Theorem 4sqlem6 13109

Description: Lemma for 4sq 13136. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8291	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		2nn 9419	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		znq 9977	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12		nnq 9986	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
14	5	nngt0d 9301	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
15	11, 13, 14	modqcld 10717	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
16		qre 9978	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
18	5	nnred 9270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 9505	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
20		modqge0 10721	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
23		df-neg 8464	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
24		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	22, 23, 24	3brtr4g 4148	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
26		modqlt 10722	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
28	5	nncnd 9271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	2halvesd 9504	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
30	27, 29	breqtrrd 4142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
33	24, 32	eqbrtrid 4149	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
34	25, 33	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058  ℝcr 8142  0cc0 8143   + caddc 8146   < clt 8324   ≤ cle 8325   − cmin 8461  -cneg 8462   / cdiv 8966  ℕcn 9257  2c2 9308  ℤcz 9597  ℚcq 9972   mod cmo 10711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261  ax-arch 8262

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-ap 8874  df-div 8967  df-inn 9258  df-2 9316  df-n0 9517  df-z 9598  df-q 9973  df-rp 10008  df-fl 10657  df-mod 10712

This theorem is referenced by:  4sqlem7  13110  4sqlem10  13113