Theorem ioocosf1o 15090

Description: The cosine function is a bijection when restricted to its principal domain. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 7-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
ioocosf1o	⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Proof of Theorem ioocosf1o

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cosf 11870	. . . . . 6 ⊢ cos:ℂ⟶ℂ
2		ffn 5407	. . . . . 6 ⊢ (cos:ℂ⟶ℂ → cos Fn ℂ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ cos Fn ℂ
4		ioossre 10010	. . . . . 6 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℝ
5		ax-resscn 7971	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
6	4, 5	sstri 3192	. . . . 5 ⊢ (0(,)π) ⊆ ℂ
7		fnssres 5371	. . . . 5 ⊢ ((cos Fn ℂ ∧ (0(,)π) ⊆ ℂ) → (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π))
8	3, 6, 7	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π)
9		fvres 5582	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = (cos‘𝑥))
10		cos0pilt1 15088	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → (cos‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
11	9, 10	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1))
12	11	rgen 2550	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)
13		ffnfv 5720	. . . 4 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)) Fn (0(,)π) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) ∈ (-1(,)1)))
14	8, 12, 13	mpbir2an 944	. . 3 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1)
15		fvres 5582	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = (cos‘𝑦))
16	9, 15	eqeqan12d 2212	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
17		ioossicc 10034	. . . . . . 7 ⊢ (0(,)π) ⊆ (0[,]π)
18	17	sseli 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0(,)π) → 𝑥 ∈ (0[,]π))
19	17	sseli 3179	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → 𝑦 ∈ (0[,]π))
20		cos11 15089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (cos‘𝑥) = (cos‘𝑦)))
21	20	biimprd 158	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
22	18, 19, 21	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → ((cos‘𝑥) = (cos‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
23	16, 22	sylbid 150	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (0(,)π) ∧ 𝑦 ∈ (0(,)π)) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
24	23	rgen2 2583	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)
25		dff13 5815	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (0(,)π)∀𝑦 ∈ (0(,)π)(((cos ↾ (0(,)π))‘𝑥) = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
26	14, 24, 25	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1)
27		0red 8027	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 ∈ ℝ)
28		pire 15022	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
29	28	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → π ∈ ℝ)
30		elioore 9987	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 ∈ ℝ)
31		pipos 15024	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
32	31	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 0 < π)
33		0re 8026	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ
34		iccssre 10030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (0[,]π) ⊆ ℝ)
35	33, 28, 34	mp2an 426	. . . . . . . 8 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℝ
36	35, 5	sstri 3192	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]π) ⊆ ℂ
37	36	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (0[,]π) ⊆ ℂ)
38		coscn 15006	. . . . . . 7 ⊢ cos ∈ (ℂ–cn→ℂ)
39	38	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → cos ∈ (ℂ–cn→ℂ))
40	35	sseli 3179	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → 𝑧 ∈ ℝ)
41	40	recoscld 11889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]π) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
42	41	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) → (cos‘𝑧) ∈ ℝ)
43		cospi 15036	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘π) = -1
44		neg1rr 9096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
45	44	rexri 8084	. . . . . . . . . 10 ⊢ -1 ∈ ℝ*
46		1re 8025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
47	46	rexri 8084	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ*
48		elioo2 9996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1)))
49	45, 47, 48	mp2an 426	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ -1 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1))
50	49	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → -1 < 𝑥)
51	43, 50	eqbrtrid 4068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → (cos‘π) < 𝑥)
52	49	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < 1)
53		cos0 11895	. . . . . . . 8 ⊢ (cos‘0) = 1
54	52, 53	breqtrrdi 4075	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → 𝑥 < (cos‘0))
55	51, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ((cos‘π) < 𝑥 ∧ 𝑥 < (cos‘0)))
56		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 ∈ (0[,]π))
57		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ (0[,]π))
58		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → 𝑧 < 𝑤)
59	56, 57, 58	cosordlem 15085	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ (-1(,)1) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]π)) ∧ (𝑤 ∈ (0[,]π) ∧ 𝑧 < 𝑤)) → (cos‘𝑤) < (cos‘𝑧))
60	27, 29, 30, 32, 37, 39, 42, 55, 59	ivthdec 14880	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
61		eqcom 2198	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥)
62	15	eqeq1d 2205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) = 𝑥 ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
63	61, 62	bitrid 192	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0(,)π) → (𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ (cos‘𝑦) = 𝑥))
64	63	rexbiia 2512	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ (0(,)π)(cos‘𝑦) = 𝑥)
65	60, 64	sylibr 134	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (-1(,)1) → ∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦))
66	65	rgen 2550	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)
67		dffo3 5709	. . 3 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)⟶(-1(,)1) ∧ ∀𝑥 ∈ (-1(,)1)∃𝑦 ∈ (0(,)π)𝑥 = ((cos ↾ (0(,)π))‘𝑦)))
68	14, 66, 67	mpbir2an 944	. 2 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)
69		df-f1o 5265	. 2 ⊢ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1) ↔ ((cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1→(-1(,)1) ∧ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–onto→(-1(,)1)))
70	26, 68, 69	mpbir2an 944	1 ⊢ (cos ↾ (0(,)π)):(0(,)π)–1-1-onto→(-1(,)1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476   ⊆ wss 3157   class class class wbr 4033   ↾ cres 4665   Fn wfn 5253  ⟶wf 5254  –1-1→wf1 5255  –onto→wfo 5256  –1-1-onto→wf1o 5257  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880  ℝ^*cxr 8060   < clt 8061  -cneg 8198  (,)cioo 9963  [,]cicc 9966  cosccos 11810  πcpi 11812  –cn→ccncf 14806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-pre-suploc 8000  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-disj 4011  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-oadd 6478  df-er 6592  df-map 6709  df-pm 6710  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-ioo 9967  df-ioc 9968  df-ico 9969  df-icc 9970  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-fac 10818  df-bc 10840  df-ihash 10868  df-shft 10980  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-sumdc 11519  df-ef 11813  df-sin 11815  df-cos 11816  df-pi 11818  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by: (None)