Theorem cosq34lt1 16001

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15937	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2		2re 9376	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2, 1	remulcli 8340	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
4	3	rexri 8383	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
5		elico2 10349	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
6	1, 4, 5	mp2an 430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
7	6	simp1bi 1043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		2cn 9377	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 15938	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 8331	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	subcld 8638	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ)
14		cosneg 12510	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
16	12	mulm1d 8738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (-1 · (2 · π)) = -(2 · π))
17	16	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 + -(2 · π)))
18	8, 12	negsubd 8644	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + -(2 · π)) = (𝐴 − (2 · π)))
19	17, 18	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 − (2 · π)))
20	19	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
21		neg1z 9680	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
22		cosper 15961	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℤ) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
23	8, 21, 22	sylancl 417	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2277	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘𝐴))
25		0xr 8372	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
26	1	rexri 8383	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ*
27		0re 8326	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 15939	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 1, 28	ltleii 8429	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ π)
31		lbicc2 10396	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1382	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ (0[,]π))
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
34	7, 33	resubcld 8709	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 8708	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
36	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ)
37	6	simp3bi 1045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
38	7, 33	posdifd 8861	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 < (2 · π) ↔ 0 < ((2 · π) − 𝐴)))
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < ((2 · π) − 𝐴))
40	8, 12	negsubdi2d 8654	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) = ((2 · π) − 𝐴))
41	39, 40	breqtrrd 4158	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < -(𝐴 − (2 · π)))
42	36, 35, 41	ltled 8446	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)))
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ∈ ℝ)
44		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	9, 44, 10	subdiri 8736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = ((2 · π) − (1 · π))
46		2m1e1 9424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
47	46	oveq1i 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 − 1) · π) = (1 · π)
48	10	mullidi 8329	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
49	47, 48	eqtri 2259	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = π
50	48	oveq2i 6096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − (1 · π)) = ((2 · π) − π)
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2268	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) − π) = π
52	6	simp2bi 1044	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ≤ 𝐴)
53	51, 52	eqbrtrid 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − π) ≤ 𝐴)
54	33, 43, 7, 53	subled 8877	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − 𝐴) ≤ π)
55	40, 54	eqbrtrd 4152	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π)
56	27, 1	elicc2i 10351	. . . . 5 ⊢ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π) ↔ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)) ∧ -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π))
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π))
58	32, 57, 41	cosordlem 16000	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < (cos‘0))
59		cos0 12513	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4171	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < 1)
61	24, 60	eqbrtrrd 4154	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℝ^*cxr 8359   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8498  -cneg 8499  2c2 9357  ℤcz 9648  [,)cico 10302  [,]cicc 10303  cosccos 12428  πcpi 12430

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299  ax-pre-suploc 8300  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-disj 4107  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-frec 6662  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6807  df-map 6924  df-pm 6925  df-en 7023  df-dom 7024  df-fin 7025  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8500  df-neg 8501  df-reap 8905  df-ap 8912  df-div 9005  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-9 9372  df-n0 9568  df-z 9649  df-uz 9931  df-q 10029  df-rp 10065  df-xneg 10184  df-xadd 10185  df-ioo 10304  df-ioc 10305  df-ico 10306  df-icc 10307  df-fz 10422  df-fzo 10560  df-seqfrec 10898  df-exp 10989  df-fac 11178  df-bc 11200  df-ihash 11229  df-shft 11594  df-cj 11621  df-re 11622  df-im 11623  df-rsqrt 11778  df-abs 11779  df-clim 12061  df-sumdc 12136  df-ef 12431  df-sin 12433  df-cos 12434  df-pi 12436  df-rest 13644  df-topgen 13663  df-psmet 14929  df-xmet 14930  df-met 14931  df-bl 14932  df-mopn 14933  df-top 15148  df-topon 15161  df-bases 15193  df-ntr 15246  df-cn 15338  df-cnp 15339  df-tx 15403  df-cncf 15721  df-limced 15806  df-dvap 15807

This theorem is used by:  cos02pilt1  16002