Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srngstrd GIF version

Theorem srngstrd 12118
 Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
srngstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
srngstrd.p (𝜑+𝑊)
srngstrd.m (𝜑·𝑋)
srngstrd.s (𝜑𝑌)
Assertion
Ref Expression
srngstrd (𝜑𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Proof of Theorem srngstrd
StepHypRef Expression
1 srngstr.r . 2 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
2 srngstrd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
3 srngstrd.p . . . 4 (𝜑+𝑊)
4 srngstrd.m . . . 4 (𝜑·𝑋)
5 eqid 2140 . . . . 5 {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
65rngstrg 12111 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
72, 3, 4, 6syl3anc 1217 . . 3 (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8 srngstrd.s . . . 4 (𝜑𝑌)
9 4nn 8906 . . . . 5 4 ∈ ℕ
10 starvndx 12115 . . . . 5 (*𝑟‘ndx) = 4
119, 10strle1g 12086 . . . 4 ( 𝑌 → {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
128, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
13 3lt4 8915 . . . 4 3 < 4
1413a1i 9 . . 3 (𝜑 → 3 < 4)
157, 12, 14strleund 12084 . 2 (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
161, 15eqbrtrid 3970 1 (𝜑𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ∪ cun 3073  {csn 3531  {ctp 3533  ⟨cop 3534   class class class wbr 3936  ‘cfv 5130  1c1 7644   < clt 7823  3c3 8795  4c4 8796   Struct cstr 11992  ndxcnx 11993  Basecbs 11996  +gcplusg 12058  .rcmulr 12059  *𝑟cstv 12060 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-addcom 7743  ax-addass 7745  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-tp 3539  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-fz 9821  df-struct 11998  df-ndx 11999  df-slot 12000  df-base 12002  df-plusg 12071  df-mulr 12072  df-starv 12073 This theorem is referenced by:  srngbased  12119  srngplusgd  12120  srngmulrd  12121  srnginvld  12122
 Copyright terms: Public domain W3C validator