Theorem intqfrac2 10356

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
intqfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intqfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qfracge0 10318	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intqfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intqfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 5911	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2210	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 4063	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7		qfraclt1 10317	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 4056	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 5911	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flqcl 10310	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2276	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		qcn 9670	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 8306	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	eqtr2id 2235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1179	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   class class class wbr 4021  ‘cfv 5238  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   < clt 8027   ≤ cle 8028   − cmin 8163  ℤcz 9288  ℚcq 9655  ⌊cfl 10305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-q 9656  df-rp 9690  df-fl 10307

This theorem is referenced by:  intfracq  10357  flqdiv  10358