13312  ennnfonelemim  13315  exmidunben  13317  ctinfom  13319  ctinf  13321  umgredgnlp  16393  usgrsizedgen  16454  upgr2wlkdc  16618  pwf1oexmid  17029  nnnninfen  17064