Theorem ioocosf1o 13316

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 11632	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5331	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		ioossre 9862	. . . . . 6 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 7836	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3146	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
7		fnssres 5295	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
8	3, 6, 7	mp2an 423	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9		fvres 5504	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10		cos0pilt1 13314	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
11	9, 10	eqeltrd 2241	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
12	11	rgen 2517	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)
13		ffnfv 5637	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)))
14	8, 12, 13	mpbir2an 931	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1)
15		fvres 5504	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
16	9, 15	eqeqan12d 2180	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17		ioossicc 9886	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
18	17	sseli 3133	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
19	17	sseli 3133	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20		cos11 13315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
21	20	biimprd 157	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
22	18, 19, 21	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
23	16, 22	sylbid 149	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	23	rgen2 2550	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25		dff13 5730	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
26	14, 24, 25	mpbir2an 931	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1)
27		0red 7891	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28		pire 13248	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → π ∈ ℝ)
30		elioore 9839	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31		pipos 13250	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < π)
33		0re 7890	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		iccssre 9882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
35	33, 28, 34	mp2an 423	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
36	35, 5	sstri 3146	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38		coscn 13232	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
39	38	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	35	sseli 3133	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
41	40	recoscld 11651	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42	41	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43		cospi 13262	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
44		neg1rr 8954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
45	44	rexri 7947	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ*
46		1re 7889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
47	46	rexri 7947	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
48		elioo2 9848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
49	45, 47, 48	mp2an 423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
50	49	simp2bi 1002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → -1 < 𝑥)
51	43, 50	eqbrtrid 4011	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
52	49	simp3bi 1003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < 1)
53		cos0 11657	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
55	51, 54	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (cos‘0)))
56		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57		simprl 521	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58		simprr 522	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
59	56, 57, 58	cosordlem 13311	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 13163	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61		eqcom 2166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
62	15	eqeq1d 2173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
63	61, 62	syl5bb 191	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
64	63	rexbiia 2479	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
65	60, 64	sylibr 133	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
66	65	rgen 2517	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67		dffo3 5626	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
68	14, 66, 67	mpbir2an 931	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)
69		df-f1o 5189	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)))
70	26, 68, 69	mpbir2an 931	1 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 967   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  ∀wral 2442  ∃wrex 2443   ⊆ wss 3111   class class class wbr 3976   ↾ cres 4600   Fn wfn 5177  ⟶wf 5178  –1-1→wf1 5179  –onto→wfo 5180  –1-1-onto→wf1o 5181  ‘cfv 5182  (class class class)co 5836  ℂcc 7742  ℝcr 7743  0cc0 7744  1c1 7745  ℝ^*cxr 7923   < clt 7924  -cneg 8061  (,)cioo 9815  [,]cicc 9818  cosccos 11572  πcpi 11574  –cn→ccncf 13098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-mulrcl 7843  ax-addcom 7844  ax-mulcom 7845  ax-addass 7846  ax-mulass 7847  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-1rid 7851  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-precex 7854  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-apti 7859  ax-pre-ltadd 7860  ax-pre-mulgt0 7861  ax-pre-mulext 7862  ax-arch 7863  ax-caucvg 7864  ax-pre-suploc 7865  ax-addf 7866  ax-mulf 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-disj 3954  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-po 4268  df-iso 4269  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-isom 5191  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-of 6044  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-irdg 6329  df-frec 6350  df-1o 6375  df-oadd 6379  df-er 6492  df-map 6607  df-pm 6608  df-en 6698  df-dom 6699  df-fin 6700  df-sup 6940  df-inf 6941  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-reap 8464  df-ap 8471  df-div 8560  df-inn 8849  df-2 8907  df-3 8908  df-4 8909  df-5 8910  df-6 8911  df-7 8912  df-8 8913  df-9 8914  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-q 9549  df-rp 9581  df-xneg 9699  df-xadd 9700  df-ioo 9819  df-ioc 9820  df-ico 9821  df-icc 9822  df-fz 9936  df-fzo 10068  df-seqfrec 10371  df-exp 10445  df-fac 10628  df-bc 10650  df-ihash 10678  df-shft 10743  df-cj 10770  df-re 10771  df-im 10772  df-rsqrt 10926  df-abs 10927  df-clim 11206  df-sumdc 11281  df-ef 11575  df-sin 11577  df-cos 11578  df-pi 11580  df-rest 12494  df-topgen 12513  df-psmet 12528  df-xmet 12529  df-met 12530  df-bl 12531  df-mopn 12532  df-top 12537  df-topon 12550  df-bases 12582  df-ntr 12637  df-cn 12729  df-cnp 12730  df-tx 12794  df-cncf 13099  df-limced 13166  df-dvap 13167

This theorem is referenced by: (None)