Theorem intqfrac2 10536

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
intqfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intqfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qfracge0 10496	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intqfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intqfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 6011	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2250	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 4124	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7		qfraclt1 10495	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 4117	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 6011	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flqcl 10488	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2316	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9566	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		qcn 9825	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 8456	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	eqtr2id 2275	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1201	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4082  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   < clt 8177   ≤ cle 8178   − cmin 8313  ℤcz 9442  ℚcq 9810  ⌊cfl 10483

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443  df-q 9811  df-rp 9846  df-fl 10485

This theorem is referenced by:  intfracq  10537  flqdiv  10538