Theorem intqfrac2 10123

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
intqfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intqfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qfracge0 10085	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intqfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intqfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 5793	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2161	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 3978	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7		qfraclt1 10084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 3971	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 5793	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flqcl 10077	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2227	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9198	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		qcn 9453	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 8100	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	syl5req 2186	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1162	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   ≤ cle 7825   − cmin 7957  ℤcz 9078  ℚcq 9438  ⌊cfl 10072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-q 9439  df-rp 9471  df-fl 10074

This theorem is referenced by:  intfracq  10124  flqdiv  10125