ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  entr GIF version

Theorem entr 6777
Description: Transitivity of equinumerosity. Theorem 3 of [Suppes] p. 92. (Contributed by NM, 9-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
entr ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)

Proof of Theorem entr
StepHypRef Expression
1 ener 6772 . . . 4 ≈ Er V
21a1i 9 . . 3 (⊤ → ≈ Er V)
32ertr 6543 . 2 (⊤ → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
43mptru 1362 1 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wtru 1354  Vcvv 2737   class class class wbr 4000   Er wer 6525  cen 6731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-er 6528  df-en 6734
This theorem is referenced by:  entri  6779  en2sn  6806  xpsnen2g  6822  enen1  6833  enen2  6834  ssenen  6844  phplem4  6848  snnen2og  6852  php5dom  6856  phplem4on  6860  dif1en  6872  dif1enen  6873  fisbth  6876  diffisn  6886  unsnfidcex  6912  unsnfidcel  6913  f1finf1o  6939  en1eqsn  6940  endjusym  7088  carden2bex  7181  pm54.43  7182  pr2ne  7184  djuen  7203  djuenun  7204  djuassen  7209  frecfzen2  10400  uzennn  10409  hashunlem  10755  hashxp  10777  1nprm  12084  hashdvds  12191  unennn  12368  ennnfonelemen  12392  ennnfonelemim  12395  exmidunben  12397  ctinfom  12399  ctinf  12401  pwf1oexmid  14371
  Copyright terms: Public domain W3C validator