ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  entr GIF version

Theorem entr 6644
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 6639 . . . 4 ≈ Er V
21a1i 9 . . 3 (⊤ → ≈ Er V)
32ertr 6410 . 2 (⊤ → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
43mptru 1323 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wtru 1315  Vcvv 2658   class class class wbr 3897   Er wer 6392  cen 6598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-er 6395  df-en 6601
This theorem is referenced by:  entri  6646  en2sn  6673  xpsnen2g  6689  enen1  6700  enen2  6701  ssenen  6711  phplem4  6715  snnen2og  6719  php5dom  6723  phplem4on  6727  dif1en  6739  dif1enen  6740  fisbth  6743  diffisn  6753  unsnfidcex  6774  unsnfidcel  6775  f1finf1o  6801  en1eqsn  6802  endjusym  6947  carden2bex  7011  pm54.43  7012  pr2ne  7014  djuen  7031  djuenun  7032  djuassen  7037  frecfzen2  10140  uzennn  10149  hashunlem  10490  hashxp  10512  1nprm  11691  hashdvds  11792  unennn  11805  ennnfonelemen  11829  ennnfonelemim  11832  exmidunben  11834  ctinfom  11836  ctinf  11838  pwf1oexmid  13005
  Copyright terms: Public domain W3C validator