Theorem bren 6649

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6648	. 2 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2		f1ofn 5376	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓 Fn 𝐴)
3		fndm 5230	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4		vex 2692	. . . . . . 7 ⊢ 𝑓 ∈ V
5	4	dmex 4813	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑓 ∈ V
6	3, 5	eqeltrrdi 2232	. . . . 5 ⊢ (𝑓 Fn 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
7	2, 6	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐴 ∈ V)
8		f1ofo 5382	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝑓:𝐴–onto→𝐵)
9		forn 5356	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴–onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
11	4	rnex 4814	. . . . 5 ⊢ ran 𝑓 ∈ V
12	10, 11	eqeltrrdi 2232	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → 𝐵 ∈ V)
13	7, 12	jca 304	. . 3 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
14	13	exlimiv 1578	. 2 ⊢ (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15		f1oeq2 5365	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦))
16	15	exbidv 1798	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦))
17		f1oeq3 5366	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦 ↔ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
18	17	exbidv 1798	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
19		df-en 6643	. . 3 ⊢ ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥–1-1-onto→𝑦}
20	16, 18, 19	brabg 4199	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵))
21	1, 14, 20	pm5.21nii 694	1 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  Vcvv 2689   class class class wbr 3937  dom cdm 4547  ran crn 4548   Fn wfn 5126  –onto→wfo 5129  –1-1-onto→wf1o 5130   ≈ cen 6640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-dm 4557  df-rn 4558  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-en 6643

This theorem is referenced by:  domen  6653  f1oen3g  6656  ener  6681  en0  6697  ensn1  6698  en1  6701  unen  6718  enm  6722  xpen  6747  mapen  6748  ssenen  6753  phplem4  6757  phplem4on  6769  fidceq  6771  dif1en  6781  fin0  6787  fin0or  6788  en2eqpr  6809  fiintim  6825  fidcenumlemim  6848  enomnilem  7018  enmkvlem  7043  enwomnilem  7050  cc3  7100  hasheqf1o  10563  hashfacen  10611  fz1f1o  11176  ennnfonelemim  11973  exmidunben  11975  ctinfom  11977  qnnen  11980  enctlem  11981  ctiunct  11989  exmidsbthrlem  13392  sbthom  13396