Theorem entr 6957

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6952	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6716	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1406	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1398  Vcvv 2802   class class class wbr 4088   Er wer 6698   ≈ cen 6906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-er 6701  df-en 6909

This theorem is referenced by:  entri  6959  en2sn  6987  xpsnen2g  7012  enen1  7025  enen2  7026  ssenen  7036  phplem4  7040  snnen2og  7044  php5dom  7048  phplem4on  7053  dif1en  7067  dif1enen  7068  fisbth  7071  diffisn  7081  fidcen  7087  eqsndc  7094  exmidpw2en  7103  unsnfidcex  7111  unsnfidcel  7112  f1finf1o  7145  en1eqsn  7146  endjusym  7294  carden2bex  7393  pm54.43  7394  pr2ne  7396  djuen  7425  djuenun  7426  djuassen  7431  frecfzen2  10688  uzennn  10697  hashunlem  11066  hashxp  11089  1nprm  12685  hashdvds  12792  4sqlem11  12973  unennn  13017  ennnfonelemen  13041  ennnfonelemim  13044  exmidunben  13046  ctinfom  13048  ctinf  13050  umgredgnlp  16002  usgrsizedgen  16063  upgr2wlkdc  16227  pwf1oexmid  16600  nnnninfen  16623