Theorem entr 7061

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7056	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6812	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1411	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1403  Vcvv 2821   class class class wbr 4125   Er wer 6794   ≈ cen 7010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-er 6797  df-en 7013

This theorem is referenced by:  entri  7063  en2sn  7092  xpsnen2g  7117  enen1  7130  enen2  7131  ssenen  7142  phplem4  7146  snnen2og  7150  php5dom  7154  phplem4on  7159  dif1en  7173  dif1enen  7174  fisbth  7177  diffisn  7187  fidcen  7193  eqsndc  7200  exmidpw2en  7209  unsnfidcex  7217  unsnfidcel  7218  f1finf1o  7254  en1eqsn  7255  2omapfi  7310  endjusym  7426  carden2bex  7525  pm54.43  7526  pr2ne  7528  djuen  7557  djuenun  7558  djuassen  7563  frecfzen2  10842  uzennn  10851  hashunlem  11222  hashxp  11245  1nprm  12870  hashdvds  12977  4sqlem11  13158  unennn  13266  ennnfonelemen  13290  ennnfonelemim  13293  exmidunben  13295  ctinfom  13297  ctinf  13299  umgredgnlp  16307  usgrsizedgen  16368  upgr2wlkdc  16532  pwf1oexmid  16943  nnnninfen  16969