Theorem intqfrac2 10250

Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
intqfrac2.1	⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2	⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
intqfrac2	⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qfracge0 10212	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2		intqfrac2.2	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − 𝑍)
3		intqfrac2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (⌊‘𝐴)
4	3	oveq2i 5852	. . . 4 ⊢ (𝐴 − 𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
5	2, 4	eqtri 2186	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
6	1, 5	breqtrrdi 4023	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7		qfraclt1 10211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
8	5, 7	eqbrtrid 4016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
9	2	oveq2i 5852	. . 3 ⊢ (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴 − 𝑍))
10		flqcl 10204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
11	3, 10	eqeltrid 2252	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
12	11	zcnd 9310	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13		qcn 9568	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
14	12, 13	pncan3d 8208	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴 − 𝑍)) = 𝐴)
15	9, 14	eqtr2id 2211	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
16	6, 8, 15	3jca 1167	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹 ∧ 𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3981  ‘cfv 5187  (class class class)co 5841  0cc0 7749  1c1 7750   + caddc 7752   < clt 7929   ≤ cle 7930   − cmin 8065  ℤcz 9187  ℚcq 9553  ⌊cfl 10199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4099  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867  ax-arch 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-q 9554  df-rp 9586  df-fl 10201

This theorem is referenced by:  intfracq  10251  flqdiv  10252