Theorem bren 6807

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6806	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 5506	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 5358	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 2766	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 4933	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2288	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 5512	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 5484	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 4934	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2288	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 306	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1612	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		f1oeq2 5494	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦))
16	15	exbidv 1839	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦))
17		f1oeq3 5495	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
18	17	exbidv 1839	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
19		df-en 6801	. . 3 ⊢ ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦}
20	16, 18, 19	brabg 4304	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
21	1, 14, 20	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1506   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   class class class wbr 4034  dom cdm 4664  ran crn 4665   Fn wfn 5254  –onto→wfo 5257  –1-1-onto→wf1o 5258   ≈ cen 6798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-en 6801

This theorem is referenced by:  domen  6811  f1oen3g  6814  ener  6839  en0  6855  ensn1  6856  en1  6859  unen  6876  enm  6880  xpen  6907  mapen  6908  ssenen  6913  phplem4  6917  phplem4on  6929  fidceq  6931  dif1en  6941  fin0  6947  fin0or  6948  en2eqpr  6969  fiintim  6993  fidcenumlemim  7019  enomnilem  7205  enmkvlem  7228  enwomnilem  7236  cc3  7337  hasheqf1o  10879  hashfacen  10930  fz1f1o  11542  nninfct  12218  eulerth  12411  ennnfonelemim  12651  exmidunben  12653  ctinfom  12655  qnnen  12658  enctlem  12659  ctiunct  12667  exmidsbthrlem  15676  sbthom  15680