Theorem hashen 11145

Description: Two finite sets have the same number of elements iff they are equinumerous. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
hashen	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Proof of Theorem hashen

Dummy variables 𝑚 𝑛 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 6999	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
2	1	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
3	2	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ∃𝑛 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑛)
4		isfi 6999	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
5	4	biimpi 120	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
6	5	ad2antlr 489	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ∃𝑚 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑚)
7		simplrl 537	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ∈ ω)
8		simprl 531	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ∈ ω)
9		nneneq 7110	. . . . 5 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚))
10	7, 8, 9	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ≈ 𝑚 ↔ 𝑛 = 𝑚))
11		simplrr 538	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐴 ≈ 𝑛)
12		enen1 7092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝑛 → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝐵))
13	11, 12	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝐵))
14		simprr 533	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝐵 ≈ 𝑚)
15		enen2 7093	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≈ 𝑚 → (𝑛 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝑚))
16	14, 15	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝑛 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝑚))
17	13, 16	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ 𝑛 ≈ 𝑚))
18	11	ensymd 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑛 ≈ 𝐴)
19		hashennn 11141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑛 ∈ ω ∧ 𝑛 ≈ 𝐴) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
20	7, 18, 19	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐴) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛))
21	14	ensymd 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 𝑚 ≈ 𝐵)
22		hashennn 11141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ω ∧ 𝑚 ≈ 𝐵) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
23	8, 21, 22	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → (♯‘𝐵) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚))
24	20, 23	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚)))
25		0zd 9588	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
26		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0) = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
27	25, 26	frec2uzf1od 10767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0))
28		f1of1 5612	. . . . . . 7 ⊢ (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1-onto→(ℤ≥‘0) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ≥‘0))
29	27, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ≥‘0))
30		f1fveq 5944	. . . . . 6 ⊢ ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0):ω–1-1→(ℤ≥‘0) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝑚 ∈ ω)) → ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
31	29, 7, 8, 30	syl12anc 1272	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑛) = (frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)‘𝑚) ↔ 𝑛 = 𝑚))
32	24, 31	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝑛 = 𝑚))
33	10, 17, 32	3bitr4rd 221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) ∧ (𝑚 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑚)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
34	6, 33	rexlimddv 2665	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) ∧ (𝑛 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝑛)) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))
35	3, 34	rexlimddv 2665	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((♯‘𝐴) = (♯‘𝐵) ↔ 𝐴 ≈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ∃wrex 2521   class class class wbr 4108   ↦ cmpt 4170  ωcom 4711  –1-1→wf1 5348  –1-1-onto→wf1o 5350  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  freccfrec 6620   ≈ cen 6972  Fincfn 6974  0cc0 8126  1c1 8127   + caddc 8129  ℤcz 9576  ℤ_≥cuz 9852  ♯chash 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-en 6975  df-dom 6976  df-fin 6977  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-inn 9237  df-n0 9496  df-z 9577  df-uz 9853  df-ihash 11137

This theorem is referenced by:  hasheqf1o  11146  isfinite4im  11153  fihasheq0  11154  hashsng  11159  fihashen1  11160  fihashfn  11162  hashun  11167  hashfz  11184  hashxp  11189  sseqn  11199  hashfibclem  11202  hash2en  11211  mertenslemi1  12217  hashdvds  12914  crth  12917  phimullem  12918  eulerth  12926  4sqlem11  13095  znhash  14796  lgsquadlem1  15942  lgsquadlem2  15943  lgsquadlem3  15944