Theorem ffvelcdm 5780

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5482	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5779	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5491	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3226	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ran crn 4726   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5781  ffvelcdmda  5782  dffo3  5794  ffnfv  5805  ffvresb  5810  fcompt  5817  fsn2  5821  fvconst  5841  foco2  5893  fcofo  5924  cocan1  5927  isocnv  5951  isores2  5953  isopolem  5962  isosolem  5964  fovcdm  6164  off  6247  mapsncnv  6863  2dom  6979  dom1o  7001  enm  7003  xpdom2  7014  xpmapenlem  7034  fiintim  7122  isotilem  7204  updjudhf  7277  exmidomniim  7339  finacn  7418  seqf1og  10782  shftf  11390  summodclem2a  11941  isumcl  11985  mertenslem2  12096  3dvds  12424  nn0seqcvgd  12612  algrf  12616  eucalg  12630  phimullem  12796  pcmpt  12915  pcprod  12918  imasaddfnlemg  13396  imasaddflemg  13398  mhmpropd  13548  ghmsub  13837  znunit  14672  upxp  14995  uptx  14997  txhmeo  15042  cncfmet  15315  dvaddxxbr  15424  dvcj  15432  dvfre  15433  plyf  15460  plyaddlem  15472  plymullem  15473  plycolemc  15481  plyreres  15487  dvply1  15488  lgsdir  15763  lgsdi  15765  lgseisenlem3  15800  wlkpvtx  16224  wlkepvtx  16225  bj-charfunr  16405