ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ffvelcdm GIF version

Theorem ffvelcdm 5644
Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ffvelcdm ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm
StepHypRef Expression
1 ffn 5360 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵𝐹 Fn 𝐴)
2 fnfvelrn 5643 . . 3 ((𝐹 Fn 𝐴𝐶𝐴) → (𝐹𝐶) ∈ ran 𝐹)
31, 2sylan 283 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶) ∈ ran 𝐹)
4 frn 5369 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
54sseld 3154 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵))
65adantr 276 . 2 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → ((𝐹𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵))
73, 6mpd 13 1 ((𝐹:𝐴𝐵𝐶𝐴) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wcel 2148  ran crn 4623   Fn wfn 5206  wf 5207  cfv 5211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-sbc 2963  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-id 4289  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-fv 5219
This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5645  ffvelcdmda  5646  dffo3  5658  ffnfv  5669  ffvresb  5674  fcompt  5681  fsn2  5685  fvconst  5699  foco2  5748  fcofo  5778  cocan1  5781  isocnv  5805  isores2  5807  isopolem  5816  isosolem  5818  fovcdm  6010  off  6088  mapsncnv  6688  2dom  6798  enm  6813  xpdom2  6824  xpmapenlem  6842  fiintim  6921  isotilem  6998  updjudhf  7071  exmidomniim  7132  shftf  10810  summodclem2a  11360  isumcl  11404  mertenslem2  11515  nn0seqcvgd  12011  algrf  12015  eucalg  12029  phimullem  12195  pcmpt  12311  pcprod  12314  mhmpropd  12734  upxp  13405  uptx  13407  txhmeo  13452  cncfmet  13712  dvaddxxbr  13798  dvcj  13806  dvfre  13807  lgsdir  14069  lgsdi  14071  bj-charfunr  14184
  Copyright terms: Public domain W3C validator