Theorem ioocosf1o 14278

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 11713	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5366	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		ioossre 9935	. . . . . 6 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 7903	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3165	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
7		fnssres 5330	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9		fvres 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10		cos0pilt1 14276	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
11	9, 10	eqeltrd 2254	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
12	11	rgen 2530	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)
13		ffnfv 5675	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)))
14	8, 12, 13	mpbir2an 942	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1)
15		fvres 5540	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
16	9, 15	eqeqan12d 2193	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17		ioossicc 9959	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
18	17	sseli 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
19	17	sseli 3152	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20		cos11 14277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	23	rgen2 2563	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25		dff13 5769	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
26	14, 24, 25	mpbir2an 942	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1)
27		0red 7958	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28		pire 14210	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → π ∈ ℝ)
30		elioore 9912	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31		pipos 14212	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < π)
33		0re 7957	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		iccssre 9955	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
36	35, 5	sstri 3165	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38		coscn 14194	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
39	38	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	35	sseli 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
41	40	recoscld 11732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43		cospi 14224	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
44		neg1rr 9025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
45	44	rexri 8015	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ*
46		1re 7956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
47	46	rexri 8015	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
48		elioo2 9921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
50	49	simp2bi 1013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → -1 < 𝑥)
51	43, 50	eqbrtrid 4039	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
52	49	simp3bi 1014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < 1)
53		cos0 11738	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4046	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (cos‘0)))
56		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
59	56, 57, 58	cosordlem 14273	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 14125	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61		eqcom 2179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
62	15	eqeq1d 2186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
64	63	rexbiia 2492	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
66	65	rgen 2530	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67		dffo3 5664	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
68	14, 66, 67	mpbir2an 942	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)
69		df-f1o 5224	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)))
70	26, 68, 69	mpbir2an 942	1 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ⊆ wss 3130   class class class wbr 4004   ↾ cres 4629   Fn wfn 5212  ⟶wf 5213  –1-1→wf1 5214  –onto→wfo 5215  –1-1-onto→wf1o 5216  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811  1c1 7812  ℝ^*cxr 7991   < clt 7992  -cneg 8129  (,)cioo 9888  [,]cicc 9891  cosccos 11653  πcpi 11655  –cn→ccncf 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by: (None)