Theorem oddennn 11743

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8629	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4030	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		elrabi 2804	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 8638	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5		breq2 3897	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7	6	elrab 2807	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
8	7	simprbi 271	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
9	3	nnzd 9069	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10		oddp1even 11414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
12	8, 11	mpbid 146	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13		nnehalf 11442	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
14	4, 12, 13	syl2anc 406	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15		nnz 8970	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		2z 8979	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
18	15, 17	zmulcld 9076	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19		peano2zm 8989	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21		1e2m1 8742	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 − 1)
22	17	zred 9070	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 8630	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23, 22	remulcld 7713	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25		1red 7698	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26		0le2 8713	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28		nnge1 8646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8599	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8234	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
31	21, 30	eqbrtrid 3926	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32		elnnz1 8974	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
33	20, 31, 32	sylanbrc 411	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34		dvdsmul2 11357	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
35	15, 16, 34	sylancl 407	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36		oddm1even 11413	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
38	37	biimprd 157	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
39	35, 38	mt2d 597	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40		breq2 3897	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
41	40	notbid 639	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
42	41	elrab 2807	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
43	33, 39, 42	sylanbrc 411	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44		eqcom 2115	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
45	3	adantr 272	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
46	45	nncnd 8637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
47		1cnd 7699	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
48	46, 47	addcld 7702	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
49		simpr 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
50	49	nncnd 8637	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
51		2cnd 8696	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
52		2ap0 8716	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
53	52	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
54	48, 50, 51, 53	divmulap3d 8491	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
55	50, 51	mulcld 7703	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
56	46, 47, 55	addlsub 8044	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
57	54, 56	bitrd 187	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
58	44, 57	syl5rbbr 194	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6616	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1312   ∈ wcel 1461  {crab 2392   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726   ≈ cen 6583  0cc0 7540  1c1 7541   + caddc 7543   · cmul 7545   ≤ cle 7718   − cmin 7849   # cap 8254   / cdiv 8338  ℕcn 8623  2c2 8674  ℤcz 8951   ∥ cdvds 11334

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7629  ax-resscn 7630  ax-1cn 7631  ax-1re 7632  ax-icn 7633  ax-addcl 7634  ax-addrcl 7635  ax-mulcl 7636  ax-mulrcl 7637  ax-addcom 7638  ax-mulcom 7639  ax-addass 7640  ax-mulass 7641  ax-distr 7642  ax-i2m1 7643  ax-0lt1 7644  ax-1rid 7645  ax-0id 7646  ax-rnegex 7647  ax-precex 7648  ax-cnre 7649  ax-pre-ltirr 7650  ax-pre-ltwlin 7651  ax-pre-lttrn 7652  ax-pre-apti 7653  ax-pre-ltadd 7654  ax-pre-mulgt0 7655  ax-pre-mulext 7656

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-xor 1335  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-en 6586  df-pnf 7719  df-mnf 7720  df-xr 7721  df-ltxr 7722  df-le 7723  df-sub 7851  df-neg 7852  df-reap 8248  df-ap 8255  df-div 8339  df-inn 8624  df-2 8682  df-n0 8875  df-z 8952  df-dvds 11335

This theorem is referenced by:  xpnnen  11745  unennn  11748