Theorem 4sqlem6 12706

Description: Lemma for 4sq 12733. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8073	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		2nn 9198	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		znq 9745	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9756	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12		nnq 9754	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
14	5	nngt0d 9080	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
15	11, 13, 14	modqcld 10473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
16		qre 9746	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
18	5	nnred 9049	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 9284	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
20		modqge0 10477	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1250	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8634	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
23		df-neg 8246	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
24		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	22, 23, 24	3brtr4g 4078	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
26		modqlt 10478	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
28	5	nncnd 9050	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	2halvesd 9283	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
30	27, 29	breqtrrd 4072	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
33	24, 32	eqbrtrid 4079	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
34	25, 33	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2176   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944  ℝcr 7924  0cc0 7925   + caddc 7928   < clt 8107   ≤ cle 8108   − cmin 8243  -cneg 8244   / cdiv 8745  ℕcn 9036  2c2 9087  ℤcz 9372  ℚcq 9740   mod cmo 10467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-n0 9296  df-z 9373  df-q 9741  df-rp 9776  df-fl 10413  df-mod 10468

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12707  4sqlem10  12710