Theorem 4sqlem6 12979

Description: Lemma for 4sq 13006. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8185	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		2nn 9310	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		znq 9863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9874	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12		nnq 9872	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
14	5	nngt0d 9192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
15	11, 13, 14	modqcld 10596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
16		qre 9864	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
18	5	nnred 9161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 9396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
20		modqge0 10600	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8746	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
23		df-neg 8358	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
24		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	22, 23, 24	3brtr4g 4123	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
26		modqlt 10601	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
28	5	nncnd 9162	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	2halvesd 9395	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
30	27, 29	breqtrrd 4117	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8726	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
33	24, 32	eqbrtrid 4124	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
34	25, 33	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   class class class wbr 4089  (class class class)co 6023  ℝcr 8036  0cc0 8037   + caddc 8040   < clt 8219   ≤ cle 8220   − cmin 8355  -cneg 8356   / cdiv 8857  ℕcn 9148  2c2 9199  ℤcz 9484  ℚcq 9858   mod cmo 10590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-n0 9408  df-z 9485  df-q 9859  df-rp 9894  df-fl 10536  df-mod 10591

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12980  4sqlem10  12983