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Theorem pwf1oexmid 14405
Description: An exercise related to 𝑁 copies of a singleton and the power set of a singleton (where the latter can also be thought of as representing truth values). Posed as an exercise by Martin Escardo online. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Sep-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
pwle2.t 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
Assertion
Ref Expression
pwf1oexmid ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2oEXMID)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑇(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem pwf1oexmid
StepHypRef Expression
1 pwle2.t . . . . . 6 𝑇 = 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o)
21pwle2 14404 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
32adantr 276 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ⊆ 2o)
4 pw1dom2 7220 . . . . . 6 2o ≼ 𝒫 1o
5 iunxpconst 4683 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑁 ({𝑥} × 1o) = (𝑁 × 1o)
6 df1o2 6424 . . . . . . . . . . . . 13 1o = {∅}
76xpeq2i 4644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 × 1o) = (𝑁 × {∅})
81, 5, 73eqtri 2202 . . . . . . . . . . 11 𝑇 = (𝑁 × {∅})
9 peano1 4590 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ ω
10 xpsneng 6816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
119, 10mpan2 425 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ω → (𝑁 × {∅}) ≈ 𝑁)
128, 11eqbrtrid 4035 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ω → 𝑇𝑁)
1312ad2antrr 488 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇𝑁)
1413ensymd 6777 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁𝑇)
15 relen 6738 . . . . . . . . . 10 Rel ≈
16 brrelex1 4662 . . . . . . . . . 10 ((Rel ≈ ∧ 𝑇𝑁) → 𝑇 ∈ V)
1715, 13, 16sylancr 414 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ∈ V)
18 simplr 528 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
19 simpr 110 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
20 dff1o5 5466 . . . . . . . . . 10 (𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o ↔ (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
2118, 19, 20sylanbrc 417 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o)
22 f1oeng 6751 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ V ∧ 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
2317, 21, 22syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
24 entr 6778 . . . . . . . 8 ((𝑁𝑇𝑇 ≈ 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
2514, 23, 24syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 ≈ 𝒫 1o)
2625ensymd 6777 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o𝑁)
27 domentr 6785 . . . . . 6 ((2o ≼ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o𝑁) → 2o𝑁)
284, 26, 27sylancr 414 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o𝑁)
29 2onn 6516 . . . . . . 7 2o ∈ ω
30 nndomo 6858 . . . . . . 7 ((2o ∈ ω ∧ 𝑁 ∈ ω) → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3129, 30mpan 424 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ω → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3231ad2antrr 488 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (2o𝑁 ↔ 2o𝑁))
3328, 32mpbid 147 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 2o𝑁)
343, 33eqssd 3172 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝑁 = 2o)
3526, 34breqtrd 4026 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → 𝒫 1o ≈ 2o)
36 exmidpw 6902 . . . 4 (EXMID ↔ 𝒫 1o ≈ 2o)
3735, 36sylibr 134 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → EXMID)
3834, 37jca 306 . 2 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o) → (𝑁 = 2oEXMID))
39 simplr 528 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o)
4012ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇𝑁)
41 simprl 529 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑁 = 2o)
4240, 41breqtrd 4026 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇 ≈ 2o)
43 simprr 531 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → EXMID)
4443, 36sylib 122 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝒫 1o ≈ 2o)
4544ensymd 6777 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 2o ≈ 𝒫 1o)
46 entr 6778 . . . . . . 7 ((𝑇 ≈ 2o ∧ 2o ≈ 𝒫 1o) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
4742, 45, 46syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝑇 ≈ 𝒫 1o)
48 nnfi 6866 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
4929, 48mp1i 10 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 2o ∈ Fin)
50 enfi 6867 . . . . . . . 8 (𝒫 1o ≈ 2o → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5144, 50syl 14 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝒫 1o ∈ Fin ↔ 2o ∈ Fin))
5249, 51mpbird 167 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝒫 1o ∈ Fin)
53 f1finf1o 6940 . . . . . 6 ((𝑇 ≈ 𝒫 1o ∧ 𝒫 1o ∈ Fin) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o))
5447, 52, 53syl2anc 411 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o))
5539, 54mpbid 147 . . . 4 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → 𝐺:𝑇1-1-onto→𝒫 1o)
5655, 20sylib 122 . . 3 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → (𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o ∧ ran 𝐺 = 𝒫 1o))
5756simprd 114 . 2 (((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) ∧ (𝑁 = 2oEXMID)) → ran 𝐺 = 𝒫 1o)
5838, 57impbida 596 1 ((𝑁 ∈ ω ∧ 𝐺:𝑇1-1→𝒫 1o) → (ran 𝐺 = 𝒫 1o ↔ (𝑁 = 2oEXMID)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129  c0 3422  𝒫 cpw 3574  {csn 3591   ciun 3884   class class class wbr 4000  EXMIDwem 4191  ωcom 4586   × cxp 4621  ran crn 4624  Rel wrel 4628  1-1wf1 5209  1-1-ontowf1o 5211  1oc1o 6404  2oc2o 6405  cen 6732  cdom 6733  Fincfn 6734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-exmid 4192  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737
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