ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioocosf1o GIF version

Theorem ioocosf1o 13908
Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
ioocosf1o (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cosf 11684 . . . . . 6 cos:ℂ⟶ℂ
2 ffn 5360 . . . . . 6 (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 cos Fn ℂ
4 ioossre 9909 . . . . . 6 (0(,)π) ⊆ ℝ
5 ax-resscn 7881 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
64, 5sstri 3164 . . . . 5 (0(,)π) ⊆ ℂ
7 fnssres 5324 . . . . 5 ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
83, 6, 7mp2an 426 . . . 4 (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9 fvres 5534 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10 cos0pilt1 13906 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
119, 10eqeltrd 2254 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
1211rgen 2530 . . . 4 𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)
13 ffnfv 5669 . . . 4 ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)))
148, 12, 13mpbir2an 942 . . 3 (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1)
15 fvres 5534 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
169, 15eqeqan12d 2193 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17 ioossicc 9933 . . . . . . 7 (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
1817sseli 3151 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
1917sseli 3151 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20 cos11 13907 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
2120biimprd 158 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2218, 19, 21syl2an 289 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2316, 22sylbid 150 . . . 4 ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
2423rgen2 2563 . . 3 𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25 dff13 5762 . . 3 ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
2614, 24, 25mpbir2an 942 . 2 (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1)
27 0red 7936 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28 pire 13840 . . . . . . 7 π ∈ ℝ
2928a1i 9 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → π ∈ ℝ)
30 elioore 9886 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31 pipos 13842 . . . . . . 7 0 < π
3231a1i 9 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < π)
33 0re 7935 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ
34 iccssre 9929 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
3533, 28, 34mp2an 426 . . . . . . . 8 (0[,]π) ⊆ ℝ
3635, 5sstri 3164 . . . . . . 7 (0[,]π) ⊆ ℂ
3736a1i 9 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38 coscn 13824 . . . . . . 7 cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3938a1i 9 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
4035sseli 3151 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
4140recoscld 11703 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
4241adantl 277 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43 cospi 13854 . . . . . . . 8 (cos‘π) = -1
44 neg1rr 9001 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
4544rexri 7992 . . . . . . . . . 10 -1 ∈ ℝ*
46 1re 7934 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
4746rexri 7992 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ*
48 elioo2 9895 . . . . . . . . . 10 ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1)))
4945, 47, 48mp2an 426 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥𝑥 < 1))
5049simp2bi 1013 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → -1 < 𝑥)
5143, 50eqbrtrid 4035 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
5249simp3bi 1014 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < 1)
53 cos0 11709 . . . . . . . 8 (cos‘0) = 1
5452, 53breqtrrdi 4042 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
5551, 54jca 306 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥𝑥 < (cos‘0)))
56 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57 simprl 529 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58 simprr 531 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
5956, 57, 58cosordlem 13903 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
6027, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59ivthdec 13755 . . . . 5 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61 eqcom 2179 . . . . . . 7 (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
6215eqeq1d 2186 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
6361, 62bitrid 192 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
6463rexbiia 2492 . . . . 5 (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
6560, 64sylibr 134 . . . 4 (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
6665rgen 2530 . . 3 𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67 dffo3 5658 . . 3 ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
6814, 66, 67mpbir2an 942 . 2 (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)
69 df-f1o 5218 . 2 ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)))
7026, 68, 69mpbir2an 942 1 (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4000  cres 4624   Fn wfn 5206  wf 5207  1-1wf1 5208  ontowfo 5209  1-1-ontowf1o 5210  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787  cr 7788  0cc0 7789  1c1 7790  *cxr 7968   < clt 7969  -cneg 8106  (,)cioo 9862  [,]cicc 9865  cosccos 11624  πcpi 11626  cnccncf 13690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907  ax-arch 7908  ax-caucvg 7909  ax-pre-suploc 7910  ax-addf 7911  ax-mulf 7912
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-isom 5220  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-of 6076  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-irdg 6364  df-frec 6385  df-1o 6410  df-oadd 6414  df-er 6528  df-map 6643  df-pm 6644  df-en 6734  df-dom 6735  df-fin 6736  df-sup 6976  df-inf 6977  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-3 8955  df-4 8956  df-5 8957  df-6 8958  df-7 8959  df-8 8960  df-9 8961  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-q 9596  df-rp 9628  df-xneg 9746  df-xadd 9747  df-ioo 9866  df-ioc 9867  df-ico 9868  df-icc 9869  df-fz 9983  df-fzo 10116  df-seqfrec 10419  df-exp 10493  df-fac 10677  df-bc 10699  df-ihash 10727  df-shft 10795  df-cj 10822  df-re 10823  df-im 10824  df-rsqrt 10978  df-abs 10979  df-clim 11258  df-sumdc 11333  df-ef 11627  df-sin 11629  df-cos 11630  df-pi 11632  df-rest 12625  df-topgen 12644  df-psmet 13120  df-xmet 13121  df-met 13122  df-bl 13123  df-mopn 13124  df-top 13129  df-topon 13142  df-bases 13174  df-ntr 13229  df-cn 13321  df-cnp 13322  df-tx 13386  df-cncf 13691  df-limced 13758  df-dvap 13759
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator