Theorem oddennn 13012

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 9148	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4234	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		elrabi 2959	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 9157	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5		breq2 4092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 673	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7	6	elrab 2962	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
9	3	nnzd 9600	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10		oddp1even 12436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
12	8, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13		nnehalf 12464	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15		nnz 9497	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		2z 9506	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
18	15, 17	zmulcld 9607	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19		peano2zm 9516	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21		1e2m1 9261	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 − 1)
22	17	zred 9601	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 9149	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23, 22	remulcld 8209	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25		1red 8193	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26		0le2 9232	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28		nnge1 9165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 9117	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8740	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
31	21, 30	eqbrtrid 4123	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32		elnnz1 9501	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
33	20, 31, 32	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34		dvdsmul2 12374	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
35	15, 16, 34	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36		oddm1even 12435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
38	37	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
39	35, 38	mt2d 630	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40		breq2 4092	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
41	40	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
42	41	elrab 2962	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
43	33, 39, 42	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 9156	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
46		1cnd 8194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 8198	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
48		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
49	48	nncnd 9156	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50		2cnd 9215	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
51		2ap0 9235	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 9004	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
54	49, 50	mulcld 8199	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
55	45, 46, 54	addlsub 8548	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
56	53, 55	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
57		eqcom 2233	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
58	56, 57	bitr3di 195	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6943	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  {crab 2514   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   ≈ cen 6906  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   ≤ cle 8214   − cmin 8349   # cap 8760   / cdiv 8851  ℕcn 9142  2c2 9193  ℤcz 9478   ∥ cdvds 12347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-xor 1420  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-en 6909  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-div 8852  df-inn 9143  df-2 9201  df-n0 9402  df-z 9479  df-dvds 12348

This theorem is referenced by:  xpnnen  13014  unennn  13017