Theorem cosq14gt0 14256

Description: The cosine of a number strictly between -π / 2 and π / 2 is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosq14gt0	⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosq14gt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfpire 14216	. . . . 5 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ
2		elioore 9912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		resubcl 8221	. . . . 5 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
4	1, 2, 3	sylancr 414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ)
5		neghalfpirx 14218	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℝ*
6	1	rexri 8015	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
7		elioo2 9921	. . . . . . 7 ⊢ ((-(π / 2) ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2))))
8	5, 6, 7	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ -(π / 2) < 𝐴 ∧ 𝐴 < (π / 2)))
9	8	simp3bi 1014	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 < (π / 2))
10		posdif 8412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (π / 2) ∈ ℝ) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
11	2, 1, 10	sylancl 413	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (𝐴 < (π / 2) ↔ 0 < ((π / 2) − 𝐴)))
12	9, 11	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < ((π / 2) − 𝐴))
13		picn 14211	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℂ
14		halfcl 9145	. . . . . . . 8 ⊢ (π ∈ ℂ → (π / 2) ∈ ℂ)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (π / 2) ∈ ℂ
16	15	negcli 8225	. . . . . . 7 ⊢ -(π / 2) ∈ ℂ
17	13, 15	negsubi 8235	. . . . . . . 8 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π − (π / 2))
18		pidiv2halves 14219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((π / 2) + (π / 2)) = π
19	13, 15, 15, 18	subaddrii 8246	. . . . . . . 8 ⊢ (π − (π / 2)) = (π / 2)
20	17, 19	eqtri 2198	. . . . . . 7 ⊢ (π + -(π / 2)) = (π / 2)
21	15, 13, 16, 20	subaddrii 8246	. . . . . 6 ⊢ ((π / 2) − π) = -(π / 2)
22	8	simp2bi 1013	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → -(π / 2) < 𝐴)
23	21, 22	eqbrtrid 4039	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − π) < 𝐴)
24		pire 14210	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℝ
25		ltsub23 8399	. . . . . . 7 ⊢ (((π / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
26	1, 24, 25	mp3an13 1328	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
27	2, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (((π / 2) − 𝐴) < π ↔ ((π / 2) − π) < 𝐴))
28	23, 27	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) < π)
29		0xr 8004	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
30	24	rexri 8015	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ*
31		elioo2 9921	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) < π)))
32	29, 30, 31	mp2an 426	. . . 4 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) ↔ (((π / 2) − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < ((π / 2) − 𝐴) ∧ ((π / 2) − 𝐴) < π))
33	4, 12, 28, 32	syl3anbrc 1181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → ((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π))
34		sinq12gt0 14254	. . 3 ⊢ (((π / 2) − 𝐴) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
35	33, 34	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (sin‘((π / 2) − 𝐴)))
36	2	recnd 7986	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 𝐴 ∈ ℂ)
37		sinhalfpim 14245	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
38	36, 37	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → (sin‘((π / 2) − 𝐴)) = (cos‘𝐴))
39	35, 38	breqtrd 4030	1 ⊢ (𝐴 ∈ (-(π / 2)(,)(π / 2)) → 0 < (cos‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4004  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  ℂcc 7809  ℝcr 7810  0cc0 7811   + caddc 7814  ℝ^*cxr 7991   < clt 7992   − cmin 8128  -cneg 8129   / cdiv 8629  2c2 8970  (,)cioo 9888  sincsin 11652  cosccos 11653  πcpi 11655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ioc 9893  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-sin 11658  df-cos 11659  df-pi 11661  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129

This theorem is referenced by:  coseq0q4123  14258