ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  intqfrac2 GIF version

Theorem intqfrac2 10356
Description: Decompose a real into integer and fractional parts. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
intqfrac2.1 𝑍 = (⌊‘𝐴)
intqfrac2.2 𝐹 = (𝐴𝑍)
Assertion
Ref Expression
intqfrac2 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))

Proof of Theorem intqfrac2
StepHypRef Expression
1 qfracge0 10318 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
2 intqfrac2.2 . . . 4 𝐹 = (𝐴𝑍)
3 intqfrac2.1 . . . . 5 𝑍 = (⌊‘𝐴)
43oveq2i 5911 . . . 4 (𝐴𝑍) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
52, 4eqtri 2210 . . 3 𝐹 = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
61, 5breqtrrdi 4063 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ 𝐹)
7 qfraclt1 10317 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
85, 7eqbrtrid 4056 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐹 < 1)
92oveq2i 5911 . . 3 (𝑍 + 𝐹) = (𝑍 + (𝐴𝑍))
10 flqcl 10310 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
113, 10eqeltrid 2276 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℤ)
1211zcnd 9411 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝑍 ∈ ℂ)
13 qcn 9670 . . . 4 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
1412, 13pncan3d 8306 . . 3 (𝐴 ∈ ℚ → (𝑍 + (𝐴𝑍)) = 𝐴)
159, 14eqtr2id 2235 . 2 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = (𝑍 + 𝐹))
166, 8, 153jca 1179 1 (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ 𝐹𝐹 < 1 ∧ 𝐴 = (𝑍 + 𝐹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160   class class class wbr 4021  cfv 5238  (class class class)co 5900  0cc0 7846  1c1 7847   + caddc 7849   < clt 8027  cle 8028  cmin 8163  cz 9288  cq 9655  cfl 10305
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4139  ax-pow 4195  ax-pr 4230  ax-un 4454  ax-setind 4557  ax-cnex 7937  ax-resscn 7938  ax-1cn 7939  ax-1re 7940  ax-icn 7941  ax-addcl 7942  ax-addrcl 7943  ax-mulcl 7944  ax-mulrcl 7945  ax-addcom 7946  ax-mulcom 7947  ax-addass 7948  ax-mulass 7949  ax-distr 7950  ax-i2m1 7951  ax-0lt1 7952  ax-1rid 7953  ax-0id 7954  ax-rnegex 7955  ax-precex 7956  ax-cnre 7957  ax-pre-ltirr 7958  ax-pre-ltwlin 7959  ax-pre-lttrn 7960  ax-pre-apti 7961  ax-pre-ltadd 7962  ax-pre-mulgt0 7963  ax-pre-mulext 7964  ax-arch 7965
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3595  df-sn 3616  df-pr 3617  df-op 3619  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3906  df-br 4022  df-opab 4083  df-mpt 4084  df-id 4314  df-po 4317  df-iso 4318  df-xp 4653  df-rel 4654  df-cnv 4655  df-co 4656  df-dm 4657  df-rn 4658  df-res 4659  df-ima 4660  df-iota 5199  df-fun 5240  df-fn 5241  df-f 5242  df-fv 5246  df-riota 5855  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpo 5905  df-1st 6169  df-2nd 6170  df-pnf 8029  df-mnf 8030  df-xr 8031  df-ltxr 8032  df-le 8033  df-sub 8165  df-neg 8166  df-reap 8567  df-ap 8574  df-div 8665  df-inn 8955  df-n0 9212  df-z 9289  df-q 9656  df-rp 9690  df-fl 10307
This theorem is referenced by:  intfracq  10357  flqdiv  10358
  Copyright terms: Public domain W3C validator