ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cosq34lt1 GIF version

Theorem cosq34lt1 14241
Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)
Assertion
Ref Expression
cosq34lt1 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cosq34lt1
StepHypRef Expression
1 pire 14177 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
2 2re 8988 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
32, 1remulcli 7970 . . . . . . . . 9 (2 · π) ∈ ℝ
43rexri 8014 . . . . . . . 8 (2 · π) ∈ ℝ*
5 elico2 9936 . . . . . . . 8 ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴𝐴 < (2 · π))))
61, 4, 5mp2an 426 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴𝐴 < (2 · π)))
76simp1bi 1012 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 7985 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 2cn 8989 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
10 picn 14178 . . . . . . 7 π ∈ ℂ
119, 10mulcli 7961 . . . . . 6 (2 · π) ∈ ℂ
1211a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℂ)
138, 12subcld 8267 . . . 4 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ)
14 cosneg 11734 . . . 4 ((𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
1513, 14syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
1612mulm1d 8366 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (-1 · (2 · π)) = -(2 · π))
1716oveq2d 5890 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 + -(2 · π)))
188, 12negsubd 8273 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + -(2 · π)) = (𝐴 − (2 · π)))
1917, 18eqtrd 2210 . . . 4 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 − (2 · π)))
2019fveq2d 5519 . . 3 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
21 neg1z 9284 . . . 4 -1 ∈ ℤ
22 cosper 14201 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℤ) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
238, 21, 22sylancl 413 . . 3 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
2415, 20, 233eqtr2d 2216 . 2 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘𝐴))
25 0xr 8003 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
261rexri 8014 . . . . 5 π ∈ ℝ*
27 0re 7956 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ
28 pipos 14179 . . . . . . 7 0 < π
2927, 1, 28ltleii 8059 . . . . . 6 0 ≤ π
3029a1i 9 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ π)
31 lbicc2 9983 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
3225, 26, 30, 31mp3an12i 1341 . . . 4 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ (0[,]π))
333a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
347, 33resubcld 8337 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
3534renegcld 8336 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
3627a1i 9 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ)
376simp3bi 1014 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
387, 33posdifd 8488 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 < (2 · π) ↔ 0 < ((2 · π) − 𝐴)))
3937, 38mpbid 147 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < ((2 · π) − 𝐴))
408, 12negsubdi2d 8283 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) = ((2 · π) − 𝐴))
4139, 40breqtrrd 4031 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < -(𝐴 − (2 · π)))
4236, 35, 41ltled 8075 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)))
431a1i 9 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ∈ ℝ)
44 ax-1cn 7903 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
459, 44, 10subdiri 8364 . . . . . . . . 9 ((2 − 1) · π) = ((2 · π) − (1 · π))
46 2m1e1 9036 . . . . . . . . . . 11 (2 − 1) = 1
4746oveq1i 5884 . . . . . . . . . 10 ((2 − 1) · π) = (1 · π)
4810mullidi 7959 . . . . . . . . . 10 (1 · π) = π
4947, 48eqtri 2198 . . . . . . . . 9 ((2 − 1) · π) = π
5048oveq2i 5885 . . . . . . . . 9 ((2 · π) − (1 · π)) = ((2 · π) − π)
5145, 49, 503eqtr3ri 2207 . . . . . . . 8 ((2 · π) − π) = π
526simp2bi 1013 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ≤ 𝐴)
5351, 52eqbrtrid 4038 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − π) ≤ 𝐴)
5433, 43, 7, 53subled 8504 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − 𝐴) ≤ π)
5540, 54eqbrtrd 4025 . . . . 5 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π)
5627, 1elicc2i 9938 . . . . 5 (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π) ↔ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)) ∧ -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π))
5735, 42, 55, 56syl3anbrc 1181 . . . 4 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π))
5832, 57, 41cosordlem 14240 . . 3 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < (cos‘0))
59 cos0 11737 . . 3 (cos‘0) = 1
6058, 59breqtrdi 4044 . 2 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < 1)
6124, 60eqbrtrrd 4027 1 (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   · cmul 7815  *cxr 7990   < clt 7991  cle 7992  cmin 8127  -cneg 8128  2c2 8969  cz 9252  [,)cico 9889  [,]cicc 9890  cosccos 11652  πcpi 11654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-5 8980  df-6 8981  df-7 8982  df-8 8983  df-9 8984  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-ioo 9891  df-ioc 9892  df-ico 9893  df-icc 9894  df-fz 10008  df-fzo 10142  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-fac 10705  df-bc 10727  df-ihash 10755  df-shft 10823  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-clim 11286  df-sumdc 11361  df-ef 11655  df-sin 11657  df-cos 11658  df-pi 11660  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13417  df-xmet 13418  df-met 13419  df-bl 13420  df-mopn 13421  df-top 13468  df-topon 13481  df-bases 13513  df-ntr 13566  df-cn 13658  df-cnp 13659  df-tx 13723  df-cncf 14028  df-limced 14095  df-dvap 14096
This theorem is referenced by:  cos02pilt1  14242
  Copyright terms: Public domain W3C validator