ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn GIF version

Theorem oddennn 11080
Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8363 . . 3 ℕ ∈ V
21rabex 3958 . 2 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3 elrabi 2759 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
43peano2nnd 8372 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5 breq2 3824 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
65notbid 625 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
76elrab 2762 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
87simprbi 269 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
93nnzd 8800 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10 oddp1even 10751 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
119, 10syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
128, 11mpbid 145 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13 nnehalf 10779 . . 3 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
144, 12, 13syl2anc 403 . 2 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15 nnz 8702 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16 2z 8711 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1716a1i 9 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
1815, 17zmulcld 8807 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19 peano2zm 8721 . . . . 5 ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
2018, 19syl 14 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21 1e2m1 8475 . . . . 5 1 = (2 − 1)
2217zred 8801 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23 nnre 8364 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
2423, 22remulcld 7462 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25 1red 7447 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26 0le2 8447 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28 nnge1 8380 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8334 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
3022, 24, 25, 29lesub1dd 7979 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
3121, 30syl5eqbr 3853 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32 elnnz1 8706 . . . 4 (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
3320, 31, 32sylanbrc 408 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34 dvdsmul2 10694 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
3515, 16, 34sylancl 404 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36 oddm1even 10750 . . . . . 6 ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
3718, 36syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
3837biimprd 156 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
3935, 38mt2d 588 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40 breq2 3824 . . . . 5 (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4140notbid 625 . . . 4 (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4241elrab 2762 . . 3 (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4333, 39, 42sylanbrc 408 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44 eqcom 2087 . . 3 (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
453adantr 270 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
4645nncnd 8371 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47 1cnd 7448 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4846, 47addcld 7451 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
49 simpr 108 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
5049nncnd 8371 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
51 2cnd 8430 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
52 2ap0 8450 . . . . . 6 2 # 0
5352a1i 9 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
5448, 50, 51, 53divmulap3d 8229 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
5550, 51mulcld 7452 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
5646, 47, 55addlsub 7792 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
5754, 56bitrd 186 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
5844, 57syl5rbbr 193 . 2 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
592, 1, 14, 43, 58en3i 6440 1 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wcel 1436  {crab 2359   class class class wbr 3820  (class class class)co 5613  cen 6407  0cc0 7294  1c1 7295   + caddc 7297   · cmul 7299  cle 7467  cmin 7597   # cap 7999   / cdiv 8078  cn 8357  2c2 8407  cz 8683  cdvds 10671
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234  ax-setind 4326  ax-cnex 7380  ax-resscn 7381  ax-1cn 7382  ax-1re 7383  ax-icn 7384  ax-addcl 7385  ax-addrcl 7386  ax-mulcl 7387  ax-mulrcl 7388  ax-addcom 7389  ax-mulcom 7390  ax-addass 7391  ax-mulass 7392  ax-distr 7393  ax-i2m1 7394  ax-0lt1 7395  ax-1rid 7396  ax-0id 7397  ax-rnegex 7398  ax-precex 7399  ax-cnre 7400  ax-pre-ltirr 7401  ax-pre-ltwlin 7402  ax-pre-lttrn 7403  ax-pre-apti 7404  ax-pre-ltadd 7405  ax-pre-mulgt0 7406  ax-pre-mulext 7407
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-xor 1310  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-int 3672  df-br 3821  df-opab 3875  df-mpt 3876  df-id 4094  df-po 4097  df-iso 4098  df-xp 4417  df-rel 4418  df-cnv 4419  df-co 4420  df-dm 4421  df-rn 4422  df-iota 4946  df-fun 4983  df-fn 4984  df-f 4985  df-f1 4986  df-fo 4987  df-f1o 4988  df-fv 4989  df-riota 5569  df-ov 5616  df-oprab 5617  df-mpt2 5618  df-en 6410  df-pnf 7468  df-mnf 7469  df-xr 7470  df-ltxr 7471  df-le 7472  df-sub 7599  df-neg 7600  df-reap 7993  df-ap 8000  df-div 8079  df-inn 8358  df-2 8416  df-n0 8607  df-z 8684  df-dvds 10672
This theorem is referenced by:  xpnnen  11082  unennn  11085
  Copyright terms: Public domain W3C validator