Theorem ffvelcdm 5844

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5536	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5843	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5545	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3247	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ran crn 4777   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388

This theorem is used by:  ffvelcdmi  5845  ffvelcdmda  5846  dffo3  5858  ffnfv  5869  ffvresb  5874  fcompt  5881  fsn2  5885  fvconst  5906  foco2  5962  fcofo  5993  cocan1  5996  isocnv  6020  isores2  6022  isopolem  6031  isosolem  6033  fovcdm  6235  off  6319  mapsncnv  6981  2dom  7097  dom1o  7120  enm  7122  xpdom2  7133  xpmapenlem  7153  fiintim  7242  isotilem  7352  updjudhf  7425  exmidomniim  7487  finacn  7566  seqf1og  10979  hashf1lem1  11307  shftf  11617  summodclem2a  12173  isumcl  12217  mertenslem2  12328  3dvds  12656  nn0seqcvgd  12844  algrf  12848  eucalg  12862  phimullem  13032  pcmpt  13151  pcprod  13154  imasaddfnlemg  13694  imasaddflemg  13696  mhmpropd  13832  ghmsub  14113  cntzmhm  14173  znunit  15103  upxp  15498  uptx  15500  txhmeo  15545  cncfmet  15818  dvaddxxbr  15927  dvcj  15935  dvfre  15936  plyf  15963  plyaddlem  15975  plymullem  15976  plycolemc  15984  plyreres  15990  dvply1  15991  bposlem5  16315  lgsdir  16359  lgsdi  16361  lgseisenlem3  16396  wlkpvtx  16820  wlkepvtx  16821  bj-charfunr  17041