ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sqnprm GIF version

Theorem sqnprm 11850
Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sqnprm (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm
StepHypRef Expression
1 zre 9081 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 absresq 10881 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
52recnd 7817 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
65abscld 10984 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
76recnd 7817 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
87sqvald 10451 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
94, 8eqtr3d 2175 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10 simpr 109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
119, 10eqeltrrd 2218 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12 nn0abscl 10888 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
1312adantr 274 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
1413nn0zd 9194 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15 sq1 10416 . . . . . 6 (1↑2) = 1
16 prmuz2 11845 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2))
1716adantl 275 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2))
18 eluz2b1 9421 . . . . . . . . 9 ((𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑2)))
1918simprbi 273 . . . . . . . 8 ((𝐴↑2) ∈ (ℤ‘2) → 1 < (𝐴↑2))
2017, 19syl 14 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
2120, 4breqtrrd 3963 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
2215, 21eqbrtrid 3970 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
235absge0d 10987 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
24 1re 7788 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
25 0le1 8266 . . . . . . 7 0 ≤ 1
26 lt2sq 10396 . . . . . . 7 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
2724, 25, 26mpanl12 433 . . . . . 6 (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
286, 23, 27syl2anc 409 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
2922, 28mpbird 166 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
30 eluz2b1 9421 . . . 4 ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
3114, 29, 30sylanbrc 414 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2))
32 nprm 11838 . . 3 (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
3331, 31, 32syl2anc 409 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
3411, 33pm2.65da 651 1 (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481   class class class wbr 3936  cfv 5130  (class class class)co 5781  cr 7642  0cc0 7643  1c1 7644   · cmul 7648   < clt 7823  cle 7824  2c2 8794  0cn0 9000  cz 9077  cuz 9349  cexp 10322  abscabs 10800  cprime 11822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-1o 6320  df-2o 6321  df-er 6436  df-en 6642  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-dvds 11528  df-prm 11823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator