Theorem srngstrd 12540

Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngstrd	⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Proof of Theorem srngstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
2		srngstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		srngstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		srngstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
5		eqid 2170	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
6	5	rngstrg 12533	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1233	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		srngstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
9		4nn 9041	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
10		starvndx 12537	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
11	9, 10	strle1g 12508	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ 𝑌 → {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
13		3lt4 9050	. . . 4 ⊢ 3 < 4
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 4)
15	7, 12, 14	strleund 12506	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
16	1, 15	eqbrtrid 4024	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ∪ cun 3119  {csn 3583  {ctp 3585  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  ‘cfv 5198  1c1 7775   < clt 7954  3c3 8930  4c4 8931   Struct cstr 12412  ndxcnx 12413  Basecbs 12416  +_gcplusg 12480  ._rcmulr 12481  *_𝑟cstv 12482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-struct 12418  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-mulr 12494  df-starv 12495

This theorem is referenced by:  srngbased  12541  srngplusgd  12542  srngmulrd  12543  srnginvld  12544