ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1olem GIF version

Theorem reeff1olem 14085
Description: Lemma for reeff1o 14087. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
reeff1olem ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
Distinct variable group:   𝑥,𝑈

Proof of Theorem reeff1olem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 9957 . . 3 (0(,)𝑈) ⊆ (0[,]𝑈)
2 0re 7956 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 iccssre 9953 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
42, 3mpan 424 . . . 4 (𝑈 ∈ ℝ → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
54adantr 276 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
61, 5sstrid 3166 . 2 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (0(,)𝑈) ⊆ ℝ)
72a1i 9 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 0 ∈ ℝ)
8 simpl 109 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
9 0lt1 8082 . . . . 5 0 < 1
10 1re 7955 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 lttr 8029 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑈) → 0 < 𝑈))
122, 10, 11mp3an12 1327 . . . . 5 (𝑈 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑈) → 0 < 𝑈))
139, 12mpani 430 . . . 4 (𝑈 ∈ ℝ → (1 < 𝑈 → 0 < 𝑈))
1413imp 124 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 0 < 𝑈)
15 ax-resscn 7902 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
165, 15sstrdi 3167 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (0[,]𝑈) ⊆ ℂ)
17 efcn 14082 . . . 4 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1817a1i 9 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
19 ssel2 3150 . . . . 5 (((0[,]𝑈) ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2019reefcld 11672 . . . 4 (((0[,]𝑈) ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ)
215, 20sylan 283 . . 3 (((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ)
22 ef0 11675 . . . . 5 (exp‘0) = 1
23 simpr 110 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 1 < 𝑈)
2422, 23eqbrtrid 4038 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (exp‘0) < 𝑈)
25 peano2re 8091 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
2625adantr 276 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
27 reefcl 11671 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ → (exp‘𝑈) ∈ ℝ)
2827adantr 276 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (exp‘𝑈) ∈ ℝ)
29 ltp1 8799 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ → 𝑈 < (𝑈 + 1))
3029adantr 276 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
318recnd 7984 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 7903 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
33 addcom 8092 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑈 + 1) = (1 + 𝑈))
3431, 32, 33sylancl 413 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (𝑈 + 1) = (1 + 𝑈))
358, 14elrpd 9691 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ+)
36 efgt1p 11699 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ ℝ+ → (1 + 𝑈) < (exp‘𝑈))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (1 + 𝑈) < (exp‘𝑈))
3834, 37eqbrtrd 4025 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (𝑈 + 1) < (exp‘𝑈))
398, 26, 28, 30, 38lttrd 8081 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 < (exp‘𝑈))
4024, 39jca 306 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ((exp‘0) < 𝑈𝑈 < (exp‘𝑈)))
41 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑈 ∈ ℝ)
422, 41, 3sylancr 414 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
43 simplr 528 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑦 ∈ (0[,]𝑈))
4442, 43sseldd 3156 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
45 simprl 529 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ (0[,]𝑈))
4642, 45sseldd 3156 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4744, 46jca 306 . . . 4 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
48 simprr 531 . . . 4 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑦 < 𝑧)
49 efltim 11701 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 → (exp‘𝑦) < (exp‘𝑧)))
5047, 48, 49sylc 62 . . 3 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → (exp‘𝑦) < (exp‘𝑧))
517, 8, 8, 14, 16, 18, 21, 40, 50ivthinc 14014 . 2 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ∃𝑥 ∈ (0(,)𝑈)(exp‘𝑥) = 𝑈)
52 ssrexv 3220 . 2 ((0(,)𝑈) ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ (0(,)𝑈)(exp‘𝑥) = 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈))
536, 51, 52sylc 62 1 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  wss 3129   class class class wbr 4003  cfv 5216  (class class class)co 5874  cc 7808  cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   < clt 7990  +crp 9651  (,)cioo 9886  [,]cicc 9889  expce 11645  cnccncf 13950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-pre-suploc 7931  ax-addf 7932  ax-mulf 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-disj 3981  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-frec 6391  df-1o 6416  df-oadd 6420  df-er 6534  df-map 6649  df-pm 6650  df-en 6740  df-dom 6741  df-fin 6742  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-reap 8530  df-ap 8537  df-div 8628  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-n0 9175  df-z 9252  df-uz 9527  df-q 9618  df-rp 9652  df-xneg 9770  df-xadd 9771  df-ioo 9890  df-ico 9892  df-icc 9893  df-fz 10007  df-fzo 10140  df-seqfrec 10443  df-exp 10517  df-fac 10701  df-bc 10723  df-ihash 10751  df-shft 10819  df-cj 10846  df-re 10847  df-im 10848  df-rsqrt 11002  df-abs 11003  df-clim 11282  df-sumdc 11357  df-ef 11651  df-rest 12680  df-topgen 12699  df-psmet 13338  df-xmet 13339  df-met 13340  df-bl 13341  df-mopn 13342  df-top 13389  df-topon 13402  df-bases 13434  df-ntr 13489  df-cn 13581  df-cnp 13582  df-tx 13646  df-cncf 13951  df-limced 14018  df-dvap 14019
This theorem is referenced by:  reeff1oleme  14086  reeff1o  14087
  Copyright terms: Public domain W3C validator