Theorem entr 6861

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 6856	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6625	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1381	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1373  Vcvv 2771   class class class wbr 4043   Er wer 6607   ≈ cen 6815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-er 6610  df-en 6818

This theorem is referenced by:  entri  6863  en2sn  6890  xpsnen2g  6906  enen1  6919  enen2  6920  ssenen  6930  phplem4  6934  snnen2og  6938  php5dom  6942  phplem4on  6946  dif1en  6958  dif1enen  6959  fisbth  6962  diffisn  6972  exmidpw2en  6991  unsnfidcex  6999  unsnfidcel  7000  f1finf1o  7031  en1eqsn  7032  endjusym  7180  carden2bex  7279  pm54.43  7280  pr2ne  7282  djuen  7305  djuenun  7306  djuassen  7311  frecfzen2  10553  uzennn  10562  hashunlem  10930  hashxp  10952  1nprm  12355  hashdvds  12462  4sqlem11  12643  unennn  12687  ennnfonelemen  12711  ennnfonelemim  12714  exmidunben  12716  ctinfom  12718  ctinf  12720  pwf1oexmid  15800  nnnninfen  15822