Theorem entr 7037

Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
entr	⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Proof of Theorem entr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ener 7032	. . . 4 ⊢ ≈ Er V
2	1	a1i 9	. . 3 ⊢ (⊤ → ≈ Er V)
3	2	ertr 6795	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶))
4	3	mptru 1407	1 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐵 ≈ 𝐶) → 𝐴 ≈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  ⊤wtru 1399  Vcvv 2815   class class class wbr 4114   Er wer 6777   ≈ cen 6986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-er 6780  df-en 6989

This theorem is referenced by:  entri  7039  en2sn  7068  xpsnen2g  7093  enen1  7106  enen2  7107  ssenen  7118  phplem4  7122  snnen2og  7126  php5dom  7130  phplem4on  7135  dif1en  7149  dif1enen  7150  fisbth  7153  diffisn  7163  fidcen  7169  eqsndc  7176  exmidpw2en  7185  unsnfidcex  7193  unsnfidcel  7194  f1finf1o  7230  en1eqsn  7231  2omapfi  7284  endjusym  7400  carden2bex  7499  pm54.43  7500  pr2ne  7502  djuen  7531  djuenun  7532  djuassen  7537  frecfzen2  10813  uzennn  10822  hashunlem  11193  hashxp  11216  1nprm  12836  hashdvds  12943  4sqlem11  13124  unennn  13232  ennnfonelemen  13256  ennnfonelemim  13259  exmidunben  13261  ctinfom  13263  ctinf  13265  umgredgnlp  16273  usgrsizedgen  16334  upgr2wlkdc  16498  pwf1oexmid  16899  nnnninfen  16925