Theorem strle3g 13405

Description: Make a structure from a triple. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strle1.i	⊢ 𝐼 ∈ ℕ
strle1.a	⊢ 𝐴 = 𝐼
strle2.j	⊢ 𝐼 < 𝐽
strle2.k	⊢ 𝐽 ∈ ℕ
strle2.b	⊢ 𝐵 = 𝐽
strle3.k	⊢ 𝐽 < 𝐾
strle3.l	⊢ 𝐾 ∈ ℕ
strle3.c	⊢ 𝐶 = 𝐾

Assertion

Ref	Expression
strle3g	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)

Proof of Theorem strle3g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-tp 3702	. 2 ⊢ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
2		strle1.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 ∈ ℕ
3		strle1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = 𝐼
4		strle2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐼 < 𝐽
5		strle2.k	. . . . 5 ⊢ 𝐽 ∈ ℕ
6		strle2.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = 𝐽
7	2, 3, 4, 5, 6	strle2g 13404	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
8	7	3adant3 1044	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐽⟩)
9		strle3.l	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ ℕ
10		strle3.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = 𝐾
11	9, 10	strle1g 13403	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑃 → {⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐾, 𝐾⟩)
12	11	3ad2ant3 1047	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐾, 𝐾⟩)
13		strle3.k	. . . 4 ⊢ 𝐽 < 𝐾
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → 𝐽 < 𝐾)
15	8, 12, 14	strleund 13400	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)
16	1, 15	eqbrtrid 4149	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑊 ∧ 𝑍 ∈ 𝑃) → {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} Struct ⟨𝐼, 𝐾⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ∪ cun 3212  {csn 3694  {cpr 3695  {ctp 3696  ⟨cop 3697   class class class wbr 4114   < clt 8324  ℕcn 9254   Struct cstr 13292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-addass 8245  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-inn 9255  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-fz 10362  df-struct 13298

This theorem is referenced by:  rngstrg  13432  lmodstrd  13461  ipsstrd  13473  topgrpstrd  13493  imasvalstrd  13562  cnfldstr  14832  psrvalstrd  14942