ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  reeff1olem GIF version

Theorem reeff1olem 14195
Description: Lemma for reeff1o 14197. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
reeff1olem ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
Distinct variable group:   𝑥,𝑈

Proof of Theorem reeff1olem
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioossicc 9959 . . 3 (0(,)𝑈) ⊆ (0[,]𝑈)
2 0re 7957 . . . . 5 0 ∈ ℝ
3 iccssre 9955 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
42, 3mpan 424 . . . 4 (𝑈 ∈ ℝ → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
54adantr 276 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
61, 5sstrid 3167 . 2 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (0(,)𝑈) ⊆ ℝ)
72a1i 9 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 0 ∈ ℝ)
8 simpl 109 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ)
9 0lt1 8084 . . . . 5 0 < 1
10 1re 7956 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
11 lttr 8031 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑈 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑈) → 0 < 𝑈))
122, 10, 11mp3an12 1327 . . . . 5 (𝑈 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 < 𝑈) → 0 < 𝑈))
139, 12mpani 430 . . . 4 (𝑈 ∈ ℝ → (1 < 𝑈 → 0 < 𝑈))
1413imp 124 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 0 < 𝑈)
15 ax-resscn 7903 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
165, 15sstrdi 3168 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (0[,]𝑈) ⊆ ℂ)
17 efcn 14192 . . . 4 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1817a1i 9 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
19 ssel2 3151 . . . . 5 (((0[,]𝑈) ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) → 𝑦 ∈ ℝ)
2019reefcld 11677 . . . 4 (((0[,]𝑈) ⊆ ℝ ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ)
215, 20sylan 283 . . 3 (((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) → (exp‘𝑦) ∈ ℝ)
22 ef0 11680 . . . . 5 (exp‘0) = 1
23 simpr 110 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 1 < 𝑈)
2422, 23eqbrtrid 4039 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (exp‘0) < 𝑈)
25 peano2re 8093 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
2625adantr 276 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (𝑈 + 1) ∈ ℝ)
27 reefcl 11676 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ → (exp‘𝑈) ∈ ℝ)
2827adantr 276 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (exp‘𝑈) ∈ ℝ)
29 ltp1 8801 . . . . . 6 (𝑈 ∈ ℝ → 𝑈 < (𝑈 + 1))
3029adantr 276 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 < (𝑈 + 1))
318recnd 7986 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 ∈ ℂ)
32 ax-1cn 7904 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
33 addcom 8094 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑈 + 1) = (1 + 𝑈))
3431, 32, 33sylancl 413 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (𝑈 + 1) = (1 + 𝑈))
358, 14elrpd 9693 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 ∈ ℝ+)
36 efgt1p 11704 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ ℝ+ → (1 + 𝑈) < (exp‘𝑈))
3735, 36syl 14 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (1 + 𝑈) < (exp‘𝑈))
3834, 37eqbrtrd 4026 . . . . 5 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → (𝑈 + 1) < (exp‘𝑈))
398, 26, 28, 30, 38lttrd 8083 . . . 4 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → 𝑈 < (exp‘𝑈))
4024, 39jca 306 . . 3 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ((exp‘0) < 𝑈𝑈 < (exp‘𝑈)))
41 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑈 ∈ ℝ)
422, 41, 3sylancr 414 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → (0[,]𝑈) ⊆ ℝ)
43 simplr 528 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑦 ∈ (0[,]𝑈))
4442, 43sseldd 3157 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑦 ∈ ℝ)
45 simprl 529 . . . . . 6 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ (0[,]𝑈))
4642, 45sseldd 3157 . . . . 5 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑧 ∈ ℝ)
4744, 46jca 306 . . . 4 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ))
48 simprr 531 . . . 4 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → 𝑦 < 𝑧)
49 efltim 11706 . . . 4 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑧 → (exp‘𝑦) < (exp‘𝑧)))
5047, 48, 49sylc 62 . . 3 ((((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]𝑈)) ∧ (𝑧 ∈ (0[,]𝑈) ∧ 𝑦 < 𝑧)) → (exp‘𝑦) < (exp‘𝑧))
517, 8, 8, 14, 16, 18, 21, 40, 50ivthinc 14124 . 2 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ∃𝑥 ∈ (0(,)𝑈)(exp‘𝑥) = 𝑈)
52 ssrexv 3221 . 2 ((0(,)𝑈) ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ (0(,)𝑈)(exp‘𝑥) = 𝑈 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈))
536, 51, 52sylc 62 1 ((𝑈 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑈) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑈)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  wrex 2456  wss 3130   class class class wbr 4004  cfv 5217  (class class class)co 5875  cc 7809  cr 7810  0cc0 7811  1c1 7812   + caddc 7814   < clt 7992  +crp 9653  (,)cioo 9888  [,]cicc 9891  expce 11650  cnccncf 14060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931  ax-pre-suploc 7932  ax-addf 7933  ax-mulf 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-disj 3982  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-of 6083  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-frec 6392  df-1o 6417  df-oadd 6421  df-er 6535  df-map 6650  df-pm 6651  df-en 6741  df-dom 6742  df-fin 6743  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-ioo 9892  df-ico 9894  df-icc 9895  df-fz 10009  df-fzo 10143  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-fac 10706  df-bc 10728  df-ihash 10756  df-shft 10824  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-clim 11287  df-sumdc 11362  df-ef 11656  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-cn 13691  df-cnp 13692  df-tx 13756  df-cncf 14061  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  reeff1oleme  14196  reeff1o  14197
  Copyright terms: Public domain W3C validator