ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oddennn GIF version

Theorem oddennn 12395
Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)
Assertion
Ref Expression
oddennn {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ‰ˆ โ„•

Proof of Theorem oddennn
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnex 8927 . . 3 โ„• โˆˆ V
21rabex 4149 . 2 {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆˆ V
3 elrabi 2892 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
43peano2nnd 8936 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„•)
5 breq2 4009 . . . . . . 7 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ง โ†” 2 โˆฅ ๐‘ฅ))
65notbid 667 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐‘ฅ โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง โ†” ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ))
76elrab 2895 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ))
87simprbi 275 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ)
93nnzd 9376 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
10 oddp1even 11883 . . . . 5 (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ฅ + 1)))
119, 10syl 14 . . . 4 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ฅ โ†” 2 โˆฅ (๐‘ฅ + 1)))
128, 11mpbid 147 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ฅ + 1))
13 nnehalf 11911 . . 3 (((๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆฅ (๐‘ฅ + 1)) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) / 2) โˆˆ โ„•)
144, 12, 13syl2anc 411 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†’ ((๐‘ฅ + 1) / 2) โˆˆ โ„•)
15 nnz 9274 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
16 2z 9283 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
1716a1i 9 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
1815, 17zmulcld 9383 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„ค)
19 peano2zm 9293 . . . . 5 ((๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
2018, 19syl 14 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
21 1e2m1 9040 . . . . 5 1 = (2 โˆ’ 1)
2217zred 9377 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆˆ โ„)
23 nnre 8928 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
2423, 22remulcld 7990 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„)
25 1red 7974 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โˆˆ โ„)
26 0le2 9011 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 2
2726a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 0 โ‰ค 2)
28 nnge1 8944 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ๐‘ฆ)
2922, 23, 27, 28lemulge12d 8897 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โ‰ค (๐‘ฆ ยท 2))
3022, 24, 25, 29lesub1dd 8520 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆ’ 1) โ‰ค ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1))
3121, 30eqbrtrid 4040 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 1 โ‰ค ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1))
32 elnnz1 9278 . . . 4 (((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โ†” (((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง 1 โ‰ค ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
3320, 31, 32sylanbrc 417 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„•)
34 dvdsmul2 11823 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง 2 โˆˆ โ„ค) โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ฆ ยท 2))
3515, 16, 34sylancl 413 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ 2 โˆฅ (๐‘ฆ ยท 2))
36 oddm1even 11882 . . . . . 6 ((๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ฆ ยท 2) โ†” 2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
3718, 36syl 14 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ฆ ยท 2) โ†” 2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
3837biimprd 158 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ (๐‘ฆ ยท 2)))
3935, 38mt2d 625 . . 3 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1))
40 breq2 4009 . . . . 5 (๐‘ง = ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โ†’ (2 โˆฅ ๐‘ง โ†” 2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
4140notbid 667 . . . 4 (๐‘ง = ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง โ†” ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
4241elrab 2895 . . 3 (((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ†” (((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
4333, 39, 42sylanbrc 417 . 2 (๐‘ฆ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง})
443adantr 276 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„•)
4544nncnd 8935 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
46 1cnd 7975 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
4745, 46addcld 7979 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ + 1) โˆˆ โ„‚)
48 simpr 110 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4948nncnd 8935 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
50 2cnd 8994 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
51 2ap0 9014 . . . . . 6 2 # 0
5251a1i 9 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ 2 # 0)
5347, 49, 50, 52divmulap3d 8784 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ฅ + 1) / 2) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ฅ + 1) = (๐‘ฆ ยท 2)))
5449, 50mulcld 7980 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ โ„‚)
5545, 46, 54addlsub 8329 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฅ + 1) = (๐‘ฆ ยท 2) โ†” ๐‘ฅ = ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
5653, 55bitrd 188 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ฅ + 1) / 2) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฅ = ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1)))
57 eqcom 2179 . . 3 (((๐‘ฅ + 1) / 2) = ๐‘ฆ โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ฅ + 1) / 2))
5856, 57bitr3di 195 . 2 ((๐‘ฅ โˆˆ {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ฅ = ((๐‘ฆ ยท 2) โˆ’ 1) โ†” ๐‘ฆ = ((๐‘ฅ + 1) / 2)))
592, 1, 14, 43, 58en3i 6773 1 {๐‘ง โˆˆ โ„• โˆฃ ยฌ 2 โˆฅ ๐‘ง} โ‰ˆ โ„•
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  {crab 2459   class class class wbr 4005  (class class class)co 5877   โ‰ˆ cen 6740  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818   โ‰ค cle 7995   โˆ’ cmin 8130   # cap 8540   / cdiv 8631  โ„•cn 8921  2c2 8972  โ„คcz 9255   โˆฅ cdvds 11796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-en 6743  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-dvds 11797
This theorem is referenced by:  xpnnen  12397  unennn  12400
  Copyright terms: Public domain W3C validator