ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bren GIF version

Theorem bren 6518
Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
bren (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓   𝐵,𝑓

Proof of Theorem bren
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 encv 6517 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
2 f1ofn 5267 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 Fn 𝐴)
3 fndm 5126 . . . . . 6 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
4 vex 2623 . . . . . . 7 𝑓 ∈ V
54dmex 4712 . . . . . 6 dom 𝑓 ∈ V
63, 5syl6eqelr 2180 . . . . 5 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
72, 6syl 14 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
8 f1ofo 5273 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
9 forn 5249 . . . . . 6 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
114rnex 4713 . . . . 5 ran 𝑓 ∈ V
1210, 11syl6eqelr 2180 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
137, 12jca 301 . . 3 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1413exlimiv 1535 . 2 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
15 f1oeq2 5258 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑓:𝑥1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
1615exbidv 1754 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦))
17 f1oeq3 5259 . . . 4 (𝑦 = 𝐵 → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑦𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
1817exbidv 1754 . . 3 (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑦 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
19 df-en 6512 . . 3 ≈ = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑓 𝑓:𝑥1-1-onto𝑦}
2016, 18, 19brabg 4105 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵))
211, 14, 20pm5.21nii 656 1 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wa 103  wb 104   = wceq 1290  wex 1427  wcel 1439  Vcvv 2620   class class class wbr 3851  dom cdm 4451  ran crn 4452   Fn wfn 5023  ontowfo 5026  1-1-ontowf1o 5027  cen 6509
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-opab 3906  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-dm 4461  df-rn 4462  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-en 6512
This theorem is referenced by:  domen  6522  f1oen3g  6525  ener  6550  en0  6566  ensn1  6567  en1  6570  unen  6587  enm  6590  xpen  6615  mapen  6616  ssenen  6621  phplem4  6625  phplem4on  6637  fidceq  6639  dif1en  6649  fin0  6655  fin0or  6656  en2eqpr  6677  fiintim  6693  fidcenumlemim  6715  enomnilem  6848  hasheqf1o  10247  hashfacen  10295  fz1f1o  10818  exmidsbthrlem  12178
  Copyright terms: Public domain W3C validator