Theorem ffvelcdm 5815

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5513	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5814	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5522	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3241	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  ran crn 4755   Fn wfn 5352  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5816  ffvelcdmda  5817  dffo3  5829  ffnfv  5840  ffvresb  5845  fcompt  5852  fsn2  5856  fvconst  5877  foco2  5932  fcofo  5963  cocan1  5966  isocnv  5990  isores2  5992  isopolem  6001  isosolem  6003  fovcdm  6205  off  6288  mapsncnv  6943  2dom  7059  dom1o  7082  enm  7084  xpdom2  7095  xpmapenlem  7115  fiintim  7204  isotilem  7310  updjudhf  7383  exmidomniim  7445  finacn  7524  seqf1og  10907  shftf  11540  summodclem2a  12092  isumcl  12136  mertenslem2  12247  3dvds  12575  nn0seqcvgd  12763  algrf  12767  eucalg  12781  phimullem  12947  pcmpt  13066  pcprod  13069  imasaddfnlemg  13578  imasaddflemg  13580  mhmpropd  13721  ghmsub  14004  znunit  14933  upxp  15263  uptx  15265  txhmeo  15310  cncfmet  15583  dvaddxxbr  15692  dvcj  15700  dvfre  15701  plyf  15728  plyaddlem  15740  plymullem  15741  plycolemc  15749  plyreres  15755  dvply1  15756  lgsdir  16034  lgsdi  16036  lgseisenlem3  16071  wlkpvtx  16495  wlkepvtx  16496  bj-charfunr  16706