Theorem sqnprm 12138

Description: A square is never prime. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sqnprm	⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Proof of Theorem sqnprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 9259	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		absresq 11089	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = (𝐴↑2))
5	2	recnd 7988	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 𝐴 ∈ ℂ)
6	5	abscld 11192	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
7	6	recnd 7988	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
8	7	sqvald 10653	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
9	4, 8	eqtr3d 2212	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) = ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)))
10		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ ℙ)
11	9, 10	eqeltrrd 2255	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
12		nn0abscl 11096	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
13	12	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℕ0)
14	13	nn0zd 9375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ ℤ)
15		sq1 10616	. . . . . 6 ⊢ (1↑2) = 1
16		prmuz2 12133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ ℙ → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
17	16	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2))
18		eluz2b1 9603	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 1 < (𝐴↑2)))
19	18	simprbi 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴↑2) ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < (𝐴↑2))
20	17, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (𝐴↑2))
21	20, 4	breqtrrd 4033	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < ((abs‘𝐴)↑2))
22	15, 21	eqbrtrid 4040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2))
23	5	absge0d 11195	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 0 ≤ (abs‘𝐴))
24		1re 7958	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
25		0le1 8440	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 1
26		lt2sq 10596	. . . . . . 7 ⊢ (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴))) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
27	24, 25, 26	mpanl12 436	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴)) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
28	6, 23, 27	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (1 < (abs‘𝐴) ↔ (1↑2) < ((abs‘𝐴)↑2)))
29	22, 28	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → 1 < (abs‘𝐴))
30		eluz2b1 9603	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 < (abs‘𝐴)))
31	14, 29, 30	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2))
32		nprm 12125	. . 3 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (abs‘𝐴) ∈ (ℤ≥‘2)) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
33	31, 31, 32	syl2anc 411	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℙ) → ¬ ((abs‘𝐴) · (abs‘𝐴)) ∈ ℙ)
34	11, 33	pm2.65da 661	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ¬ (𝐴↑2) ∈ ℙ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   · cmul 7818   < clt 7994   ≤ cle 7995  2c2 8972  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  ℤ_≥cuz 9530  ↑cexp 10521  abscabs 11008  ℙcprime 12109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-dvds 11797  df-prm 12110

This theorem is referenced by: (None)