Theorem ffvelcdm 5780

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5482	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5779	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5491	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3226	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  ran crn 4726   Fn wfn 5321  ⟶wf 5322  ‘cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-sbc 3032  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334

This theorem is referenced by:  ffvelcdmi  5781  ffvelcdmda  5782  dffo3  5794  ffnfv  5805  ffvresb  5810  fcompt  5817  fsn2  5821  fvconst  5842  foco2  5894  fcofo  5925  cocan1  5928  isocnv  5952  isores2  5954  isopolem  5963  isosolem  5965  fovcdm  6165  off  6248  mapsncnv  6864  2dom  6980  dom1o  7002  enm  7004  xpdom2  7015  xpmapenlem  7035  fiintim  7123  isotilem  7205  updjudhf  7278  exmidomniim  7340  finacn  7419  seqf1og  10784  shftf  11408  summodclem2a  11960  isumcl  12004  mertenslem2  12115  3dvds  12443  nn0seqcvgd  12631  algrf  12635  eucalg  12649  phimullem  12815  pcmpt  12934  pcprod  12937  imasaddfnlemg  13415  imasaddflemg  13417  mhmpropd  13567  ghmsub  13856  znunit  14692  upxp  15015  uptx  15017  txhmeo  15062  cncfmet  15335  dvaddxxbr  15444  dvcj  15452  dvfre  15453  plyf  15480  plyaddlem  15492  plymullem  15493  plycolemc  15501  plyreres  15507  dvply1  15508  lgsdir  15783  lgsdi  15785  lgseisenlem3  15820  wlkpvtx  16244  wlkepvtx  16245  bj-charfunr  16456