Theorem ioocosf1o 15549

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 12237	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5476	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		ioossre 10148	. . . . . 6 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 8107	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3233	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
7		fnssres 5439	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9		fvres 5656	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10		cos0pilt1 15547	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
11	9, 10	eqeltrd 2306	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
12	11	rgen 2583	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)
13		ffnfv 5798	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)))
14	8, 12, 13	mpbir2an 948	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1)
15		fvres 5656	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
16	9, 15	eqeqan12d 2245	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17		ioossicc 10172	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
18	17	sseli 3220	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
19	17	sseli 3220	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20		cos11 15548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	23	rgen2 2616	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25		dff13 5901	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
26	14, 24, 25	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1)
27		0red 8163	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28		pire 15481	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → π ∈ ℝ)
30		elioore 10125	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31		pipos 15483	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < π)
33		0re 8162	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		iccssre 10168	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
36	35, 5	sstri 3233	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38		coscn 15465	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
39	38	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	35	sseli 3220	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
41	40	recoscld 12256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43		cospi 15495	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
44		neg1rr 9232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
45	44	rexri 8220	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ*
46		1re 8161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
47	46	rexri 8220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
48		elioo2 10134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
50	49	simp2bi 1037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → -1 < 𝑥)
51	43, 50	eqbrtrid 4118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
52	49	simp3bi 1038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < 1)
53		cos0 12262	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4125	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (cos‘0)))
56		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
59	56, 57, 58	cosordlem 15544	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 15339	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61		eqcom 2231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
62	15	eqeq1d 2238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
64	63	rexbiia 2545	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
66	65	rgen 2583	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67		dffo3 5787	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
68	14, 66, 67	mpbir2an 948	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)
69		df-f1o 5328	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)))
70	26, 68, 69	mpbir2an 948	1 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509   ⊆ wss 3197   class class class wbr 4083   ↾ cres 4722   Fn wfn 5316  ⟶wf 5317  –1-1→wf1 5318  –onto→wfo 5319  –1-1-onto→wf1o 5320  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  ℂcc 8013  ℝcr 8014  0cc0 8015  1c1 8016  ℝ^*cxr 8196   < clt 8197  -cneg 8334  (,)cioo 10101  [,]cicc 10104  cosccos 12177  πcpi 12179  –cn→ccncf 15265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-mulrcl 8114  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-precex 8125  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131  ax-pre-mulgt0 8132  ax-pre-mulext 8133  ax-arch 8134  ax-caucvg 8135  ax-pre-suploc 8136  ax-addf 8137  ax-mulf 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-disj 4060  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-po 4388  df-iso 4389  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-isom 5330  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-of 6227  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-irdg 6527  df-frec 6548  df-1o 6573  df-oadd 6577  df-er 6693  df-map 6810  df-pm 6811  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-sup 7167  df-inf 7168  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-reap 8738  df-ap 8745  df-div 8836  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-q 9832  df-rp 9867  df-xneg 9985  df-xadd 9986  df-ioo 10105  df-ioc 10106  df-ico 10107  df-icc 10108  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-seqfrec 10687  df-exp 10778  df-fac 10965  df-bc 10987  df-ihash 11015  df-shft 11347  df-cj 11374  df-re 11375  df-im 11376  df-rsqrt 11530  df-abs 11531  df-clim 11811  df-sumdc 11886  df-ef 12180  df-sin 12182  df-cos 12183  df-pi 12185  df-rest 13295  df-topgen 13314  df-psmet 14528  df-xmet 14529  df-met 14530  df-bl 14531  df-mopn 14532  df-top 14693  df-topon 14706  df-bases 14738  df-ntr 14791  df-cn 14883  df-cnp 14884  df-tx 14948  df-cncf 15266  df-limced 15351  df-dvap 15352

This theorem is referenced by: (None)