Theorem pwf1oexmid 13879

Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwle2.t	⊢ 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑁 ({𝑥} × 1o)

Assertion

Ref	Expression
pwf1oexmid	⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑁

Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pwf1oexmid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwle2.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = ∪ 𝑥 ∈ 𝑁 ({𝑥} × 1o)
2	1	pwle2 13878	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
3	2	adantr 274	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
4		pw1dom2 7183	. . . . . 6 ⊢ 2o ≼ 𝒫 1o
5		iunxpconst 4664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝑁 ({𝑥} × 1o) = (𝑁 × 1o)
6		df1o2 6397	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1o = {∅}
7	6	xpeq2i 4625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 × 1o) = (𝑁 × {∅})
8	1, 5, 7	3eqtri 2190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 = (𝑁 × {∅})
9		peano1 4571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ ω
10		xpsneng 6788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
11	9, 10	mpan2 422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
12	8, 11	eqbrtrid 4017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ω → 𝑇 ≈ 𝑁)
13	12	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝑁)
14	13	ensymd 6749	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝑇)
15		relen 6710	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel ≈
16		brrelex1 4643	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Rel ≈ ∧ 𝑇 ≈ 𝑁) → 𝑇 ∈ V)
17	15, 13, 16	sylancr 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ∈ V)
18		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o)
19		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
20		dff1o5 5441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o ↔ (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
21	18, 19, 20	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o)
22		f1oeng 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑇 ∈ V ∧ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
23	17, 21, 22	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
24		entr 6750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ≈ 𝑇 ∧ 𝑇 ≈ 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
25	14, 23, 24	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
26	25	ensymd 6749	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 𝑁)
27		domentr 6757	. . . . . 6 ⊢ ((2o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ≈ 𝑁) → 2o ≼ 𝑁)
28	4, 26, 27	sylancr 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o ≼ 𝑁)
29		2onn 6489	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ ω
30		nndomo 6830	. . . . . . 7 ⊢ ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o ≼ 𝑁 ↔ 2o ⊆ 𝑁))
31	29, 30	mpan 421	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ω → (2o ≼ 𝑁 ↔ 2o ⊆ 𝑁))
32	31	ad2antrr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (2o ≼ 𝑁 ↔ 2o ⊆ 𝑁))
33	28, 32	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o ⊆ 𝑁)
34	3, 33	eqssd 3159	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 = 2o)
35	26, 34	breqtrd 4008	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 2o)
36		exmidpw 6874	. . . 4 ⊢ (EXMID ↔ 𝒫 1o ≈ 2o)
37	35, 36	sylibr 133	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → EXMID)
38	34, 37	jca 304	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (𝑁 = 2o ∧ EXMID))
39		simplr 520	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o)
40	12	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑇 ≈ 𝑁)
41		simprl 521	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑁 = 2o)
42	40, 41	breqtrd 4008	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑇 ≈ 2o)
43		simprr 522	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → EXMID)
44	43, 36	sylib 121	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝒫 1o ≈ 2o)
45	44	ensymd 6749	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 2o ≈ 𝒫 1o)
46		entr 6750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
47	42, 45, 46	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
48		nnfi 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
49	29, 48	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 2o ∈ Fin)
50		enfi 6839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝒫 1o ≈ 2o → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
51	44, 50	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
52	49, 51	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝒫 1o ∈ Fin)
53		f1finf1o 6912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 ≈ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ∈ Fin) → (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ↔ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o))
54	47, 52, 53	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ↔ 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o))
55	39, 54	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → 𝐺:𝑇–1-1-onto→𝒫 1o)
56	55, 20	sylib 121	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → (𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
57	56	simprd 113	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
58	38, 57	impbida 586	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇–1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2o ∧ EXMID)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2726   ⊆ wss 3116  ∅c0 3409  𝒫 cpw 3559  {csn 3576  ∪ ciun 3866   class class class wbr 3982  EXMIDwem 4173  ωcom 4567   × cxp 4602  ran crn 4605  Rel wrel 4609  –1-1→wf1 5185  –1-1-onto→wf1o 5187  1_oc1o 6377  2_oc2o 6378   ≈ cen 6704   ≼ cdom 6705  Fincfn 6706

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-exmid 4174  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-dom 6708  df-fin 6709

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