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Theorem pwf1oexmid 13350
Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pwle2.t 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
Assertion
Ref Expression
pwf1oexmid ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2oEXMID)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pwf1oexmid
StepHypRef Expression
1 pwle2.t . . . . . 6 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
21pwle2 13349 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
32adantr 274 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
4 pw1dom2 13344 . . . . . 6 2o ≼ 𝒫 1o
5 iunxpconst 4603 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o) = (𝑁 × 1o)
6 df1o2 6330 . . . . . . . . . . . . 13 1o = {∅}
76xpeq2i 4564 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 × 1o) = (𝑁 × {∅})
81, 5, 73eqtri 2165 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 × {∅})
9 peano1 4512 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
10 xpsneng 6720 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
119, 10mpan2 422 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
128, 11eqbrtrid 3967 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ω → 𝑇𝑁)
1312ad2antrr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇𝑁)
1413ensymd 6681 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁𝑇)
15 relen 6642 . . . . . . . . . 10 Rel ≈
16 brrelex1 4582 . . . . . . . . . 10 ((Rel ≈ ∧ 𝑇𝑁) → 𝑇 ∈ V)
1715, 13, 16sylancr 411 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ∈ V)
18 simplr 520 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
19 simpr 109 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
20 dff1o5 5380 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o ↔ (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
2118, 19, 20sylanbrc 414 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o)
22 f1oeng 6655 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
2317, 21, 22syl2anc 409 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
24 entr 6682 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑇𝑇 ≈ 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
2514, 23, 24syl2anc 409 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
2625ensymd 6681 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o𝑁)
27 domentr 6689 . . . . . 6 ((2o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o𝑁) → 2o𝑁)
284, 26, 27sylancr 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o𝑁)
29 2onn 6421 . . . . . . 7 2o ∈ ω
30 nndomo 6762 . . . . . . 7 ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3129, 30mpan 421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ω → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3231ad2antrr 480 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3328, 32mpbid 146 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o𝑁)
343, 33eqssd 3115 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 = 2o)
3526, 34breqtrd 3958 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 2o)
36 exmidpw 6806 . . . 4 (EXMID ↔ 𝒫 1o ≈ 2o)
3735, 36sylibr 133 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → EXMID)
3834, 37jca 304 . 2 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (𝑁 = 2oEXMID))
39 simplr 520 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
4012ad2antrr 480 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇𝑁)
41 simprl 521 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑁 = 2o)
4240, 41breqtrd 3958 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇 ≈ 2o)
43 simprr 522 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → EXMID)
4443, 36sylib 121 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝒫 1o ≈ 2o)
4544ensymd 6681 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 2o ≈ 𝒫 1o)
46 entr 6682 . . . . . . 7 ((𝑇 ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
4742, 45, 46syl2anc 409 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
48 nnfi 6770 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4929, 48mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 2o ∈ Fin)
50 enfi 6771 . . . . . . . 8 (𝒫 1o ≈ 2o → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5144, 50syl 14 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5249, 51mpbird 166 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝒫 1o ∈ Fin)
53 f1finf1o 6839 . . . . . 6 ((𝑇 ≈ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ∈ Fin) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o))
5447, 52, 53syl2anc 409 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o))
5539, 54mpbid 146 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o)
5655, 20sylib 121 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
5756simprd 113 . 2 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
5838, 57impbida 586 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2oEXMID)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  Vcvv 2687  wss 3072  c0 3364  𝒫 cpw 3511  {csn 3528   ciun 3817   class class class wbr 3933  EXMIDwem 4122  ωcom 4508   × cxp 4541  ran crn 4544  Rel wrel 4548  1-1wf1 5124  1-1-ontowf1o 5126  1oc1o 6310  2oc2o 6311  cen 6636  cdom 6637  Fincfn 6638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4047  ax-sep 4050  ax-nul 4058  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-iinf 4506
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-csb 3005  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-nul 3365  df-if 3476  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-iun 3819  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-tr 4031  df-exmid 4123  df-id 4219  df-iord 4292  df-on 4294  df-suc 4297  df-iom 4509  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-rn 4554  df-res 4555  df-ima 4556  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fn 5130  df-f 5131  df-f1 5132  df-fo 5133  df-f1o 5134  df-fv 5135  df-1o 6317  df-2o 6318  df-er 6433  df-en 6639  df-dom 6640  df-fin 6641
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