Theorem f1of 5639

Description: A one-to-one onto mapping is a mapping. (Contributed by NM, 12-Dec-2003.)

Assertion

Ref	Expression
f1of	⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

Proof of Theorem f1of

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1of1 5638	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1→𝐵)
2		f1f 5598	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4  ⟶wf 5373  –1-1→wf1 5374  –1-1-onto→wf1o 5376

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-f1 5382  df-f1o 5384

This theorem is used by:  f1ofn  5640  f1oabexg  5651  f1ompt  5859  f1oresrab  5873  fsn  5880  fsnunf  5915  f1ocnvfv1  5983  f1ocnvfv2  5984  f1ocnvdm  5987  fcof1o  5995  isocnv  6017  isores2  6019  isotr  6022  isopolem  6028  isosolem  6030  f1oiso2  6033  f1ofveu  6073  suppsnopdc  6490  smoiso  6573  mapsnd  6970  mapsn  6972  f1oen2g  7041  en1  7086  enm  7118  mapen  7146  fidceq  7171  dif1en  7183  fin0  7189  fin0or  7190  ac6sfi  7202  en2eqpr  7214  fiintim  7238  isotilem  7346  supisoex  7349  supisoti  7350  ordiso2  7375  caseinl  7431  caseinr  7432  omp1eomlem  7434  ctm  7449  enomnilem  7478  enmkvlem  7501  enwomnilem  7509  pr2cv1  7541  cc3  7634  frecuzrdgg  10855  fnn0nninf  10877  fxnn0nninf  10878  0tonninf  10879  1tonninf  10880  iseqf1olemkle  10936  iseqf1olemklt  10937  iseqf1olemqcl  10938  iseqf1olemnab  10940  iseqf1olemmo  10944  iseqf1olemqk  10946  iseqf1olemjpcl  10947  iseqf1olemfvp  10949  seq3f1olemqsumkj  10950  seq3f1olemqsumk  10951  seq3f1olemqsum  10952  seq3f1olemstep  10953  seq3f1olemp  10954  seq3f1oleml  10955  seq3f1o  10956  seqf1oglem1  10958  seqf1oglem2  10959  seqf1og  10960  hashfz1  11224  omgadd  11244  hashfacen  11286  hashf1lem1  11287  leisorel  11291  zfz1isolemiso  11293  seq3coll  11296  cnrecnv  11678  sumeq2  12127  summodclem3  12149  summodclem2a  12150  fsumgcl  12155  fsum3  12156  fsumf1o  12159  fisumss  12161  fsumcl2lem  12167  fsumadd  12175  fsummulc2  12217  prodeq2  12326  prodmodclem3  12344  prodmodclem2a  12345  fprodseq  12352  fprodf1o  12357  fprodssdc  12359  fprodmul  12360  nninfctlemfo  12819  sqpweven  12955  2sqpwodd  12956  phimullem  13005  eulerthlem1  13007  eulerthlemrprm  13009  eulerthlema  13010  eulerthlemh  13011  eulerthlemth  13012  ballotfilemsima  13261  ennnfonelemjn  13295  ennnfonelemp1  13299  ennnfonelemhdmp1  13302  ennnfonelemss  13303  ennnfonelemkh  13305  ennnfonelemhf1o  13306  ennnfonelemex  13307  ennnfonelemnn0  13315  ennnfonelemim  13317  ctinfomlemom  13320  ctiunctlemudc  13330  ctiunctlemfo  13332  ssnnctlemct  13339  idmhm  13778  mhmf1o  13779  idghm  14064  ghmf1o  14080  gzsumreidx  14143  gzsumshift  14151  gsumvalfi  14154  gsump1  14159  gsumf1ofi  14162  gsummhmfi  14166  gsumressfi  14169  psrnegcl  15076  psrlinv  15077  ssidcn  15313  txhmeo  15422  dvid  15798  dvidre  15800  dvexp  15814  dfrelog  15964  relogcl  15966  uspgriedgedg  16432  012of  17035  2o01f  17036  iswomninnlem  17111