ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren GIF version

Theorem bren 6725
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6724 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2 f1ofn 5443 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
3 fndm 5297 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4 vex 2733 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
54dmex 4877 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
63, 5eqeltrrdi 2262 . . . . 5 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
72, 6syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
8 f1ofo 5449 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
9 forn 5423 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
114rnex 4878 . . . . 5 ran 𝑓 ∈ V
1210, 11eqeltrrdi 2262 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
137, 12jca 304 . . 3 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1413exlimiv 1591 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15 f1oeq2 5432 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
1615exbidv 1818 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
17 f1oeq3 5433 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1817exbidv 1818 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
19 df-en 6719 . . 3 ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦}
2016, 18, 19brabg 4254 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
211, 14, 20pm5.21nii 699 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wex 1485  wcel 2141  Vcvv 2730   class class class wbr 3989  dom cdm 4611  ran crn 4612   Fn wfn 5193  ontowfo 5196  1-1-ontowf1o 5197  cen 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-en 6719
This theorem is referenced by:  domen  6729  f1oen3g  6732  ener  6757  en0  6773  ensn1  6774  en1  6777  unen  6794  enm  6798  xpen  6823  mapen  6824  ssenen  6829  phplem4  6833  phplem4on  6845  fidceq  6847  dif1en  6857  fin0  6863  fin0or  6864  en2eqpr  6885  fiintim  6906  fidcenumlemim  6929  enomnilem  7114  enmkvlem  7137  enwomnilem  7145  cc3  7230  hasheqf1o  10719  hashfacen  10771  fz1f1o  11338  eulerth  12187  ennnfonelemim  12379  exmidunben  12381  ctinfom  12383  qnnen  12386  enctlem  12387  ctiunct  12395  exmidsbthrlem  14054  sbthom  14058
  Copyright terms: Public domain W3C validator