ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intqfrac2 GIF version

Theorem intqfrac2 9875
Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
intqfrac2.1 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2 𝐹 = (𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
intqfrac2 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2
StepHypRef Expression
1 qfracge0 9837 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2 intqfrac2.2 . . . 4 𝐹 = (𝐴𝑍)
3 intqfrac2.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘𝐴)
43oveq2i 5701 . . . 4 (𝐴𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
52, 4eqtri 2115 . . 3 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
61, 5syl6breqr 3907 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7 qfraclt1 9836 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
85, 7syl5eqbr 3900 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
92oveq2i 5701 . . 3 (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴𝑍))
10 flqcl 9829 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
113, 10syl5eqel 2181 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
1211zcnd 8968 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13 qcn 9218 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
1412, 13pncan3d 7893 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴𝑍)) = 𝐴)
159, 14syl5req 2140 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
166, 8, 153jca 1126 1 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 927   = wceq 1296  wcel 1445   class class class wbr 3867  cfv 5049  (class class class)co 5690  0cc0 7447  1c1 7448   + caddc 7450   < clt 7619  cle 7620  cmin 7750  cz 8848  cq 9203  cfl 9824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1cn 7535  ax-1re 7536  ax-icn 7537  ax-addcl 7538  ax-addrcl 7539  ax-mulcl 7540  ax-mulrcl 7541  ax-addcom 7542  ax-mulcom 7543  ax-addass 7544  ax-mulass 7545  ax-distr 7546  ax-i2m1 7547  ax-0lt1 7548  ax-1rid 7549  ax-0id 7550  ax-rnegex 7551  ax-precex 7552  ax-cnre 7553  ax-pre-ltirr 7554  ax-pre-ltwlin 7555  ax-pre-lttrn 7556  ax-pre-apti 7557  ax-pre-ltadd 7558  ax-pre-mulgt0 7559  ax-pre-mulext 7560  ax-arch 7561
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 928  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-reu 2377  df-rmo 2378  df-rab 2379  df-v 2635  df-sbc 2855  df-csb 2948  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-iun 3754  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-po 4147  df-iso 4148  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-f 5053  df-fv 5057  df-riota 5646  df-ov 5693  df-oprab 5694  df-mpt2 5695  df-1st 5949  df-2nd 5950  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-xr 7623  df-ltxr 7624  df-le 7625  df-sub 7752  df-neg 7753  df-reap 8149  df-ap 8156  df-div 8237  df-inn 8521  df-n0 8772  df-z 8849  df-q 9204  df-rp 9234  df-fl 9826
This theorem is referenced by:  intfracq  9876  flqdiv  9877
  Copyright terms: Public domain W3C validator