Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | isfi 6735 |
. . . 4
⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛) |
2 | 1 | biimpi 119 |
. . 3
⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛) |
3 | 2 | adantr 274 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛) |
4 | | isfi 6735 |
. . . . 5
⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚) |
5 | 4 | biimpi 119 |
. . . 4
⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚) |
6 | 5 | ad2antlr 486 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚) |
7 | | simplrl 530 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω) |
8 | | simprl 526 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω) |
9 | | nneneq 6831 |
. . . . 5
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚)) |
10 | 7, 8, 9 | syl2anc 409 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚)) |
11 | | simplrr 531 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛) |
12 | | enen1 6814 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝐵)) |
13 | 11, 12 | syl 14 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝐵)) |
14 | | simprr 527 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚) |
15 | | enen2 6815 |
. . . . . 6
⊢ (𝐵 ≈ 𝑚 → (𝑛 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝑚)) |
16 | 14, 15 | syl 14 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝑚)) |
17 | 13, 16 | bitrd 187 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝑚)) |
18 | 11 | ensymd 6757 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ≈ 𝐴) |
19 | | hashennn 10701 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛)) |
20 | 7, 18, 19 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛)) |
21 | 14 | ensymd 6757 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ≈ 𝐵) |
22 | | hashennn 10701 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)) |
23 | 8, 21, 22 | syl2anc 409 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)) |
24 | 20, 23 | eqeq12d 2185 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))) |
25 | | 0zd 9211 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 0 ∈ ℤ) |
26 | | eqid 2170 |
. . . . . . . 8
⊢
frec((𝑥 ∈
ℤ ↦ (𝑥 + 1)),
0) = frec((𝑥 ∈ ℤ
↦ (𝑥 + 1)),
0) |
27 | 25, 26 | frec2uzf1od 10349 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0)) |
28 | | f1of1 5439 |
. . . . . . 7
⊢
(frec((𝑥 ∈
ℤ ↦ (𝑥 + 1)),
0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) →
frec((𝑥 ∈ ℤ
↦ (𝑥 + 1)),
0):ω–1-1→(ℤ≥‘0)) |
29 | 27, 28 | syl 14 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ≥‘0)) |
30 | | f1fveq 5748 |
. . . . . 6
⊢
((frec((𝑥 ∈
ℤ ↦ (𝑥 + 1)),
0):ω–1-1→(ℤ≥‘0) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)) →
((frec((𝑥 ∈ ℤ
↦ (𝑥 + 1)),
0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚)) |
31 | 29, 7, 8, 30 | syl12anc 1231 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚)) |
32 | 24, 31 | bitrd 187 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝑛 = 𝑚)) |
33 | 10, 17, 32 | 3bitr4rd 220 |
. . 3
⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)) |
34 | 6, 33 | rexlimddv 2592 |
. 2
⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵)) |
35 | 3, 34 | rexlimddv 2592 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) →
((♯‘𝐴) =
(♯‘𝐵) ↔
𝐴 ≈ 𝐵)) |