Theorem ioocosf1o 16094

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→( -1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 12498	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5536	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		ioossre 10355	. . . . . 6 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 8278	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3257	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
7		fnssres 5499	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
8	3, 6, 7	mp2an 430	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9		fvres 5722	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10		cos0pilt1 16092	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ ( -1(,)1))
11	9, 10	eqeltrd 2315	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ ( -1(,)1))
12	11	rgen 2603	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ ( -1(,)1)
13		ffnfv 5869	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶( -1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ ( -1(,)1)))
14	8, 12, 13	mpbir2an 955	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶( -1(,)1)
15		fvres 5722	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
16	9, 15	eqeqan12d 2254	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17		ioossicc 10379	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
18	17	sseli 3244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
19	17	sseli 3244	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20		cos11 16093	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	23	rgen2 2636	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25		dff13 5977	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→( -1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶( -1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
26	14, 24, 25	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→( -1(,)1)
27		0red 8334	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28		pire 16025	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → π ∈ ℝ)
30		elioore 10332	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31		pipos 16027	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → 0 < π)
33		0re 8333	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		iccssre 10375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
35	33, 28, 34	mp2an 430	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
36	35, 5	sstri 3257	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38		coscn 16008	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
39	38	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	35	sseli 3244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
41	40	recoscld 12517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ( -1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43		cospi 16039	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
44		neg1rr 9420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
45	44	rexri 8390	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ*
46		1re 8332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
47	46	rexri 8390	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
48		elioo2 10341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
49	45, 47, 48	mp2an 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
50	49	simp2bi 1044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → -1 < 𝑥)
51	43, 50	eqbrtrid 4166	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
52	49	simp3bi 1045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → 𝑥 < 1)
53		cos0 12523	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (cos‘0)))
56		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57		simprl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58		simprr 537	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
59	56, 57, 58	cosordlem 16089	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ( -1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 15882	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61		eqcom 2240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
62	15	eqeq1d 2247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
64	63	rexbiia 2565	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ( -1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
66	65	rgen 2603	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ( -1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67		dffo3 5858	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→( -1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶( -1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ ( -1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
68	14, 66, 67	mpbir2an 955	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→( -1(,)1)
69		df-f1o 5387	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→( -1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→( -1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→( -1(,)1)))
70	26, 68, 69	mpbir2an 955	1 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→( -1(,)1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131   ↾ cres 4778   Fn wfn 5375  ⟶wf 5376  –1-1→wf1 5377  –onto→wfo 5378  –1-1-onto→wf1o 5379  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℂcc 8184  ℝcr 8185  0cc0 8186  1c1 8187  ℝ^*cxr 8366   < clt 8367   -cneg 8506  (,)cioo 10308  [,]cicc 10311  cosccos 12438  πcpi 12440  –cn→ccncf 15808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306  ax-pre-suploc 8307  ax-addf 8308  ax-mulf 8309

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-of 6305  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-frec 6666  df-1o 6691  df-oadd 6695  df-er 6811  df-map 6928  df-pm 6929  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-ioo 10312  df-ioc 10313  df-ico 10314  df-icc 10315  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-fac 11187  df-bc 11209  df-ihash 11238  df-shft 11603  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-clim 12071  df-sumdc 12146  df-ef 12441  df-sin 12443  df-cos 12444  df-pi 12446  df-rest 13655  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-met 14992  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-topon 15249  df-bases 15281  df-ntr 15334  df-cn 15426  df-cnp 15427  df-tx 15491  df-cncf 15809  df-limced 15894  df-dvap 15895

This theorem is used by: (None)