Theorem nno 11639

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9425	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2		nnnn0 9008	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0o1gt2 11638	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
4	2, 3	sylan 281	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5		eqneqall 2319	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	a1d 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
7		nn0z 9098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
8		peano2zm 9116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
10	9	ad2antlr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		2cn 8815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	11	mulid2i 7793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 2) = 2
13		nnre 8751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	ltp1d 8712	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
15	14	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
16		2re 8814	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		peano2nn 8756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
19	18	nnred 8757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20		lttr 7862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
22	21	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 < (𝑁 + 1) → 2 < (𝑁 + 1)))
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < (𝑁 + 1))
24	12, 23	eqbrtrid 3971	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 · 2) < (𝑁 + 1))
25		1red 7805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
26	19	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27		2pos 8835	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
30		ltmuldiv 8656	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
32	24, 31	mpbid 146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < ((𝑁 + 1) / 2))
33	19	rehalfcld 8990	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
34	33	adantr 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
35	25, 34	posdifd 8318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < ((𝑁 + 1) / 2) ↔ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
36	32, 35	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
37	36	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
38		elnnz 9088	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
39	10, 37, 38	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ)
40		nncn 8752	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41		xp1d2m1eqxm1d2 8996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
43	42	eleq1d 2209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
46	39, 45	mpbid 146	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
48	47	expcom 115	. . . . . 6 ⊢ (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
49	6, 48	jaoi 706	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
51	50	impancom 258	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
52	1, 51	sylbi 120	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
53	52	imp 123	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ≠ wne 2309   class class class wbr 3937  ‘cfv 5131  (class class class)co 5782  ℂcc 7642  ℝcr 7643  0cc0 7644  1c1 7645   + caddc 7647   · cmul 7649   < clt 7824   − cmin 7957   / cdiv 8456  ℕcn 8744  2c2 8795  ℕ₀cn0 9001  ℤcz 9078  ℤ_≥cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  nn0o  11640