Theorem 4sqlem6 12949

Description: Lemma for 4sq 12976. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
4sqlem5.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
4sqlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
4sqlem5.4	⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))

Assertion

Ref	Expression
4sqlem6	⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Proof of Theorem 4sqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 8173	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2		4sqlem5.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
3		zq 9853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℚ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℚ)
5		4sqlem5.3	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
6	5	nnzd 9594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
7		2nn 9298	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		znq 9851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
9	6, 7, 8	sylancl 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℚ)
10		qaddcl 9862	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (𝑀 / 2) ∈ ℚ) → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
11	4, 9, 10	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ)
12		nnq 9860	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℚ)
13	5, 12	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℚ)
14	5	nngt0d 9180	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
15	11, 13, 14	modqcld 10583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ)
16		qre 9852	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℚ → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
17	15, 16	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) ∈ ℝ)
18	5	nnred 9149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
19	18	rehalfcld 9384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 / 2) ∈ ℝ)
20		modqge0 10587	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
21	11, 13, 14, 20	syl3anc 1271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀))
22	1, 17, 19, 21	lesub1dd 8734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 − (𝑀 / 2)) ≤ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)))
23		df-neg 8346	. . 3 ⊢ -(𝑀 / 2) = (0 − (𝑀 / 2))
24		4sqlem5.4	. . 3 ⊢ 𝐵 = (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2))
25	22, 23, 24	3brtr4g 4120	. 2 ⊢ (𝜑 → -(𝑀 / 2) ≤ 𝐵)
26		modqlt 10588	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + (𝑀 / 2)) ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑀) → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
27	11, 13, 14, 26	syl3anc 1271	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < 𝑀)
28	5	nncnd 9150	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
29	28	2halvesd 9383	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)) = 𝑀)
30	27, 29	breqtrrd 4114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2)))
31	17, 19, 19	ltsubaddd 8714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2) ↔ ((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) < ((𝑀 / 2) + (𝑀 / 2))))
32	30, 31	mpbird 167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + (𝑀 / 2)) mod 𝑀) − (𝑀 / 2)) < (𝑀 / 2))
33	24, 32	eqbrtrid 4121	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 < (𝑀 / 2))
34	25, 33	jca 306	1 ⊢ (𝜑 → (-(𝑀 / 2) ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 < (𝑀 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4086  (class class class)co 6013  ℝcr 8024  0cc0 8025   + caddc 8028   < clt 8207   ≤ cle 8208   − cmin 8343  -cneg 8344   / cdiv 8845  ℕcn 9136  2c2 9187  ℤcz 9472  ℚcq 9846   mod cmo 10577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-n0 9396  df-z 9473  df-q 9847  df-rp 9882  df-fl 10523  df-mod 10578

This theorem is referenced by:  4sqlem7  12950  4sqlem10  12953