ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn GIF version

Theorem oddennn 12363
Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8901 . . 3 ℕ ∈ V
21rabex 4144 . 2 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3 elrabi 2890 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
43peano2nnd 8910 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5 breq2 4004 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
65notbid 667 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
76elrab 2893 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
87simprbi 275 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
93nnzd 9350 . . . . 5 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10 oddp1even 11851 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
119, 10syl 14 . . . 4 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
128, 11mpbid 147 . . 3 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13 nnehalf 11879 . . 3 (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
144, 12, 13syl2anc 411 . 2 (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15 nnz 9248 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16 2z 9257 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
1716a1i 9 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
1815, 17zmulcld 9357 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19 peano2zm 9267 . . . . 5 ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
2018, 19syl 14 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21 1e2m1 9014 . . . . 5 1 = (2 − 1)
2217zred 9351 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23 nnre 8902 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
2423, 22remulcld 7965 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25 1red 7950 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26 0le2 8985 . . . . . . . 8 0 ≤ 2
2726a1i 9 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28 nnge1 8918 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8871 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
3022, 24, 25, 29lesub1dd 8495 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
3121, 30eqbrtrid 4035 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32 elnnz1 9252 . . . 4 (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
3320, 31, 32sylanbrc 417 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34 dvdsmul2 11792 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
3515, 16, 34sylancl 413 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36 oddm1even 11850 . . . . . 6 ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
3718, 36syl 14 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
3837biimprd 158 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
3935, 38mt2d 625 . . 3 (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40 breq2 4004 . . . . 5 (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4140notbid 667 . . . 4 (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4241elrab 2893 . . 3 (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
4333, 39, 42sylanbrc 417 . 2 (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
443adantr 276 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
4544nncnd 8909 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
46 1cnd 7951 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
4745, 46addcld 7954 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
48 simpr 110 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
4948nncnd 8909 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50 2cnd 8968 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
51 2ap0 8988 . . . . . 6 2 # 0
5251a1i 9 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
5347, 49, 50, 52divmulap3d 8758 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
5449, 50mulcld 7955 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
5545, 46, 54addlsub 8304 . . . 4 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
5653, 55bitrd 188 . . 3 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
57 eqcom 2179 . . 3 (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
5856, 57bitr3di 195 . 2 ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
592, 1, 14, 43, 58en3i 6764 1 {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4000  (class class class)co 5868  cen 6731  0cc0 7789  1c1 7790   + caddc 7792   · cmul 7794  cle 7970  cmin 8105   # cap 8515   / cdiv 8605  cn 8895  2c2 8946  cz 9229  cdvds 11765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-mulrcl 7888  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-precex 7899  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-apti 7904  ax-pre-ltadd 7905  ax-pre-mulgt0 7906  ax-pre-mulext 7907
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-id 4289  df-po 4292  df-iso 4293  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-en 6734  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-reap 8509  df-ap 8516  df-div 8606  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-dvds 11766
This theorem is referenced by:  xpnnen  12365  unennn  12368
  Copyright terms: Public domain W3C validator