Theorem sqnprm 12179

Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqnprm	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9292	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		absresq 11128	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
5	2	recnd 8021	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	abscld 11231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 8021	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqvald 10691	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
9	4, 8	eqtr3d 2224	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
11	9, 10	eqeltrrd 2267	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12		nn0abscl 11135	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9408	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15		sq1 10654	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
16		prmuz2 12174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
17	16	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
18		eluz2b1 9637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑2)))
19	18	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	17, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
21	20, 4	breqtrrd 4049	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
22	15, 21	eqbrtrid 4056	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
23	5	absge0d 11234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
24		1re 7991	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		0le1 8473	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
26		lt2sq 10634	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
27	24, 25, 26	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
28	6, 23, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
29	22, 28	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
30		eluz2b1 9637	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
31	14, 29, 30	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
32		nprm 12166	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
33	31, 31, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
34	11, 33	pm2.65da 662	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  ℝcr 7845  0cc0 7846  1c1 7847   · cmul 7851   < clt 8027   ≤ cle 8028  2c2 9005  ℕ₀cn0 9211  ℤcz 9288  ℤ_≥cuz 9563  ↑cexp 10559  abscabs 11047  ℙcprime 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4136  ax-sep 4139  ax-nul 4147  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-iinf 4608  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965  ax-caucvg 7966

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-tr 4120  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-iord 4387  df-on 4389  df-ilim 4390  df-suc 4392  df-iom 4611  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-f1 5243  df-fo 5244  df-f1o 5245  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-recs 6334  df-frec 6420  df-1o 6445  df-2o 6446  df-er 6563  df-en 6771  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-2 9013  df-3 9014  df-4 9015  df-n0 9212  df-z 9289  df-uz 9564  df-q 9656  df-rp 9690  df-seqfrec 10485  df-exp 10560  df-cj 10892  df-re 10893  df-im 10894  df-rsqrt 11048  df-abs 11049  df-dvds 11836  df-prm 12151

This theorem is referenced by: (None)