Theorem oddennn 12549

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 8988	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4173	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		elrabi 2913	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 8997	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5		breq2 4033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 668	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7	6	elrab 2916	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
9	3	nnzd 9438	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10		oddp1even 12017	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
12	8, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13		nnehalf 12045	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15		nnz 9336	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		2z 9345	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
18	15, 17	zmulcld 9445	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19		peano2zm 9355	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21		1e2m1 9101	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 − 1)
22	17	zred 9439	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 8989	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23, 22	remulcld 8050	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25		1red 8034	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26		0le2 9072	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28		nnge1 9005	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 8957	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8580	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
31	21, 30	eqbrtrid 4064	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32		elnnz1 9340	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
33	20, 31, 32	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34		dvdsmul2 11957	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
35	15, 16, 34	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36		oddm1even 12016	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
38	37	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
39	35, 38	mt2d 626	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40		breq2 4033	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
41	40	notbid 668	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
42	41	elrab 2916	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
43	33, 39, 42	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 8996	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
46		1cnd 8035	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 8039	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
48		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
49	48	nncnd 8996	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50		2cnd 9055	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
51		2ap0 9075	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 8844	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
54	49, 50	mulcld 8040	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
55	45, 46, 54	addlsub 8389	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
56	53, 55	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
57		eqcom 2195	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
58	56, 57	bitr3di 195	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 6825	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  {crab 2476   class class class wbr 4029  (class class class)co 5918   ≈ cen 6792  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877   ≤ cle 8055   − cmin 8190   # cap 8600   / cdiv 8691  ℕcn 8982  2c2 9033  ℤcz 9317   ∥ cdvds 11930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-en 6795  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-dvds 11931

This theorem is referenced by:  xpnnen  12551  unennn  12554