Theorem cosq34lt1 14731

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 14667	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2		2re 9019	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2, 1	remulcli 8001	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
4	3	rexri 8045	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
5		elico2 9967	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
7	6	simp1bi 1014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8016	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		2cn 9020	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 14668	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 7992	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	subcld 8298	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ)
14		cosneg 11767	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
16	12	mulm1d 8397	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (-1 · (2 · π)) = -(2 · π))
17	16	oveq2d 5912	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 + -(2 · π)))
18	8, 12	negsubd 8304	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + -(2 · π)) = (𝐴 − (2 · π)))
19	17, 18	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 − (2 · π)))
20	19	fveq2d 5538	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
21		neg1z 9315	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
22		cosper 14691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℤ) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘𝐴))
25		0xr 8034	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
26	1	rexri 8045	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ*
27		0re 7987	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 14669	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 1, 28	ltleii 8090	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ π)
31		lbicc2 10014	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ (0[,]π))
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
34	7, 33	resubcld 8368	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 8367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
36	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ)
37	6	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
38	7, 33	posdifd 8519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 < (2 · π) ↔ 0 < ((2 · π) − 𝐴)))
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < ((2 · π) − 𝐴))
40	8, 12	negsubdi2d 8314	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) = ((2 · π) − 𝐴))
41	39, 40	breqtrrd 4046	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < -(𝐴 − (2 · π)))
42	36, 35, 41	ltled 8106	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)))
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ∈ ℝ)
44		ax-1cn 7934	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	9, 44, 10	subdiri 8395	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = ((2 · π) − (1 · π))
46		2m1e1 9067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
47	46	oveq1i 5906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 − 1) · π) = (1 · π)
48	10	mullidi 7990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
49	47, 48	eqtri 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = π
50	48	oveq2i 5907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − (1 · π)) = ((2 · π) − π)
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2219	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) − π) = π
52	6	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ≤ 𝐴)
53	51, 52	eqbrtrid 4053	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − π) ≤ 𝐴)
54	33, 43, 7, 53	subled 8535	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − 𝐴) ≤ π)
55	40, 54	eqbrtrd 4040	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π)
56	27, 1	elicc2i 9969	. . . . 5 ⊢ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π) ↔ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)) ∧ -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π))
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π))
58	32, 57, 41	cosordlem 14730	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < (cos‘0))
59		cos0 11770	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4059	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < 1)
61	24, 60	eqbrtrrd 4042	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4018  ‘cfv 5235  (class class class)co 5896  ℂcc 7839  ℝcr 7840  0cc0 7841  1c1 7842   + caddc 7844   · cmul 7846  ℝ^*cxr 8021   < clt 8022   ≤ cle 8023   − cmin 8158  -cneg 8159  2c2 9000  ℤcz 9283  [,)cico 9920  [,]cicc 9921  cosccos 11685  πcpi 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-mulrcl 7940  ax-addcom 7941  ax-mulcom 7942  ax-addass 7943  ax-mulass 7944  ax-distr 7945  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-1rid 7948  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-precex 7951  ax-cnre 7952  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-ltwlin 7954  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-apti 7956  ax-pre-ltadd 7957  ax-pre-mulgt0 7958  ax-pre-mulext 7959  ax-arch 7960  ax-caucvg 7961  ax-pre-suploc 7962  ax-addf 7963  ax-mulf 7964

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-disj 3996  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-isom 5244  df-riota 5852  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-of 6106  df-1st 6165  df-2nd 6166  df-recs 6330  df-irdg 6395  df-frec 6416  df-1o 6441  df-oadd 6445  df-er 6559  df-map 6676  df-pm 6677  df-en 6767  df-dom 6768  df-fin 6769  df-sup 7013  df-inf 7014  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-xr 8026  df-ltxr 8027  df-le 8028  df-sub 8160  df-neg 8161  df-reap 8562  df-ap 8569  df-div 8660  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-n0 9207  df-z 9284  df-uz 9559  df-q 9650  df-rp 9684  df-xneg 9802  df-xadd 9803  df-ioo 9922  df-ioc 9923  df-ico 9924  df-icc 9925  df-fz 10039  df-fzo 10173  df-seqfrec 10477  df-exp 10551  df-fac 10738  df-bc 10760  df-ihash 10788  df-shft 10856  df-cj 10883  df-re 10884  df-im 10885  df-rsqrt 11039  df-abs 11040  df-clim 11319  df-sumdc 11394  df-ef 11688  df-sin 11690  df-cos 11691  df-pi 11693  df-rest 12746  df-topgen 12765  df-psmet 13856  df-xmet 13857  df-met 13858  df-bl 13859  df-mopn 13860  df-top 13958  df-topon 13971  df-bases 14003  df-ntr 14056  df-cn 14148  df-cnp 14149  df-tx 14213  df-cncf 14518  df-limced 14585  df-dvap 14586

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  14732