Theorem ffvelcdm 5841

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by NM, 12-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdm	⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 5533	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fnfvelrn 5840	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
3	1, 2	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹)
4		frn 5542	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
5	4	sseld 3247	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
6	5	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝐶) ∈ ran 𝐹 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵))
7	3, 6	mpd 13	1 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ran crn 4775   Fn wfn 5372  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fv 5385

This theorem is used by:  ffvelcdmi  5842  ffvelcdmda  5843  dffo3  5855  ffnfv  5866  ffvresb  5871  fcompt  5878  fsn2  5882  fvconst  5903  foco2  5959  fcofo  5990  cocan1  5993  isocnv  6017  isores2  6019  isopolem  6028  isosolem  6030  fovcdm  6232  off  6315  mapsncnv  6977  2dom  7093  dom1o  7116  enm  7118  xpdom2  7129  xpmapenlem  7149  fiintim  7238  isotilem  7346  updjudhf  7419  exmidomniim  7481  finacn  7560  seqf1og  10958  hashf1lem1  11285  shftf  11595  summodclem2a  12148  isumcl  12192  mertenslem2  12303  3dvds  12631  nn0seqcvgd  12819  algrf  12823  eucalg  12837  phimullem  13003  pcmpt  13122  pcprod  13125  imasaddfnlemg  13635  imasaddflemg  13637  mhmpropd  13773  ghmsub  14054  znunit  14994  upxp  15373  uptx  15375  txhmeo  15420  cncfmet  15693  dvaddxxbr  15802  dvcj  15810  dvfre  15811  plyf  15838  plyaddlem  15850  plymullem  15851  plycolemc  15859  plyreres  15865  dvply1  15866  lgsdir  16154  lgsdi  16156  lgseisenlem3  16191  wlkpvtx  16615  wlkepvtx  16616  bj-charfunr  16836