Theorem srngstrd 13234

Description: A constructed star ring is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Nov-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngstr.r	⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
srngstrd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
srngstrd.p	⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
srngstrd.m	⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
srngstrd.s	⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
srngstrd	⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Proof of Theorem srngstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srngstr.r	. 2 ⊢ 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩})
2		srngstrd.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
3		srngstrd.p	. . . 4 ⊢ (𝜑 → + ∈ 𝑊)
4		srngstrd.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → · ∈ 𝑋)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
6	5	rngstrg 13223	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ + ∈ 𝑊 ∧ · ∈ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
7	2, 3, 4, 6	syl3anc 1273	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} Struct ⟨1, 3⟩)
8		srngstrd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∗ ∈ 𝑌)
9		4nn 9307	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
10		starvndx 13227	. . . . 5 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
11	9, 10	strle1g 13194	. . . 4 ⊢ ( ∗ ∈ 𝑌 → {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
12	8, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩} Struct ⟨4, 4⟩)
13		3lt4 9316	. . . 4 ⊢ 3 < 4
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 3 < 4)
15	7, 12, 14	strleund 13191	. 2 ⊢ (𝜑 → ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗ ⟩}) Struct ⟨1, 4⟩)
16	1, 15	eqbrtrid 4123	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ∪ cun 3198  {csn 3669  {ctp 3671  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  ‘cfv 5326  1c1 8033   < clt 8214  3c3 9195  4c4 9196   Struct cstr 13083  ndxcnx 13084  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  ._rcmulr 13166  *_𝑟cstv 13167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-struct 13089  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-starv 13180

This theorem is referenced by:  srngbased  13235  srngplusgd  13236  srngmulrd  13237  srnginvld  13238  cnfldstr  14578