ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intqfrac2 GIF version

Theorem intqfrac2 10047
Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
intqfrac2.1 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2 𝐹 = (𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
intqfrac2 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2
StepHypRef Expression
1 qfracge0 10009 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2 intqfrac2.2 . . . 4 𝐹 = (𝐴𝑍)
3 intqfrac2.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘𝐴)
43oveq2i 5753 . . . 4 (𝐴𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
52, 4eqtri 2138 . . 3 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
61, 5breqtrrdi 3940 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7 qfraclt1 10008 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
85, 7eqbrtrid 3933 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
92oveq2i 5753 . . 3 (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴𝑍))
10 flqcl 10001 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
113, 10eqeltrid 2204 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
1211zcnd 9132 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13 qcn 9382 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
1412, 13pncan3d 8044 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴𝑍)) = 𝐴)
159, 14syl5req 2163 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
166, 8, 153jca 1146 1 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 947   = wceq 1316  wcel 1465   class class class wbr 3899  cfv 5093  (class class class)co 5742  0cc0 7588  1c1 7589   + caddc 7591   < clt 7768  cle 7769  cmin 7901  cz 9012  cq 9367  cfl 9996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-mulrcl 7687  ax-addcom 7688  ax-mulcom 7689  ax-addass 7690  ax-mulass 7691  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-1rid 7695  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-precex 7698  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-apti 7703  ax-pre-ltadd 7704  ax-pre-mulgt0 7705  ax-pre-mulext 7706  ax-arch 7707
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rmo 2401  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-id 4185  df-po 4188  df-iso 4189  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-1st 6006  df-2nd 6007  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-reap 8304  df-ap 8311  df-div 8400  df-inn 8685  df-n0 8936  df-z 9013  df-q 9368  df-rp 9398  df-fl 9998
This theorem is referenced by:  intfracq  10048  flqdiv  10049
  Copyright terms: Public domain W3C validator