Theorem nno 12047

Description: An alternate characterization of an odd integer greater than 1. (Contributed by AV, 2-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
nno	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nno

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2b3 9669	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1))
2		nnnn0 9247	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		nn0o1gt2 12046	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
4	2, 3	sylan 283	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁))
5		eqneqall 2374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
6	5	a1d 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
7		nn0z 9337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ)
8		peano2zm 9355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℤ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
9	7, 8	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
10	9	ad2antlr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ)
11		2cn 9053	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ∈ ℂ
12	11	mullidi 8022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 · 2) = 2
13		nnre 8989	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
14	13	ltp1d 8949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
15	14	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
16		2re 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
18		peano2nn 8994	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
19	18	nnred 8995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
20		lttr 8093	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ) → ((2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
21	17, 13, 19, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((2 < 𝑁 ∧ 𝑁 < (𝑁 + 1)) → 2 < (𝑁 + 1)))
22	21	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 < (𝑁 + 1) → 2 < (𝑁 + 1)))
23	15, 22	mpd 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < (𝑁 + 1))
24	12, 23	eqbrtrid 4064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 · 2) < (𝑁 + 1))
25		1red 8034	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
26	19	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27		2pos 9073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 < 2
28	16, 27	pm3.2i 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
29	28	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
30		ltmuldiv 8893	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
31	25, 26, 29, 30	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 · 2) < (𝑁 + 1) ↔ 1 < ((𝑁 + 1) / 2)))
32	24, 31	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < ((𝑁 + 1) / 2))
33	19	rehalfcld 9229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
34	33	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℝ)
35	25, 34	posdifd 8551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < ((𝑁 + 1) / 2) ↔ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
36	32, 35	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
37	36	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1))
38		elnnz 9327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 0 < (((𝑁 + 1) / 2) − 1)))
39	10, 37, 38	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ)
40		nncn 8990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
41		xp1d2m1eqxm1d2 9235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / 2) − 1) = ((𝑁 − 1) / 2))
43	42	eleq1d 2262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((((𝑁 + 1) / 2) − 1) ∈ ℕ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
46	39, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)
47	46	a1d 22	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
48	47	expcom 116	. . . . . 6 ⊢ (2 < 𝑁 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
49	6, 48	jaoi 717	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 2 < 𝑁) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
50	4, 49	mpcom 36	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
51	50	impancom 260	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≠ 1) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
52	1, 51	sylbi 121	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ))
53	52	imp 124	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑁 + 1) / 2) ∈ ℕ0) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   < clt 8054   − cmin 8190   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  nn0o  12048  gausslemma2dlem0b  15166