Theorem srngstrd 13290

Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngstrd	⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Proof of Theorem srngstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
2		srngstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		srngstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		srngstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
6	5	rngstrg 13279	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1274	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		srngstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
9		4nn 9350	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
10		starvndx 13283	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
11	9, 10	strle1g 13250	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ 𝑌 → {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
13		3lt4 9359	. . . 4 ⊢ 3 < 4
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 4)
15	7, 12, 14	strleund 13247	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
16	1, 15	eqbrtrid 4128	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3199  {csn 3673  {ctp 3675  ⟨cop 3676   class class class wbr 4093  ‘cfv 5333  1c1 8076   < clt 8257  3c3 9238  4c4 9239   Struct cstr 13139  ndxcnx 13140  Basecbs 13143  +_gcplusg 13221  ._rcmulr 13222  *_𝑟cstv 13223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-tp 3681  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-struct 13145  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-base 13149  df-plusg 13234  df-mulr 13235  df-starv 13236

This theorem is referenced by:  srngbased  13291  srngplusgd  13292  srngmulrd  13293  srnginvld  13294  cnfldstr  14634