ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  strle3g GIF version

Theorem strle3g 11894
Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
strle1.i 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a 𝐴 = 𝐼
strle2.j 𝐼 < 𝐽
strle2.k 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b 𝐵 = 𝐽
strle3.k 𝐽 < 𝐾
strle3.l 𝐾 ∈ ℕ
strle3.c 𝐶 = 𝐾
Assertion
Ref Expression
strle3g ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)

Proof of Theorem strle3g
StepHypRef Expression
1 df-tp 3501 . 2 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
2 strle1.i . . . . 5 𝐼 ∈ ℕ
3 strle1.a . . . . 5 𝐴 = 𝐼
4 strle2.j . . . . 5 𝐼 < 𝐽
5 strle2.k . . . . 5 𝐽 ∈ ℕ
6 strle2.b . . . . 5 𝐵 = 𝐽
72, 3, 4, 5, 6strle2g 11893 . . . 4 ((𝑋𝑉𝑌𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
873adant3 984 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9 strle3.l . . . . 5 𝐾 ∈ ℕ
10 strle3.c . . . . 5 𝐶 = 𝐾
119, 10strle1g 11892 . . . 4 (𝑍𝑃 → {⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐾, 𝐾⟩)
12113ad2ant3 987 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑃) → {⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐾, 𝐾⟩)
13 strle3.k . . . 4 𝐽 < 𝐾
1413a1i 9 . . 3 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑃) → 𝐽 < 𝐾)
158, 12, 14strleund 11890 . 2 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑃) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)
161, 15eqbrtrid 3928 1 ((𝑋𝑉𝑌𝑊𝑍𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 945   = wceq 1314  wcel 1463  cun 3035  {csn 3493  {cpr 3494  {ctp 3495  cop 3496   class class class wbr 3895   < clt 7724  cn 8630   Struct cstr 11798
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-tp 3501  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-fz 9684  df-struct 11804
This theorem is referenced by:  rngstrg  11917  lmodstrd  11935  ipsstrd  11943  topgrpstrd  11953
  Copyright terms: Public domain W3C validator