Theorem oddennn 13227

Description: There are as many odd positive integers as there are positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 11-May-2022.)

Assertion

Ref	Expression
oddennn	⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Proof of Theorem oddennn

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 9260	. . 3 ⊢ ℕ ∈ V
2	1	rabex 4261	. 2 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∈ V
3		elrabi 2973	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℕ)
4	3	peano2nnd 9269	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (𝑥 + 1) ∈ ℕ)
5		breq2 4118	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ 𝑥))
6	5	notbid 673	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑥))
7	6	elrab 2976	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑥))
8	7	simprbi 275	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ¬ 2 ∥ 𝑥)
9	3	nnzd 9717	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 𝑥 ∈ ℤ)
10		oddp1even 12587	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
11	9, 10	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → (¬ 2 ∥ 𝑥 ↔ 2 ∥ (𝑥 + 1)))
12	8, 11	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → 2 ∥ (𝑥 + 1))
13		nnehalf 12615	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑥 + 1)) → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
14	4, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} → ((𝑥 + 1) / 2) ∈ ℕ)
15		nnz 9613	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
16		2z 9622	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
17	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
18	15, 17	zmulcld 9724	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℤ)
19		peano2zm 9632	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
20	18, 19	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ)
21		1e2m1 9373	. . . . 5 ⊢ 1 = (2 − 1)
22	17	zred 9718	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 9261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23, 22	remulcld 8320	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 · 2) ∈ ℝ)
25		1red 8305	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
26		0le2 9344	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
27	26	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 0 ≤ 2)
28		nnge1 9277	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
29	22, 23, 27, 28	lemulge12d 9229	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ≤ (𝑦 · 2))
30	22, 24, 25, 29	lesub1dd 8852	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 − 1) ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
31	21, 30	eqbrtrid 4149	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1))
32		elnnz1 9617	. . . 4 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ ((𝑦 · 2) − 1)))
33	20, 31, 32	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ)
34		dvdsmul2 12525	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (𝑦 · 2))
35	15, 16, 34	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 2 ∥ (𝑦 · 2))
36		oddm1even 12586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 · 2) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
37	18, 36	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (¬ 2 ∥ (𝑦 · 2) ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
38	37	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1) → ¬ 2 ∥ (𝑦 · 2)))
39	35, 38	mt2d 630	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1))
40		breq2 4118	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (2 ∥ 𝑧 ↔ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
41	40	notbid 673	. . . 4 ⊢ (𝑧 = ((𝑦 · 2) − 1) → (¬ 2 ∥ 𝑧 ↔ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
42	41	elrab 2976	. . 3 ⊢ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ↔ (((𝑦 · 2) − 1) ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ ((𝑦 · 2) − 1)))
43	33, 39, 42	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦 · 2) − 1) ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧})
44	3	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℕ)
45	44	nncnd 9268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℂ)
46		1cnd 8306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
47	45, 46	addcld 8309	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 + 1) ∈ ℂ)
48		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
49	48	nncnd 9268	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
50		2cnd 9327	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 ∈ ℂ)
51		2ap0 9347	. . . . . 6 ⊢ 2 # 0
52	51	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → 2 # 0)
53	47, 49, 50, 52	divmulap3d 9116	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ (𝑥 + 1) = (𝑦 · 2)))
54	49, 50	mulcld 8310	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑦 · 2) ∈ ℂ)
55	45, 46, 54	addlsub 8659	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → ((𝑥 + 1) = (𝑦 · 2) ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
56	53, 55	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1)))
57		eqcom 2236	. . 3 ⊢ (((𝑥 + 1) / 2) = 𝑦 ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2))
58	56, 57	bitr3di 195	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (𝑥 = ((𝑦 · 2) − 1) ↔ 𝑦 = ((𝑥 + 1) / 2)))
59	2, 1, 14, 43, 58	en3i 7023	1 ⊢ {𝑧 ∈ ℕ ∣ ¬ 2 ∥ 𝑧} ≈ ℕ

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {crab 2526   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   ≈ cen 6986  0cc0 8143  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   ≤ cle 8325   − cmin 8460   # cap 8872   / cdiv 8963  ℕcn 9254  2c2 9305  ℤcz 9594   ∥ cdvds 12498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-en 6989  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-n0 9514  df-z 9595  df-dvds 12499

This theorem is referenced by:  xpnnen  13229  unennn  13232