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Theorem hashen 10705
Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
hashen ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))

Proof of Theorem hashen
Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 6735 . . . 4 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
21biimpi 119 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
32adantr 274 . 2 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴𝑛)
4 isfi 6735 . . . . 5 (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
54biimpi 119 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
65ad2antlr 486 . . 3 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵𝑚)
7 simplrl 530 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
8 simprl 526 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
9 nneneq 6831 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛𝑚𝑛 = 𝑚))
107, 8, 9syl2anc 409 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝑚𝑛 = 𝑚))
11 simplrr 531 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐴𝑛)
12 enen1 6814 . . . . . 6 (𝐴𝑛 → (𝐴𝐵𝑛𝐵))
1311, 12syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝐵𝑛𝐵))
14 simprr 527 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝐵𝑚)
15 enen2 6815 . . . . . 6 (𝐵𝑚 → (𝑛𝐵𝑛𝑚))
1614, 15syl 14 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝑛𝐵𝑛𝑚))
1713, 16bitrd 187 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (𝐴𝐵𝑛𝑚))
1811ensymd 6757 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑛𝐴)
19 hashennn 10701 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
207, 18, 19syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
2114ensymd 6757 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 𝑚𝐵)
22 hashennn 10701 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚𝐵) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
238, 21, 22syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
2420, 23eqeq12d 2185 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
25 0zd 9211 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
26 eqid 2170 . . . . . . . 8 frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
2725, 26frec2uzf1od 10349 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ‘0))
28 f1of1 5439 . . . . . . 7 (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ‘0) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ‘0))
2927, 28syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ‘0))
30 f1fveq 5748 . . . . . 6 ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ‘0) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
3129, 7, 8, 30syl12anc 1231 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
3224, 31bitrd 187 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝑛 = 𝑚))
3310, 17, 323bitr4rd 220 . . 3 ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
346, 33rexlimddv 2592 . 2 (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴𝑛)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
353, 34rexlimddv 2592 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wrex 2449   class class class wbr 3987  cmpt 4048  ωcom 4572  1-1wf1 5193  1-1-ontowf1o 5195  cfv 5196  (class class class)co 5850  freccfrec 6366  cen 6712  Fincfn 6714  0cc0 7761  1c1 7762   + caddc 7764  cz 9199  cuz 9474  chash 10696
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1cn 7854  ax-1re 7855  ax-icn 7856  ax-addcl 7857  ax-addrcl 7858  ax-mulcl 7859  ax-addcom 7861  ax-addass 7863  ax-distr 7865  ax-i2m1 7866  ax-0lt1 7867  ax-0id 7869  ax-rnegex 7870  ax-cnre 7872  ax-pre-ltirr 7873  ax-pre-ltwlin 7874  ax-pre-lttrn 7875  ax-pre-ltadd 7877
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-riota 5806  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-recs 6281  df-frec 6367  df-er 6509  df-en 6715  df-dom 6716  df-fin 6717  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-xr 7945  df-ltxr 7946  df-le 7947  df-sub 8079  df-neg 8080  df-inn 8866  df-n0 9123  df-z 9200  df-uz 9475  df-ihash 10697
This theorem is referenced by:  hasheqf1o  10706  isfinite4im  10714  fihasheq0  10715  hashsng  10720  fihashen1  10721  fihashfn  10722  hashun  10727  hashfz  10743  hashxp  10748  mertenslemi1  11485  hashdvds  12162  crth  12165  phimullem  12166  eulerth  12174
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