Theorem entr 6953

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6948	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6712	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1404	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1396  Vcvv 2800   class class class wbr 4086   Er wer 6694   ≈ cen 6902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-er 6697  df-en 6905

This theorem is referenced by:  entri  6955  en2sn  6983  xpsnen2g  7008  enen1  7021  enen2  7022  ssenen  7032  phplem4  7036  snnen2og  7040  php5dom  7044  phplem4on  7049  dif1en  7061  dif1enen  7062  fisbth  7065  diffisn  7075  fidcen  7081  eqsndc  7088  exmidpw2en  7097  unsnfidcex  7105  unsnfidcel  7106  f1finf1o  7137  en1eqsn  7138  endjusym  7286  carden2bex  7385  pm54.43  7386  pr2ne  7388  djuen  7416  djuenun  7417  djuassen  7422  frecfzen2  10679  uzennn  10688  hashunlem  11057  hashxp  11080  1nprm  12676  hashdvds  12783  4sqlem11  12964  unennn  13008  ennnfonelemen  13032  ennnfonelemim  13035  exmidunben  13037  ctinfom  13039  ctinf  13041  umgredgnlp  15991  usgrsizedgen  16052  upgr2wlkdc  16172  pwf1oexmid  16536  nnnninfen  16559