Theorem oddennn 12347

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8884	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4133	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		elrabi 2883	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 8893	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5		breq2 3993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 662	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7	6	elrab 2886	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
8	7	simprbi 273	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
9	3	nnzd 9333	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10		oddp1even 11835	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
12	8, 11	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13		nnehalf 11863	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
14	4, 12, 13	syl2anc 409	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15		nnz 9231	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		2z 9240	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
18	15, 17	zmulcld 9340	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19		peano2zm 9250	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21		1e2m1 8997	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 − 1)
22	17	zred 9334	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 8885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23, 22	remulcld 7950	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25		1red 7935	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26		0le2 8968	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28		nnge1 8901	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8854	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8480	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
31	21, 30	eqbrtrid 4024	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32		elnnz1 9235	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
33	20, 31, 32	sylanbrc 415	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34		dvdsmul2 11776	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
35	15, 16, 34	sylancl 411	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36		oddm1even 11834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
38	37	biimprd 157	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
39	35, 38	mt2d 620	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40		breq2 3993	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
41	40	notbid 662	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
42	41	elrab 2886	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
43	33, 39, 42	sylanbrc 415	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44	3	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 8892	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
46		1cnd 7936	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 7939	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
48		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
49	48	nncnd 8892	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50		2cnd 8951	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
51		2ap0 8971	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 8742	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
54	49, 50	mulcld 7940	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
55	45, 46, 54	addlsub 8289	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
56	53, 55	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
57		eqcom 2172	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
58	56, 57	bitr3di 194	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6749	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  {crab 2452   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   ≈ cen 6716  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   ≤ cle 7955   − cmin 8090   # cap 8500   / cdiv 8589  ℕcn 8878  2c2 8929  ℤcz 9212   ∥ cdvds 11749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-xor 1371  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-en 6719  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-n0 9136  df-z 9213  df-dvds 11750

This theorem is referenced by:  xpnnen  12349  unennn  12352