Theorem cosq34lt1 15240

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15176	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2		2re 9088	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2, 1	remulcli 8068	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
4	3	rexri 8112	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
5		elico2 10041	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
7	6	simp1bi 1014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8083	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		2cn 9089	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 15177	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 8059	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	subcld 8365	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ)
14		cosneg 11957	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
16	12	mulm1d 8464	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (-1 · (2 · π)) = -(2 · π))
17	16	oveq2d 5950	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 + -(2 · π)))
18	8, 12	negsubd 8371	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + -(2 · π)) = (𝐴 − (2 · π)))
19	17, 18	eqtrd 2237	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 − (2 · π)))
20	19	fveq2d 5574	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
21		neg1z 9386	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
22		cosper 15200	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℤ) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘𝐴))
25		0xr 8101	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
26	1	rexri 8112	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ*
27		0re 8054	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 15178	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 1, 28	ltleii 8157	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ π)
31		lbicc2 10088	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1353	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ (0[,]π))
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
34	7, 33	resubcld 8435	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 8434	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
36	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ)
37	6	simp3bi 1016	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
38	7, 33	posdifd 8587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 < (2 · π) ↔ 0 < ((2 · π) − 𝐴)))
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < ((2 · π) − 𝐴))
40	8, 12	negsubdi2d 8381	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) = ((2 · π) − 𝐴))
41	39, 40	breqtrrd 4071	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < -(𝐴 − (2 · π)))
42	36, 35, 41	ltled 8173	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)))
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ∈ ℝ)
44		ax-1cn 8000	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	9, 44, 10	subdiri 8462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = ((2 · π) − (1 · π))
46		2m1e1 9136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
47	46	oveq1i 5944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 − 1) · π) = (1 · π)
48	10	mullidi 8057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
49	47, 48	eqtri 2225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = π
50	48	oveq2i 5945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − (1 · π)) = ((2 · π) − π)
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2234	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) − π) = π
52	6	simp2bi 1015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ≤ 𝐴)
53	51, 52	eqbrtrid 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − π) ≤ 𝐴)
54	33, 43, 7, 53	subled 8603	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − 𝐴) ≤ π)
55	40, 54	eqbrtrd 4065	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π)
56	27, 1	elicc2i 10043	. . . . 5 ⊢ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π) ↔ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)) ∧ -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π))
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1183	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π))
58	32, 57, 41	cosordlem 15239	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < (cos‘0))
59		cos0 11960	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4084	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < 1)
61	24, 60	eqbrtrrd 4067	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  ℂcc 7905  ℝcr 7906  0cc0 7907  1c1 7908   + caddc 7910   · cmul 7912  ℝ^*cxr 8088   < clt 8089   ≤ cle 8090   − cmin 8225  -cneg 8226  2c2 9069  ℤcz 9354  [,)cico 9994  [,]cicc 9995  cosccos 11875  πcpi 11877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027  ax-pre-suploc 8028  ax-addf 8029  ax-mulf 8030

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-disj 4021  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-of 6148  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-frec 6467  df-1o 6492  df-oadd 6496  df-er 6610  df-map 6727  df-pm 6728  df-en 6818  df-dom 6819  df-fin 6820  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-9 9084  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-xneg 9876  df-xadd 9877  df-ioo 9996  df-ioc 9997  df-ico 9998  df-icc 9999  df-fz 10113  df-fzo 10247  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-fac 10852  df-bc 10874  df-ihash 10902  df-shft 11045  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-clim 11509  df-sumdc 11584  df-ef 11878  df-sin 11880  df-cos 11881  df-pi 11883  df-rest 12991  df-topgen 13010  df-psmet 14223  df-xmet 14224  df-met 14225  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-top 14388  df-topon 14401  df-bases 14433  df-ntr 14486  df-cn 14578  df-cnp 14579  df-tx 14643  df-cncf 14961  df-limced 15046  df-dvap 15047

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  15241