Theorem ioocosf1o 15536

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 12224	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5473	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		ioossre 10139	. . . . . 6 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 8099	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3233	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
7		fnssres 5436	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9		fvres 5653	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10		cos0pilt1 15534	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
11	9, 10	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
12	11	rgen 2583	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)
13		ffnfv 5795	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)))
14	8, 12, 13	mpbir2an 948	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1)
15		fvres 5653	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
16	9, 15	eqeqan12d 2245	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17		ioossicc 10163	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
18	17	sseli 3220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
19	17	sseli 3220	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20		cos11 15535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	23	rgen2 2616	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25		dff13 5898	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
26	14, 24, 25	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1)
27		0red 8155	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28		pire 15468	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → π ∈ ℝ)
30		elioore 10116	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31		pipos 15470	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < π)
33		0re 8154	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		iccssre 10159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
36	35, 5	sstri 3233	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38		coscn 15452	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
39	38	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	35	sseli 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
41	40	recoscld 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43		cospi 15482	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
44		neg1rr 9224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
45	44	rexri 8212	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ*
46		1re 8153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
47	46	rexri 8212	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
48		elioo2 10125	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
50	49	simp2bi 1037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → -1 < 𝑥)
51	43, 50	eqbrtrid 4118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
52	49	simp3bi 1038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < 1)
53		cos0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (cos‘0)))
56		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
59	56, 57, 58	cosordlem 15531	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 15326	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61		eqcom 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
62	15	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
64	63	rexbiia 2545	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
66	65	rgen 2583	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67		dffo3 5784	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
68	14, 66, 67	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)
69		df-f1o 5325	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)))
70	26, 68, 69	mpbir2an 948	1 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   ↾ cres 4721   Fn wfn 5313  ⟶wf 5314  –1-1→wf1 5315  –onto→wfo 5316  –1-1-onto→wf1o 5317  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  ℂcc 8005  ℝcr 8006  0cc0 8007  1c1 8008  ℝ^*cxr 8188   < clt 8189  -cneg 8326  (,)cioo 10092  [,]cicc 10095  cosccos 12164  πcpi 12166  –cn→ccncf 15252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127  ax-pre-suploc 8128  ax-addf 8129  ax-mulf 8130

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-of 6224  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-frec 6543  df-1o 6568  df-oadd 6572  df-er 6688  df-map 6805  df-pm 6806  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-xneg 9976  df-xadd 9977  df-ioo 10096  df-ioc 10097  df-ico 10098  df-icc 10099  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-fac 10956  df-bc 10978  df-ihash 11006  df-shft 11334  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-clim 11798  df-sumdc 11873  df-ef 12167  df-sin 12169  df-cos 12170  df-pi 12172  df-rest 13282  df-topgen 13301  df-psmet 14515  df-xmet 14516  df-met 14517  df-bl 14518  df-mopn 14519  df-top 14680  df-topon 14693  df-bases 14725  df-ntr 14778  df-cn 14870  df-cnp 14871  df-tx 14935  df-cncf 15253  df-limced 15338  df-dvap 15339

This theorem is referenced by: (None)