Theorem cosq34lt1 15580

Description: Cosine is less than one in the third and fourth quadrants. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Mar-2024.)

Assertion

Ref	Expression
cosq34lt1	⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Proof of Theorem cosq34lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pire 15516	. . . . . . . 8 ⊢ π ∈ ℝ
2		2re 9213	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
3	2, 1	remulcli 8193	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
4	3	rexri 8237	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ*
5		elico2 10172	. . . . . . . 8 ⊢ ((π ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π))))
6	1, 4, 5	mp2an 426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ π ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (2 · π)))
7	6	simp1bi 1038	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 8208	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		2cn 9214	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
10		picn 15517	. . . . . . 7 ⊢ π ∈ ℂ
11	9, 10	mulcli 8184	. . . . . 6 ⊢ (2 · π) ∈ ℂ
12	11	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℂ)
13	8, 12	subcld 8490	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ)
14		cosneg 12293	. . . 4 ⊢ ((𝐴 − (2 · π)) ∈ ℂ → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
15	13, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
16	12	mulm1d 8589	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (-1 · (2 · π)) = -(2 · π))
17	16	oveq2d 6034	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 + -(2 · π)))
18	8, 12	negsubd 8496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + -(2 · π)) = (𝐴 − (2 · π)))
19	17, 18	eqtrd 2264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 + (-1 · (2 · π))) = (𝐴 − (2 · π)))
20	19	fveq2d 5643	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘(𝐴 − (2 · π))))
21		neg1z 9511	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℤ
22		cosper 15540	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℤ) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
23	8, 21, 22	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘(𝐴 + (-1 · (2 · π)))) = (cos‘𝐴))
24	15, 20, 23	3eqtr2d 2270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) = (cos‘𝐴))
25		0xr 8226	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ*
26	1	rexri 8237	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ*
27		0re 8179	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		pipos 15518	. . . . . . 7 ⊢ 0 < π
29	27, 1, 28	ltleii 8282	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ π
30	29	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ π)
31		lbicc2 10219	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ π) → 0 ∈ (0[,]π))
32	25, 26, 30, 31	mp3an12i 1377	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ (0[,]π))
33	3	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (2 · π) ∈ ℝ)
34	7, 33	resubcld 8560	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
35	34	renegcld 8559	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ)
36	27	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ∈ ℝ)
37	6	simp3bi 1040	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 𝐴 < (2 · π))
38	7, 33	posdifd 8712	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (𝐴 < (2 · π) ↔ 0 < ((2 · π) − 𝐴)))
39	37, 38	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < ((2 · π) − 𝐴))
40	8, 12	negsubdi2d 8506	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) = ((2 · π) − 𝐴))
41	39, 40	breqtrrd 4116	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 < -(𝐴 − (2 · π)))
42	36, 35, 41	ltled 8298	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)))
43	1	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ∈ ℝ)
44		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
45	9, 44, 10	subdiri 8587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = ((2 · π) − (1 · π))
46		2m1e1 9261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 − 1) = 1
47	46	oveq1i 6028	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 − 1) · π) = (1 · π)
48	10	mullidi 8182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · π) = π
49	47, 48	eqtri 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 − 1) · π) = π
50	48	oveq2i 6029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · π) − (1 · π)) = ((2 · π) − π)
51	45, 49, 50	3eqtr3ri 2261	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · π) − π) = π
52	6	simp2bi 1039	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → π ≤ 𝐴)
53	51, 52	eqbrtrid 4123	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − π) ≤ 𝐴)
54	33, 43, 7, 53	subled 8728	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → ((2 · π) − 𝐴) ≤ π)
55	40, 54	eqbrtrd 4110	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π)
56	27, 1	elicc2i 10174	. . . . 5 ⊢ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π) ↔ (-(𝐴 − (2 · π)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐴 − (2 · π)) ∧ -(𝐴 − (2 · π)) ≤ π))
57	35, 42, 55, 56	syl3anbrc 1207	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → -(𝐴 − (2 · π)) ∈ (0[,]π))
58	32, 57, 41	cosordlem 15579	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < (cos‘0))
59		cos0 12296	. . 3 ⊢ (cos‘0) = 1
60	58, 59	breqtrdi 4129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘-(𝐴 − (2 · π))) < 1)
61	24, 60	eqbrtrrd 4112	1 ⊢ (𝐴 ∈ (π[,)(2 · π)) → (cos‘𝐴) < 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  ℂcc 8030  ℝcr 8031  0cc0 8032  1c1 8033   + caddc 8035   · cmul 8037  ℝ^*cxr 8213   < clt 8214   ≤ cle 8215   − cmin 8350  -cneg 8351  2c2 9194  ℤcz 9479  [,)cico 10125  [,]cicc 10126  cosccos 12211  πcpi 12213

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-mulrcl 8131  ax-addcom 8132  ax-mulcom 8133  ax-addass 8134  ax-mulass 8135  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-1rid 8139  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-precex 8142  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148  ax-pre-mulgt0 8149  ax-pre-mulext 8150  ax-arch 8151  ax-caucvg 8152  ax-pre-suploc 8153  ax-addf 8154  ax-mulf 8155

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-disj 4065  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-isom 5335  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-of 6235  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-frec 6557  df-1o 6582  df-oadd 6586  df-er 6702  df-map 6819  df-pm 6820  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-sup 7183  df-inf 7184  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-reap 8755  df-ap 8762  df-div 8853  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-9 9209  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-q 9854  df-rp 9889  df-xneg 10007  df-xadd 10008  df-ioo 10127  df-ioc 10128  df-ico 10129  df-icc 10130  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-seqfrec 10711  df-exp 10802  df-fac 10989  df-bc 11011  df-ihash 11039  df-shft 11380  df-cj 11407  df-re 11408  df-im 11409  df-rsqrt 11563  df-abs 11564  df-clim 11844  df-sumdc 11919  df-ef 12214  df-sin 12216  df-cos 12217  df-pi 12219  df-rest 13329  df-topgen 13348  df-psmet 14563  df-xmet 14564  df-met 14565  df-bl 14566  df-mopn 14567  df-top 14728  df-topon 14741  df-bases 14773  df-ntr 14826  df-cn 14918  df-cnp 14919  df-tx 14983  df-cncf 15301  df-limced 15386  df-dvap 15387

This theorem is referenced by:  cos02pilt1  15581