Theorem ffvelcdm 5698

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5410	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5697	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5419	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3183	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  ran crn 4665   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5699  ffvelcdmda  5700  dffo3  5712  ffnfv  5723  ffvresb  5728  fcompt  5735  fsn2  5739  fvconst  5753  foco2  5803  fcofo  5834  cocan1  5837  isocnv  5861  isores2  5863  isopolem  5872  isosolem  5874  fovcdm  6070  off  6152  mapsncnv  6763  2dom  6873  enm  6888  xpdom2  6899  xpmapenlem  6919  fiintim  7001  isotilem  7081  updjudhf  7154  exmidomniim  7216  finacn  7289  seqf1og  10632  shftf  11014  summodclem2a  11565  isumcl  11609  mertenslem2  11720  3dvds  12048  nn0seqcvgd  12236  algrf  12240  eucalg  12254  phimullem  12420  pcmpt  12539  pcprod  12542  imasaddfnlemg  13018  imasaddflemg  13020  mhmpropd  13170  ghmsub  13459  znunit  14293  upxp  14616  uptx  14618  txhmeo  14663  cncfmet  14936  dvaddxxbr  15045  dvcj  15053  dvfre  15054  plyf  15081  plyaddlem  15093  plymullem  15094  plycolemc  15102  plyreres  15108  dvply1  15109  lgsdir  15384  lgsdi  15386  lgseisenlem3  15421  bj-charfunr  15564