Theorem strle3g 12253

Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼
strle2.j	⊢ 𝐼 < 𝐽
strle2.k	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b	⊢ 𝐵 = 𝐽
strle3.k	⊢ 𝐽 < 𝐾
strle3.l	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
strle3.c	⊢ 𝐶 = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
strle3g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)

Proof of Theorem strle3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3568	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
2		strle1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
3		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
4		strle2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐼 < 𝐽
5		strle2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
6		strle2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐽
7	2, 3, 4, 5, 6	strle2g 12252	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
8	7	3adant3 1002	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9		strle3.l	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
10		strle3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = 𝐾
11	9, 10	strle1g 12251	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → {⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐾, 𝐾⟩)
12	11	3ad2ant3 1005	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐾, 𝐾⟩)
13		strle3.k	. . . 4 ⊢ 𝐽 < 𝐾
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝐽 < 𝐾)
15	8, 12, 14	strleund 12249	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)
16	1, 15	eqbrtrid 3999	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ∪ cun 3100  {csn 3560  {cpr 3561  {ctp 3562  ⟨cop 3563   class class class wbr 3965   < clt 7906  ℕcn 8827   Struct cstr 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-addcom 7826  ax-addass 7828  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-tp 3568  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4253  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-fz 9906  df-struct 12163

This theorem is referenced by:  rngstrg  12276  lmodstrd  12294  ipsstrd  12302  topgrpstrd  12312