Theorem 4sqlem6 12348

Description: Lemma for 4sq (not yet proved here) . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7933	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9347	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		2nn 9053	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		znq 9597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12		nnq 9606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
14	5	nngt0d 8936	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
15	11, 13, 14	modqcld 10298	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
16		qre 9598	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
18	5	nnred 8905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 9138	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
20		modqge0 10302	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8492	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
23		df-neg 8105	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
24		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	22, 23, 24	3brtr4g 4032	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
26		modqlt 10303	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
28	5	nncnd 8906	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	2halvesd 9137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
30	27, 29	breqtrrd 4026	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
33	24, 32	eqbrtrid 4033	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
34	25, 33	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   class class class wbr 3998  (class class class)co 5865  ℝcr 7785  0cc0 7786   + caddc 7789   < clt 7966   ≤ cle 7967   − cmin 8102  -cneg 8103   / cdiv 8602  ℕcn 8892  2c2 8943  ℤcz 9226  ℚcq 9592   mod cmo 10292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-n0 9150  df-z 9227  df-q 9593  df-rp 9625  df-fl 10240  df-mod 10293

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12349  4sqlem10  12352