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Theorem pwf1oexmid 14318
Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pwle2.t 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
Assertion
Ref Expression
pwf1oexmid ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2oEXMID)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pwf1oexmid
StepHypRef Expression
1 pwle2.t . . . . . 6 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
21pwle2 14317 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
32adantr 276 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
4 pw1dom2 7216 . . . . . 6 2o ≼ 𝒫 1o
5 iunxpconst 4680 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o) = (𝑁 × 1o)
6 df1o2 6420 . . . . . . . . . . . . 13 1o = {∅}
76xpeq2i 4641 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 × 1o) = (𝑁 × {∅})
81, 5, 73eqtri 2200 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 × {∅})
9 peano1 4587 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
10 xpsneng 6812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
119, 10mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
128, 11eqbrtrid 4033 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ω → 𝑇𝑁)
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇𝑁)
1413ensymd 6773 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁𝑇)
15 relen 6734 . . . . . . . . . 10 Rel ≈
16 brrelex1 4659 . . . . . . . . . 10 ((Rel ≈ ∧ 𝑇𝑁) → 𝑇 ∈ V)
1715, 13, 16sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ∈ V)
18 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
19 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
20 dff1o5 5462 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o ↔ (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
2118, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o)
22 f1oeng 6747 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
2317, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
24 entr 6774 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑇𝑇 ≈ 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
2514, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
2625ensymd 6773 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o𝑁)
27 domentr 6781 . . . . . 6 ((2o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o𝑁) → 2o𝑁)
284, 26, 27sylancr 414 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o𝑁)
29 2onn 6512 . . . . . . 7 2o ∈ ω
30 nndomo 6854 . . . . . . 7 ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3129, 30mpan 424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ω → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3231ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3328, 32mpbid 147 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o𝑁)
343, 33eqssd 3170 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 = 2o)
3526, 34breqtrd 4024 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 2o)
36 exmidpw 6898 . . . 4 (EXMID ↔ 𝒫 1o ≈ 2o)
3735, 36sylibr 134 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → EXMID)
3834, 37jca 306 . 2 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (𝑁 = 2oEXMID))
39 simplr 528 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
4012ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇𝑁)
41 simprl 529 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑁 = 2o)
4240, 41breqtrd 4024 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇 ≈ 2o)
43 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → EXMID)
4443, 36sylib 122 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝒫 1o ≈ 2o)
4544ensymd 6773 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 2o ≈ 𝒫 1o)
46 entr 6774 . . . . . . 7 ((𝑇 ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
4742, 45, 46syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
48 nnfi 6862 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4929, 48mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 2o ∈ Fin)
50 enfi 6863 . . . . . . . 8 (𝒫 1o ≈ 2o → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5144, 50syl 14 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5249, 51mpbird 167 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝒫 1o ∈ Fin)
53 f1finf1o 6936 . . . . . 6 ((𝑇 ≈ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ∈ Fin) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o))
5447, 52, 53syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o))
5539, 54mpbid 147 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o)
5655, 20sylib 122 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
5756simprd 114 . 2 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
5838, 57impbida 596 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2oEXMID)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2146  Vcvv 2735  wss 3127  c0 3420  𝒫 cpw 3572  {csn 3589   ciun 3882   class class class wbr 3998  EXMIDwem 4189  ωcom 4583   × cxp 4618  ran crn 4621  Rel wrel 4625  1-1wf1 5205  1-1-ontowf1o 5207  1oc1o 6400  2oc2o 6401  cen 6728  cdom 6729  Fincfn 6730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-exmid 4190  df-id 4287  df-iord 4360  df-on 4362  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-1o 6407  df-2o 6408  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733
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